Skaitiniai metodai: uždaviniai ir egzamino klausimai

Atsakymų, neturinčių formulės, skaičiavimas: lygčių šaknys pusiaukirtos ir Niutono–Rafsono metodais, interpoliacija lentelėse, skaitinis integravimas trapecijų ir Simpsono formulėmis, diferencialinės lygtys Oilerio, Hoino ir Rungės–Kutos metodais. Egzaminuose prašoma kelių iteracijų lentelėje ir paklaidos dydžio.

Praktikuokitės šiame kurse nemokamai Praktikuotis šiame kurse Laikyti bandomąjį egzaminąKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Pasiruošimo paketas (PDF)Formulių lapai, metodų žingsniai ir uždaviniai su pilnais sprendimais, paruošti spausdinti.

Šio kurso temos

Egzamino patarimai: Skaitiniai metodai

Kiekvienoje iteracijoje išlaikykite bent šešis reikšminius skaitmenis ir apvalinkite tik galutinį atsakymą.
Prieš ką nors sudėdami, užrašykite integravimo formulės svorius po reikšmių lentele.
Paklaidai paaiškinti naudokite Teiloro polinomus: Oilerio paklaida proporcinga h, Simpsono – h⁴.

Išspręsti pavyzdžiai

Skaitiniai metodaiLengvas

Pusiaukirtos metodas prasideda 4 ilgio intervalu. Kiekvienas žingsnis padalija intervalą pusiau. Kiek žingsnių n reikia bent, kad intervalas taptų trumpesnis nei 0,0001?

b − a = 4ε = 0,0001

Raskite n

Rodyti užuominas

Po n žingsnių intervalo ilgis yra (b − a)/2ⁿ.
Išspręskite 4/2ⁿ < 0,0001, taigi 2ⁿ > 40000.
n > log₂(40000) = 15,29

Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Šaknų radimas ir interpoliacija: pusiaukirtos metodas išlaiko intervalą [a, b], kuriame f keičia ženklą; kiekviename žingsnyje imamas vidurio taškas c = (a + b)/2 ir paliekama pusė, kurioje ženklas vis dar keičiasi, todėl po n žingsnių intervalo plotis yra (b − a)/2ⁿ. Niutono–Rafsono metodas seka liestinę iki ašies: x_n+1 = x_n − f(x_n)/f′(x_n); prie paprastosios šaknies jis maždaug padvigubina teisingų skaitmenų skaičių per žingsnį. Tiesinė interpoliacija tarp dviejų lentelės taškų: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).

Sąlyga

4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000

Logaritmas

n > ln(40000)/ln 2 = 15,29

n = 16

Patikra

2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536

Atsakymas

n = 16

Sekos ir eilutėsVidutinis

Raskite sumą S = Σ_k=1^∞ 12/(k(k + 3)).

a_k = 12/(k(k + 3))

Raskite S

Rodyti užuominas

Skaidymas paprastosiomis trupmenomis: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
Užrašykite pirmuosius kelis narius: dauguma jų išsiprastina (teleskopinė suma).
Lieka (12/3)·(1 + … + 1/3).

Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σc_k(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |c_k/c_k+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.

Paprastosios trupmenos

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Atšaukti

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Atsakymas

S = 7,333

Kaip vyksta praktika

„Praktikuotis šiame kurse“ maišo uždavinius iš visų kurso temų, kaip tikrame egzamine.
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Bandomieji egzaminai yra riboto laiko ir be užuominų, o pabaigoje gaunate rezultatą ir išsamią peržiūrą.

Šio kurso skaičiuoklės

Matricos determinanto ir atvirkštinės matricos skaičiuoklė Tikrinių reikšmių ir tikrinių vektorių skaičiuoklė Pusėjimo trukmės ir eksponentinio mažėjimo skaičiuoklė Tiesinių lygčių sistemų sprendyklė (2×2 ir 3×3)

Susiję kursai

Inžinerinė matematika 2 Inžinerinė matematika Diferencialinės lygtys Matematinė analizė 2 AP Calculus uždaviniai Matematinė analizė 1 Statistikos pagrindai Statistika 2: statistinės išvados

Praktikuokitės šiame kurse nemokamai Praktikuotis šiame kurse Laikyti bandomąjį egzaminąKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.