Optimizavimas: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio
Nemokami uždaviniai tema Optimizavimas su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: didžiausias plotas arba tūris, mažiausia kaina arba medžiagos kiekis, pelnas ir pajamos.
Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
Ūkininkas turi 240 m tvoros stačiakampiam laukui palei tiesią upę aptverti. Palei upę tvoros nereikia. Raskite didžiausią plotą A, kurį galima aptverti.
Optimizavimas reiškia geriausios reikšmės radimą: didžiausio ploto duotam tvoros ilgiui, mažiausio metalo kiekio skardinei arba didžiausio pelno.
Dydis, kurį norite padaryti kuo didesnį ar kuo mažesnį, priklauso nuo vieno kintamojo, pavyzdžiui, lauko pločio x.
Įsivaizduokite jo grafiką. Kalvos viršūnėje ir slėnio dugne grafikas akimirką yra lygus. Taigi ten nuolydis lygus nuliui.
Tai pagrindinė idėja: ties maksimumu ar minimumu išvestinė lygi 0. Geriausią x randate išsprendę Q′(x) = 0.
Savikontrolė Lauko plotas A(x) didžiausią reikšmę turi ties x = 12. Kam lygus A′(12)?
0
Neigiamas skaičius
Tas pats kaip A(12)
Teigiamas skaičius
Atsakymas: 0. Grafiko viršūnėje liestinė horizontali, todėl nuolydis lygus 0. Teigiamas nuolydis reikštų, kad plotas dar auga.
2Tikslas ir apribojimas
Kiekvienas optimizavimo uždavinys turi dvi dalis. Įvardykite jas prieš ką nors skaičiuodami.
Tikslas: dydis, kurį reikia maksimizuoti ar minimizuoti, pavyzdžiui, plotas A ar kaina C.
Apribojimas: nustatyta sąlyga, pavyzdžiui, bendras tvoros ilgis ar tūris, kurį turi talpinti skardinė.
Tikslas dažniausiai turi du kintamuosius, pavyzdžiui, A = x · y. Jo dar negalite diferencijuoti.
Apribojimu išreikškite y per x. Tada tikslas priklauso tik nuo x.
Pavyzdys: 20 m perimetro stačiakampis turi 2x + 2y = 20, todėl y = 10 − x ir A(x) = x(10 − x) = 10x − x².
Pirmiausia nubraižykite eskizą ir užrašykite ant jo kiekvieną ilgį. Dauguma klaidų daroma apribojime.
Savikontrolė Laukas prie upės aptveriamas iš trijų pusių 40 m tvoros: dvi x ilgio pusės ir viena y pusė lygiagreti upei. Koks apribojimas?
2x + 2y = 40
2x + y = 40
x + y = 40
x · y = 40
Atsakymas: 2x + y = 40. Yra trys tvoros ruožai: x, x ir y. Upės pusei tvoros nereikia. 2x + 2y būtų pilnas stačiakampis su keturiomis aptvertomis pusėmis.
3Sąnaudų ir pelno uždaviniai
Verslo uždaviniuose tikslas yra pelnas: pajamos minus sąnaudos.
P(q) = R(q) − C(q), R = p · q
Čia q yra parduotų vienetų skaičius, o p – vieneto kaina. Jei kaina priklauso nuo q, pirmiausia šią formulę įrašykite į R.
Pavyzdys: kaina p = 60 − q, o sąnaudos C = 100 + 30q.
R = (60 − q)·q = 60q − q²
P = 60q − q² − 100 − 30q = −q² + 30q − 100
P′(q) = −2q + 30 = 0 ⇒ q = 15
Tada geriausia kaina yra p = 60 − 15 = 45 €. Atidžiai perskaitykite klausimą: gali būti prašoma q, p ar paties pelno P.
Savikontrolė Produktas parduodamas po 40 € už vienetą. q vienetų sąnaudos yra C = 100 + 10q + 0,5q² eurų. Kuri produkcija q duoda didžiausią pelną?
15
30
40
60
Atsakymas: 30. P = 40q − 100 − 10q − 0,5q², todėl P′ = 30 − q = 0 ir q = 30. Pamiršus 2 diferencijuojant 0,5q² gaunama 60.
4Metodas žingsnis po žingsnio
Nubraižykite eskizą ir pavadinkite kintamuosius.
Užrašykite tikslą Q (plotas, kaina, pelnas) ir apribojimą.
Apribojimu išreikškite Q kaip vieno kintamojo funkciją Q(x).
Diferencijuokite ir išspręskite Q′(x) = 0.
Patikrinkite, ar tai tinkamo tipo taškas: Q″ < 0 maksimumui, Q″ > 0 minimumui.
Atsakykite į užduotą klausimą: x, kitą kraštinę arba pačią geriausią Q reikšmę, su vienetais.
5Išspręstas pavyzdys
Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.
Išspręstas pavyzdys
Ūkininkas turi 60 m tvoros stačiakampiam laukui prie tiesios upės. Prie upės tvoros nereikia. Raskite kraštinę y, lygiagrečią upei, ir didžiausią plotą A.
1
Eskizas ir apribojimas
Upė yra viršuje, todėl tvoros reikia tik trims pusėms: dviem x pusėms ir vienai y pusei.
2x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x
2
Plotas per vieną kintamąjį
A = x · y = x(60 − 2x) = 60x − 2x²
3
Prilyginkite išvestinę nuliui
A′(x) = 60 − 4x = 0 ⇒ x = 15 m
4
Ar tai maksimumas?
A″(x) = −4 < 0
Antroji išvestinė neigiama, todėl x = 15 m duoda didžiausią plotą.
5
Kita kraštinė ir plotas
y = 60 − 2 · 15 = 30 m
A = 15 · 30 = 450 m²
6
Patikrinkite atsakymą
Išbandykite reikšmę kiekvienoje pusėje. x = 14 duoda 14 · 32 = 448 m², o x = 16 duoda 16 · 28 = 448 m². Abu mažesni nei 450 m².
Atsakymas
y = 30 m, o didžiausias plotas yra A = 450 m².
6Dažnos klaidos
Pateikiamas atsakymas apie netinkamą dydį: klausiama y, o pateikiate x.
Diferencijuojamas tikslas, kuris vis dar turi du kintamuosius. Pirmiausia naudokite apribojimą.
Užrašomas neteisingas apribojimas, pavyzdžiui, aptveriama ir upės pusė.
Netikrinama, ar taškas yra maksimumas, ar minimumas.
Pamirštami vienetai arba plotas pateikiamas m, o ne m².
Savikontrolė Su 40 m tvoros prie upės (2x + y = 40) geriausias plotis yra x = 10 m. Klausiama kraštinės y, lygiagrečios upei. Ką atsakysite?
10 m
20 m
200 m²
40 m
Atsakymas: 20 m. y = 40 − 2 · 10 = 20 m. Atsakius 10 m pateikiamas x vietoj y, o 200 m² yra plotas, o ne kraštinė.
7Kaip atrodo egzamino uždaviniai
Lengvi: didžiausias plotas ar tūris, pavyzdžiui, laukas prie upės arba aptvaras, padalytas papildoma tvora.
Vidutiniai: mažiausios sąnaudos ar medžiagos kiekis, pavyzdžiui, uždara skardinė (V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh) arba tvora su dviem kainomis už metrą.
Sunkūs: pelnas ir pajamos. Sudarykite P = R − C, išspręskite P′(q) = 0, tada raskite kainą ar didžiausią pelną.
Greitas patikrinimas: įrašykite į Q reikšmę šiek tiek didesnę ir šiek tiek mažesnę už jūsų atsakymą. Abi turi būti blogesnės.
Atvira dėžė gaminama iš kvadratinio 18 cm × 18 cm kartono lakšto, iš keturių kampų iškirpus vienodus x kraštinės kvadratus ir užlenkus šonus. Raskite didžiausią galimą tūrį V.
18 cm × 18 cm
Raskite V(cm³)
Rodyti užuominas
Dugno matmenys (18 − 2x) × (18 − 2x), o aukštis x.
V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x.
V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0. Prasminga tik šaknis, kuriai 0 < x < 9.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.
Tūris kaip x funkcija
V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x
Prilyginkite išvestinę nuliui
Didesnė šaknis duoda dugno kraštinę ≤ 0, todėl ji nepatenka į leistiną sritį.
V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0
x = 3 arba x = 9
x = 3 cm
Tūris
V = 3·12·12 = 432 cm³
Atsakymas
V = 432 cm³
Pavyzdys 2Vidutinis
Uždara cilindrinė skardinė (su viršumi ir dugnu) turi talpinti 400 cm³. Sunaudojamo metalo kiekis proporcingas visam paviršiaus plotui. Raskite mažiausią galimą paviršiaus plotą A.
V = 400 cm³
Raskite A(cm²)
Rodyti užuominas
h pašalinkite pagal tūrį: πr²h = 400, todėl h = 400/(πr²).
A(r) = 2πr² + 2·400/r.
A′(r) = 4πr − 2·400/r² = 0 → r³ = 400/(2π).
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.
Plotas kaip r funkcija
h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r
Prilyginkite išvestinę nuliui
A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, todėl tai minimumas.
4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm
Aukštis ir plotas
h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm
A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²
Atsakymas
A = 300,5 cm²
Pigiausios uždaros skardinės aukštis lygus jos pločiui: h = 2r.
Pavyzdys 3Sunkus
Teatras per spektaklį parduoda 580 bilietų po €10. Rinkos tyrimas rodo, kad kiekvienas bilieto kainos padidinimas €1 reiškia 20 mažiau parduotų bilietų (o kiekvienas sumažinimas €1 – 20 daugiau). Raskite didžiausias pajamas R per spektaklį.
Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.
Pajamos kaip kainos funkcija
n(p) = 780 − 20p
R(p) = 780p − 20p²
Prilyginkite išvestinę nuliui
R″(p) = −40 < 0, todėl tai maksimumas.
p = 780/40 = €19,5
Didžiausios pajamos
n = 780 − 20·19,5 = 390
R = 19,5·390 = €7605
Atsakymas
R = €7605
Klausimai ir atsakymai
Optimizavimas: kas tai?
Optimizavimas reiškia geriausios reikšmės radimą: didžiausio ploto duotam tvoros ilgiui, mažiausio metalo kiekio skardinei arba didžiausio pelno.
Dydis, kurį norite padaryti kuo didesnį ar kuo mažesnį, priklauso nuo vieno kintamojo, pavyzdžiui, lauko pločio x.
Optimizavimas: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.
Optimizavimas: kokios klaidos dažniausios?
Kiekviena dugno kraštinė abiejuose galuose netenka po kvadratą, todėl dugno kraštinės yra a − 2x ir b − 2x, o ne a − x ir b − x.
Skardinė uždara: įskaitykite ir viršų, ir dugną, A = 2πr² + 2πrh.
Tai pajamos esant dabartinei kainai. Pirmiausia raskite kainą, kuriai R′(p) = 0.
Optimizavimas: ką lavinsite?
Lengvas: didžiausias plotas arba tūris
Vidutinis: mažiausia kaina arba medžiagos kiekis
Sunkus: pelnas ir pajamos
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Kaip vyksta praktika
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.