Kompleksiniai skaičiai: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio
Nemokami uždaviniai tema Kompleksiniai skaičiai su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: veiksmai algebrine forma, polinė ir rodiklinė forma, Muavro formulė, šaknys ir lygtys.
Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
Kai z₁ = 1 + j4 ir z₂ = 5 + j6, raskite w = 2z₁ + 5z̄₂ menamąją dalį.
Lygtis x² = −1 neturi realiojo sprendinio. Inžinieriai įveda naują skaičių j su j² = −1. Matematikai rašo i; inžinerijoje naudojamas j, nes i jau reiškia srovę.
Kompleksinis skaičius užrašomas z = a + jb. Skaičius a yra realioji dalis, o b – menamoji dalis: Re(z) = a ir Im(z) = b.
z galite pavaizduoti tašku (a, b) Argano diagramoje: realioji dalis išilgai horizontalios ašies, menamoji – išilgai vertikalios.
Atstumas iki pradžios yra modulis |z| = √(a² + b²). Kampas nuo teigiamos realiosios ašies yra argumentas θ. Veidrodinis atspindys realiosios ašies atžvilgiu, z̄ = a − jb, yra jungtinis skaičius.
Savikontrolė Koks yra z = 3 − j4 modulis?
25
5
7
−1
Atsakymas: 5. |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5. Sudėjus 3 ir 4 gaunama 7, o pamiršus kvadratinę šaknį – 25.
2Sudėtis, daugyba ir dalyba
Sudėkite ir atimkite dalis po dalies: (2 + j3) + (1 − j4) = 3 − j.
Dauginkite išskleisdami skliaustus ir j² pakeisdami −1:
Atsakymas: 2. Tai skaičius, padaugintas iš savo jungtinio: 1² + 1² = 2. Užrašius 1 − j² kaip 1 − 1 = 0, pamirštama, kad j² = −1, taigi −j² = +1.
3Polinė ir rodiklinė forma
Tašką galima nurodyti ir jo atstumu bei kampu: z = r∠θ, kur r = |z| ir θ = arg z. Atgal į algebrinę formą su a = r cos θ ir b = r sin θ.
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
Paskutinė forma naudoja Oilerio formulę ejθ = cos θ + j sin θ. Rodiklinėje formoje θ turi būti radianais.
Stebėkite ketvirtį. Skaičiuotuvas atan(b/a) duoda tarp −90° ir 90°. Jei a < 0, taškas yra kairėje, todėl pridėkite arba atimkite 180°.
Pavyzdys: z = −2 + j2. Tada r = √8 = 2,828. Atskaitos kampas yra atan(2/2) = 45°, o taškas yra antrajame ketvirtyje, todėl θ = 180° − 45° = 135°.
Savikontrolė Koks yra z = −1 − j argumentas tarp −180° ir 180°?
135°
45°
−135°
−45°
Atsakymas: −135°. Taškas yra trečiajame ketvirtyje. Atskaitos kampas yra 45°, taigi θ = −(180° − 45°) = −135°. atan(−1/−1) = 45° rodo priešingą ketvirtį.
4Daugyba polinėje formoje, laipsniai ir šaknys
Polinėje formoje daugyba paprasta: modulius sudauginkite, o argumentus sudėkite. Dalijant modulius padalykite, o argumentus atimkite.
(r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)
Tai pakartojus gaunama Muavro teorema: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ.
Lygtis zⁿ = R∠φ turi lygiai n šaknų. Visų jų modulis R1/n, o argumentai (φ + 360°·k)/n, kai k = 0, 1, …, n − 1.
Kai z³ = 8 = 8∠0°: modulis yra 2, o argumentai 0°, 120° ir 240° (t. y. −120°). Šaknys sudaro taisyklingą trikampį apskritime.
Kvadratinė lygtis z² + pz + q = 0, kai p² < 4q, turi kompleksines šaknis −p/2 ± j√(q − p²/4). Realiojo daugianario kompleksinės šaknys visada yra jungtinėmis poromis.
5Išspręstas pavyzdys
Tokių skaičių kaip 1 + j laipsniai polinėje formoje skaičiuojami daug greičiau nei dauginant.
r = √(1² + 1²) = √2. Taškas yra pirmajame ketvirtyje, todėl θ = atan(1/1) = 45°.
1 + j = √2∠45°
2
Taikykite Muavro teoremą
Modulį pakelkite 6 laipsniu, o kampą padauginkite iš 6.
(√2)6 = 8, 6·45° = 270°
3
Atveskite kampą į intervalą
270° yra ta pati kryptis kaip −90°.
(1 + j)6 = 8∠−90°
4
Atgal į algebrinę formą
8(cos(−90°) + j sin(−90°)) = 8(0 − j) = −j8
Atsakymas
(1 + j)6 = −j8: realioji dalis 0, menamoji dalis −8.
6Dažnos klaidos ir egzamino klausimai
Pamiršti, kad skleidžiant j² = −1, todėl vienas narys gauna neteisingą ženklą.
Dalyti dalis po dalies: (a + jb)/(c + jd) nėra a/c + jb/d. Naudokite jungtinį.
Imti atan(b/a) kaip argumentą, kai a < 0. Pirmiausia nubraižykite tašką.
Naudoti laipsnius ejθ arba palikti skaičiuotuvą radianų režimu, kai r∠θ pateiktas laipsniais.
Muavro teoremoje: pamiršti modulį pakelti laipsniu arba pateikti tik vieną zⁿ = w šaknį.
Lengvuose uždaviniuose prašoma sandaugos, dalmens ar sumos dalies. Vidutiniuose keičiama tarp algebrinės, polinės ir rodiklinės formos. Sunkiuose naudojama Muavro teorema, n-tojo laipsnio šaknys ir daugianarių lygtys.
Savikontrolė z₁ = 2∠30° ir z₂ = 4∠50°. Kam lygu z₁·z₂?
6∠80°
8∠1500°
8∠20°
8∠80°
Atsakymas: 8∠80°. Modulius sudauginkite (2·4 = 8) ir argumentus sudėkite (30° + 50° = 80°). Sudėjus modulius gaunama 6, o kampų dauginimas neturi prasmės.
Kai z₁ = −7 + j ir z₂ = 4 + j2, raskite sandaugos z₁·z₂ realiąją dalį.
z₁ = −7 + jz₂ = 4 + j2
Raskite Re(z₁z₂)
Rodyti užuominas
Skliaustus išskleiskite kaip (a + b)(c + d), gaunant keturis narius.
Pakeiskite j² į −1, kad vienas iš keturių narių taptų realiuoju.
(−7 + j)(4 + j2) = (−28) + j(−14) + j4 + j²·2
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Kompleksiniai skaičiai: z = a + jb turi realiąją dalį a ir menamąją dalį b, kur j² = −1 (matematikai rašo i). Sudėkite ir atimkite dalį po dalies; skliaustus išskleiskite ir j² pakeiskite −1; dalydami, padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš vardiklio jungtinio, z̄ = a − jb, nes z·z̄ = a² + b² yra realusis. Argano diagramoje z yra taškas (a, b): jo atstumas iki pradžios yra modulis |z| = √(a² + b²), o kampas nuo teigiamos realiosios ašies yra argumentas θ.
Užrašykite z = 4∠160° algebrine forma a + jb ir nurodykite menamąją dalį b.
r = 4θ = 160°
Raskite b
Rodyti užuominas
a = r·cos θ ir b = r·sin θ.
sin(160°) = 0,342
Padauginkite iš r = 4.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Polinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, kur r = |z| ir θ = arg z. Atgal į algebrinę formą: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumentui reikia ketvirčio: θ = atan(b/a) tik kai a > 0; kai a < 0, pridėkite arba atimkite 180°. Polinėje formoje daugyba paprasta: modulius sudauginkite ir argumentus sudėkite; dalydami modulius padalykite, o argumentus atimkite.
Dedamosios
a = 4·cos(160°) = −3,759
b = 4·sin(160°) = 1,368
Algebrinė forma
z = −3,759 + j1,368
b = 1,368
Atsakymas
b = 1,368
Pavyzdys 3Sunkus
Lygties zⁿ = w su n = 4 ir w = 16∠−60° šaknys yra zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Raskite z₂ realiąją dalį.
w = 16∠−60°n = 4k = 2
Raskite Re(z₂)
Rodyti užuominas
Kiekvienos šaknies modulis R1/n = 161/4 = 2.
z₂ argumentas yra (φ + 360°·k)/n, kai φ = −60°, k = 2 ir n = 4.
a = R1/n·cos(165°).
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Muavro formulė ir šaknys: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Lygtis zⁿ = R∠φ turi lygiai n šaknų, visų modulis R1/n, o argumentai (φ + 360°·k)/n, kai k = 0, 1, …, n − 1: jos tolygiai išsidėsčiusios apskritime, 360°/n atstumu viena nuo kitos. Kvadratinė lygtis z² + pz + q = 0, kai p² < 4q, turi kompleksines šaknis z = −p/2 ± j√(q − p²/4); daugianaris su realiais koeficientais kompleksines šaknis visada turi jungtinėmis poromis a ± jb.
Šaknų modulis
161/4 = 2
Šaknies argumentas
θ₂ = (−60° + 360°·2)/4 = 165°
Algebrinė forma
z₂ = 2·(cos 165° + j sin 165°) = −1,932 + j0,5176
Re(z₂) = −1,932
Atsakymas
Re(z₂) = −1,932
4 šaknys išsidėsčiusios 2 spindulio apskritime, 90° atstumu viena nuo kitos.
Klausimai ir atsakymai
Kompleksiniai skaičiai: kas tai?
Lygtis x² = −1 neturi realiojo sprendinio. Inžinieriai įveda naują skaičių j su j² = −1. Matematikai rašo i; inžinerijoje naudojamas j, nes i jau reiškia srovę.
z galite pavaizduoti tašku (a, b) Argano diagramoje: realioji dalis išilgai horizontalios ašies, menamoji – išilgai vertikalios.
Kompleksiniai skaičiai: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
Nuspręskite, kokia forma tinka veiksmui: algebrinė a + jb sudėčiai ir atimčiai, polinė r∠θ daugybai, dalybai, laipsniams ir šaknims.
Dauginkite išskleisdami su j² = −1; dalykite padaugindami skaitiklį ir vardiklį iš vardiklio jungtinio.
Konvertuokite pagal r = √(a² + b²) ir θ iš taško (a, b) brėžinio (patikrinkite ketvirtį), o atgal – pagal a = r cos θ, b = r sin θ.
Laipsniams naudokite Muavro formulę, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; zⁿ = R∠φ išvardykite visas n šaknų R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Kompleksiniai skaičiai: kokios klaidos dažniausios?
Laikyti j² lygiu +1 išskleidžiant.
Atskirai dalyti realiąją ir menamąją dalis.
Imti atan(b/a) kaip argumentą kairiosios pusplokštumės taškui.
Painioti laipsnius ir radianus, ypač ejθ.
Pateikti tik vieną zⁿ = w šaknį arba pamiršti ištraukti modulio n-tojo laipsnio šaknį.
Kompleksiniai skaičiai: ką lavinsite?
Lengvas: veiksmai algebrine forma
Vidutinis: polinė ir rodiklinė forma
Sunkus: Muavro formulė, šaknys ir lygtys
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Kaip vyksta praktika
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.