Skaitiniai metodai: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio
Nemokami uždaviniai tema Skaitiniai metodai su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: šaknų radimas ir interpoliacija, trapecijų ir Simpsono formulės, Oilerio, Hoino ir Rungės–Kutos metodai.
Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
Taikykite Niutono–Rafsono metodą f(x) = e−x − x su pradine reikšme x₀ = 0. Raskite x2.
Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.
Dažnos klaidos
Palikti netinkamą pusiaukirtos intervalo pusę arba klaidingai suskaičiuoti žingsnius.
Niutono–Rafsono metode rašyti x − f′/f vietoje x − f/f′.
Trapecijų formulėje vidiniams mazgams duoti svorį 1 arba naudoti Simpsono formulę su nelyginiu juostų skaičiumi.
Per anksti apvalinti iteracijas.
Atlikti vienu Oilerio žingsniu per mažai ar per daug, kad pasiektumėte galutinį laiką.
Pagrindinės formulės
Pusiaukirta
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Daugelis lygčių ir integralų neturi atsakymo formulės: x = cos x, ∫e−x²dx ar dauguma diferencialinių lygčių. Skaitiniai metodai apskaičiuoja atsakymą žingsnis po žingsnio bet kokiu jums reikalingu tikslumu.
Pusiaukirtos metodas randa f(x) = 0 šaknį intervale [a, b], kuriame f keičia ženklą. Imkite vidurio tašką c = (a + b)/2 ir palikite pusę, kurioje ženklas vis dar keičiasi.
Pavyzdys: f(x) = x² − 2 intervale [1, 2]. c₁ = 1,5 duoda f = 0,25 > 0, taigi paliekame [1, 1,5]. c₂ = 1,25 duoda f = −0,4375 < 0, taigi paliekame [1,25; 1,5]. Tada c₃ = 1,375.
Kiekvienas žingsnis perpus sumažina intervalą, todėl po n žingsnių jo plotis yra (b − a)/2ⁿ. Pusiaukirta lėta, bet visada veikia, kai turite ženklo pokytį.
Savikontrolė Pusiaukirta prasideda 1 ilgio intervale. Koks intervalo plotis po 10 žingsnių?
1/100
1/1024
1/10
1/20
Atsakymas: 1/1024. Kiekvienas žingsnis jį perpus sumažina: 1/2¹⁰ = 1/1024 ≈ 0,001. Dalijant iš 10 ar 20 perpus sumažėjimas traktuojamas tarsi sudėtinis.
2Niutono–Rafsono metodas
Niutono–Rafsono metodas seka liestinę iki x ašies ir tos sankirtos tašką naudoja kaip kitą spėjimą:
Prie šaknies Niutono metodas maždaug padvigubina teisingų skaitmenų skaičių kiekviename žingsnyje. Jis gali nepavykti, kai f′(xₙ) artima 0 arba kai pradinis taškas toli nuo šaknies.
Kiekvienoje iteracijoje palikite bent šešis skaitmenis; per ankstyvas apvalinimas neleidžia metodui gerėti.
Savikontrolė Vienas Niutono žingsnis f(x) = x² − 5 nuo x₀ = 2 duoda…
1,75
2,25
2,2
2,5
Atsakymas: 2,25. f(2) = −1 ir f′(2) = 4, taigi x₁ = 2 − (−1)/4 = 2,25. Pridėjus −1/4, o ne atėmus, gaunama 1,75.
3Tiesinė interpoliacija
Lentelėse reikšmės pateikiamos tik tam tikruose taškuose. Tiesinė interpoliacija nubrėžia tiesę tarp dviejų gretimų lentelės taškų:
y = y₁ + (y₂ − y₁)·(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Pavyzdys: lentelė duoda f(1) = 2,0 ir f(2) = 2,6. Kai x = 1,4, dalis yra 0,4, taigi f(1,4) ≈ 2,0 + 0,6·0,4 = 2,24.
Atvirkštinė interpoliacija veikia taip pat, tik atvirkščiai: norint rasti, kur y = 2,3, dalis yra (2,3 − 2,0)/0,6 = 0,5, taigi x ≈ 1,5.
4Trapecijų ir Simpsono formulės
Norėdami integruoti f nuo a iki b, padalykite intervalą į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀, x₁, …, xₙ.
Trapecijų formulė kiekvienoje juostoje kreivę pakeičia tiese. Kiekvienas vidinis mazgas priklauso dviem juostoms, todėl skaičiuojamas du kartus:
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]
Simpsono formulė per kiekvienus tris mazgus nubrėžia parabolę. Jai reikia lyginio n:
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]
∫01 x² dx = 1/3, kai n = 2 (h = 0,5): T = 0,25·(0 + 0,5 + 1) = 0,375, o S = (0,5/3)·(0 + 1 + 1) = 0,3333, tiksliai.
Trapecijų paklaida mažėja kaip h², o Simpsono – kaip h⁴: perpus sumažinus h, Simpsono formulė tampa maždaug 16 kartų tikslesnė.
Atsakymas: 1, 2, 2, 1. Du kraštiniai taškai priklauso vienai juostai, o vidiniai – dviem, taigi 1, 2, 2, 1 su daugikliu h/2. Ketvertai priklauso Simpsono formulei.
5Oilerio ir Hoino metodai diferencialinėms lygtims
Lygčiai y′ = f(t, y), kai y(t₀) = y₀, žengiame laike pirmyn žingsniu h. Oilerio metodas naudoja nuolydį kiekvieno žingsnio pradžioje:
Oilerio paklaida proporcinga h, Hoino – h². Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) naudoja keturis nuolydžius ir yra tikslus iki h⁴.
Išspręstas pavyzdys
Išspręskite y′ = y, y(0) = 1 Oilerio metodu su h = 0,1 iki t = 0,3 ir palyginkite su tiksliu sprendiniu eᵗ.
1
1 žingsnis
y₁ = 1 + 0,1·1 = 1,1
2
2 žingsnis
y₂ = 1,1 + 0,1·1,1 = 1,21
3
3 žingsnis
y₃ = 1,21 + 0,1·1,21 = 1,331
4
Palyginkite
Tiksli reikšmė yra e0,3 = 1,349859, taigi globalioji paklaida yra 0,0189. Vienas Hoino žingsnis nuo y₀ duotų 1 + 0,05·(1 + 1,1) = 1,105, palyginti su e0,1 = 1,105171.
Atsakymas
y(0,3) ≈ 1,331 Oilerio metodu; paklaida 0,019 mažėja maždaug proporcingai h.
6Dažnos klaidos ir egzamino klausimai
Pirmąjį pusiaukirtos vidurio tašką laikyti 0 žingsniu arba palikti netinkamą intervalo pusę.
Niutono metode rašyti x − f′/f vietoje x − f/f′.
Pamiršti daugiklį 2 vidiniams mazgams arba naudoti h vietoje h/2 trapecijų formulėje.
Naudoti Simpsono formulę su nelyginiu juostų skaičiumi.
Oilerio metode naudoti nuolydį žingsnio gale arba atlikti vienu žingsniu per mažai.
Lengvi: pusiaukirta, Niutono iteracijos ir interpoliacija lentelėje. Vidutiniai: trapecijų ir Simpsono formulės, jų paklaida ir reikalingas juostų skaičius. Sunkūs: Oilerio, Hoino ir Rungės–Kutos žingsniai diferencialinėms lygtims.
Savikontrolė y′ = 2y, kai y(0) = 1. Ką duoda vienas Oilerio žingsnis su h = 0,2?
1,2
1,49
1,4
2,4
Atsakymas: 1,4. y₁ = 1 + 0,2·(2·1) = 1,4. Pamiršus daugiklį 2 nuolydyje gaunama 1,2; 1,49 yra tikslioji reikšmė e0,4.
Pusiaukirtos metodas prasideda 4 ilgio intervalu. Kiekvienas žingsnis padalija intervalą pusiau. Kiek žingsnių n reikia bent, kad intervalas taptų trumpesnis nei 0,0001?
b − a = 4ε = 0,0001
Raskite n
Rodyti užuominas
Po n žingsnių intervalo ilgis yra (b − a)/2ⁿ.
Išspręskite 4/2ⁿ < 0,0001, taigi 2ⁿ > 40000.
n > log₂(40000) = 15,29
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Šaknų radimas ir interpoliacija: pusiaukirtos metodas išlaiko intervalą [a, b], kuriame f keičia ženklą; kiekviename žingsnyje imamas vidurio taškas c = (a + b)/2 ir paliekama pusė, kurioje ženklas vis dar keičiasi, todėl po n žingsnių intervalo plotis yra (b − a)/2ⁿ. Niutono–Rafsono metodas seka liestinę iki ašies: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); prie paprastosios šaknies jis maždaug padvigubina teisingų skaitmenų skaičių per žingsnį. Tiesinė interpoliacija tarp dviejų lentelės taškų: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).
Sąlyga
4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000
Logaritmas
n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16
Patikra
2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536
Atsakymas
n = 16
Pavyzdys 2Vidutinis
Trapecijų formule su n = 3 juostų apytiksliai apskaičiuokite ∫01,5 √(1 + x³) dx. Pateikite T.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 3
Raskite T
Rodyti užuominas
h = (1,5 − 0)/3 = 0,5; mazgai yra 0, 0,5, 1, 1,5.
Svoriai: 1, 2, 2, …, 2, 1; T = (h/2)·Σ wᵢfᵢ.
Svertinė suma yra Σ wᵢfᵢ = 8,041398.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.
Daugelis lygčių ir integralų neturi atsakymo formulės: x = cos x, ∫e−x²dx ar dauguma diferencialinių lygčių. Skaitiniai metodai apskaičiuoja atsakymą žingsnis po žingsnio bet kokiu jums reikalingu tikslumu.
Pavyzdys: f(x) = x² − 2 intervale [1, 2]. c₁ = 1,5 duoda f = 0,25 > 0, taigi paliekame [1, 1,5]. c₂ = 1,25 duoda f = −0,4375 < 0, taigi paliekame [1,25; 1,5]. Tada c₃ = 1,375.
Skaitiniai metodai: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.
Skaitiniai metodai: kokios klaidos dažniausios?
Palikti netinkamą pusiaukirtos intervalo pusę arba klaidingai suskaičiuoti žingsnius.
Niutono–Rafsono metode rašyti x − f′/f vietoje x − f/f′.
Trapecijų formulėje vidiniams mazgams duoti svorį 1 arba naudoti Simpsono formulę su nelyginiu juostų skaičiumi.
Per anksti apvalinti iteracijas.
Atlikti vienu Oilerio žingsniu per mažai ar per daug, kad pasiektumėte galutinį laiką.
Skaitiniai metodai: ką lavinsite?
Lengvas: šaknų radimas ir interpoliacija
Vidutinis: trapecijų ir Simpsono formulės
Sunkus: Oilerio, Hoino ir Rungės–Kutos metodai
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Kaip vyksta praktika
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.