Diferencialinės lygtys: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Diferencialinės lygtys su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: eksponentinis augimas ir mažėjimas, Niutono aušimo dėsnis, pirmos eilės tiesinės.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
ty1

Masės, spyruoklės ir slopintuvo sistema aprašoma lygtimi y″ + 4,8y′ + 4y = 0. Palyginkite ją su y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 ir raskite slopinimo santykį ζ.

y″ + 4,8y′ + 4y = 0
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Diferencialinės lygtysPraktikuokitės dabar: Diferencialinės lygtysKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvaseksponentinis augimas ir mažėjimas
  2. VidutinisNiutono aušimo dėsnis
  3. Sunkuspirmos eilės tiesinės

Pagrindinės formulės

Eksponentinis augimas / mažėjimas
dy/dt = ky → y = y0ekt
Pusėjimo trukmė
k = ln 2 / t½
Niutono aušimo dėsnis
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integruojantysis daugiklis
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Maišymo talpa
dm/dt = r·c − (r/V)·m

Išmokite Diferencialinės lygtys nuo nulio

Prieš tai: Išvestinės, Integralai

1Kas yra diferencialinė lygtis

Diferencialinė lygtis sieja dydį su jo paties kitimo sparta. Ji aprašo, kaip kažkas keičiasi, o ne kas tai yra.

Bakterijos dalijasi, todėl didesnė kolonija auga greičiau. Augimo sparta proporcinga ląstelių skaičiui N:

dN/dt = k · N

Čia dN/dt yra N išvestinė laiko t atžvilgiu, o k yra spartos konstanta. Kai k = 0,4 h⁻¹ ir N = 1000 ląstelių, tą akimirką kolonija auga 400 ląstelių per valandą.

Lygties sprendimas reiškia pačios funkcijos N(t) radimą. Taip pat reikia pradinės reikšmės, pavyzdžiui, N(0) = 200. Tai vadinama pradine sąlyga.

Savikontrolė Populiacija paklūsta dN/dt = 0,2 · N. Šiuo metu N = 500. Kaip greitai ji auga?
  1. 0,2 per valandą
  2. 100 per valandą
  3. 2500 per valandą
  4. 500 per valandą

Atsakymas: 100 per valandą. Įrašykite skaičius į lygtį: dN/dt = 0,2 · 500 = 100. Padalijus 500 iš 0,2 gaunama 2500, o tai naudoja k atvirkščiai.

2Eksponentinis augimas ir mažėjimas

Lygtis dy/dt = k·y visada turi tą patį sprendinį, eksponentinę funkciją:

y(t) = y0 · ekt

Čia y0 yra reikšmė, kai t = 0. Teigiamas k reiškia augimą. Mažėjimo lygtis yra dy/dt = −k·y, o sprendinys y = y0e−kt.

Radioaktyvusis skilimas dažnai nurodomas pusamžiu t½: laiku, po kurio lieka pusė medžiagos. Spartos konstanta iš jo gaunama:

k = ln 2 / t½

Laikui rasti abiejų pusių natūrinį logaritmą:

t = ln(y / y0) / k

Pavyzdžiui, 200 ląstelių, augančių su k = 0,4 h⁻¹, pasiekia 1000 ląstelių po t = ln(5)/0,4 ≈ 4,02 h.

Savikontrolė Medžiagos pusamžis 10 dienų. Pradedate nuo 80 mg. Kiek liks po 20 dienų?
  1. 0 mg
  2. 20 mg
  3. 40 mg
  4. 60 mg

Atsakymas: 20 mg. 20 dienų yra du pusamžiai: 80 → 40 → 20 mg. 0 mg gaunamas manant, kad dvi pusės sudaro visumą; kiekis kaskart perpus sumažėja.

3Vėsimas ir tiesinės lygtys

Niutono vėsimo dėsnis: karštas kūnas vėsta greičiau, kai yra daug karštesnis už kambarį. Kambario temperatūrą žymint Ta:

dT/dt = −k · (T − Ta) ⇒ T(t) = Ta + (T0 − Ta) · e−kt

Skirtumas T − Ta mažėja eksponentiškai, todėl temperatūra artėja prie kambario temperatūros ir niekada nenukrenta žemiau jos.

Norėdami rasti k iš vieno matavimo, įrašykite žinomas reikšmes ir logaritmuokite: k = −ln[(T1 − Ta)/(T0 − Ta)] / t1.

Pirmos eilės tiesinė lygtis turi pavidalą y′ + p(x)·y = q(x). Padauginkite ją iš integruojančiojo daugiklio μ:

μ = e∫p dx, (μ·y)′ = μ·q

Tada suintegruokite abi puses ir padalykite iš μ. Kai p = 2/x, μ = e2 ln x = x².

Savikontrolė 90 °C arbata paliekama 20 °C kambaryje. Prie kurios temperatūros ji artėja po labai ilgo laiko?
  1. 0 °C
  2. 20 °C
  3. 55 °C
  4. 90 °C

Atsakymas: 20 °C. Narys (T0 − Ta)e−kt artėja prie 0, todėl T artėja prie Ta = 20 °C. 0 °C būtų atsakymas, jei pamirštumėte kambario temperatūrą.

4Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Atpažinkite tipą: dy/dt = ky (augimas ar mažėjimas), Niutono vėsimas arba y′ + p(x)y = q(x).
  2. Užrašykite to tipo standartinį sprendinį.
  3. Pagal duomenis raskite konstantas: y0 iš pradžios, k iš pusamžio ar antro matavimo.
  4. Atsakykite į klausimą: įrašykite laiką reikšmei rasti arba naudokite ln laikui rasti.
  5. Patikrinkite k vienetus (h⁻¹, min⁻¹) pagal t vienetus.

Tiesinei lygčiai: raskite μ, suintegruokite (μy)′ = μq, pridėkite konstantą C, tada iš pradinės sąlygos raskite C.

5Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Radioaktyviojo žymeklio pusamžis 8 dienos. Pradžioje mėginyje yra 60 mg. Skilimas paklūsta dm/dt = −k·m. Kiek m lieka po 12 dienų?

1

Atpažinkite tipą

Tai eksponentinis mažėjimas, todėl sprendinys yra:

m(t) = m0 · e−kt, m0 = 60 mg
2

Raskite k iš pusamžio

k = ln 2 / 8 = 0,6931 / 8 = 0,08664 para⁻¹
3

Įrašykite laiką

k · t = 0,08664 · 12 = 1,0397
m = 60 · e−1,0397 = 60 · 0,3536 = 21,21 mg
4

Patikrinkite atsakymą

12 dienų yra 1,5 pusamžio. Po 8 dienų lieka 30 mg, o po 16 dienų – 15 mg, taigi 21,2 mg yra tarp jų, kaip ir tikimasi.

60 · 0,51,5 = 21,21 mg
tm608301615247,51221,2
Atsakymas

Po 12 dienų lieka m ≈ 21,2 mg.

6Dažnos klaidos

  • Niutono vėsimo dėsnyje pamirštama atimti ir vėl pridėti kambario temperatūrą Ta.
  • Mažėjimui naudojamas teigiamas rodiklis, todėl kiekis auga, o ne mažėja.
  • Naudojamas log10 vietoj natūrinio logaritmo ln.
  • Painiojami laiko vienetai, pavyzdžiui, k min⁻¹ su t valandomis.
  • Naudojant integruojantįjį daugiklį, iš μ padauginama tik kairioji pusė.
Savikontrolė 80 °C detalė vėsta 20 °C kambaryje. Tam tikru laiku t e−kt = 0,5. Kokia tada jos temperatūra?
  1. 30 °C
  2. 40 °C
  3. 50 °C
  4. 60 °C

Atsakymas: 50 °C. T = 20 + (80 − 20) · 0,5 = 20 + 30 = 50 °C. Tiesiogiai perpus sumažinus 80 gaunama 40 °C, o tai pamiršta kambario temperatūrą.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvi: eksponentinis augimas ir mažėjimas. Raskite kiekį po tam tikro laiko arba laiką kiekiui pasiekti, dažnai iš pusamžio.
  • Vidutiniai: Niutono vėsimo dėsnis. Iš vieno matavimo raskite k, tada raskite temperatūrą ar laiką.
  • Sunkūs: pirmos eilės tiesinė lygtis, pavyzdžiui, y′ + 2y/x = 3 su y(1) = 1. Naudokite integruojantįjį daugiklį ir raskite y ties kitu x.

Greitas patikrinimas: mažėjimo ir vėsimo atsakymai turi būti tarp pradinės ir galutinės reikšmės (0 arba kambario temperatūros).

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
rr² + br + c?

Lygčiai y″ + 4y′ + 3y = 0 raskite charakteristinės lygties šaknį r, artimiausią nuliui. Ji nustato, kaip lėtai sprendinys slopsta.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Raskite r

Rodyti užuominas
  1. Įrašykite y = ert.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Išskaidykite dauginamaisiais arba naudokite kvadratinės lygties formulę.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = ert: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·er₁t + B·er₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·ert (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Charakteringoji lygtis

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Šaknys

r = −1, r = −3
artimiausia nuliui: r = −1

Atsakymas

r = −1

Bendrasis sprendinys yra y = A·e−1t + B·e−3t.

Pavyzdys 2Vidutinis
t (min)T (°C)5Ta​73 °C50 °C

81 °C kavos puodelis paliekamas 21 °C kambaryje. Po 5 min temperatūra yra 73 °C. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kiek laiko nuo pradžios, t, reikia, kad temperatūra pasiektų 50 °C?

T0 = 81 °CTa = 21 °CT(5) = 73 °CT = 50 °C

Raskite t (min)

Rodyti užuominas
  1. Pirmiausia raskite k iš matavimo, kai t = 5 min.
  2. k = ln(60/52)/5 = 0,02862 min⁻¹.
  3. t = ln((T₀ − Tₐ)/(T − Tₐ))/k.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Aušimo konstanta

k = ln(60/52)/5 = 0,02862 min⁻¹

Laikas iki tikslinės temperatūros

t = ln(60/29)/0,02862 = 25,4 min

Atsakymas

t = 25,4 min
Pavyzdys 3Sunkus
ty1y(1) = ?

Išspręskite y′ + y = 4e−2t su y(0) = 4. Raskite y(1).

y′ + y = 4e−2ty(0) = 4

Raskite y(1)

Rodyti užuominas
  1. Integruojantysis daugiklis yra μ = et.
  2. (ety)′ = 4e−t → ety = 4/(−1)·e−t + C.
  3. y = −4·e−2t + C·e−t. C raskite pagal y(0).
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Integruojantysis daugiklis

μ = et
(ety)′ = 4e−t

Bendrasis sprendinys

y = 4/(−1)·e−2t + C·e−t = −4·e−2t + C·e−t

Pradinė sąlyga

4 = −4 + C → C = 8

Apskaičiuokite

y(1) = −4·0,1353 + 8·0,3679 = 2,402

Atsakymas

y(1) = 2,402

Klausimai ir atsakymai

Diferencialinės lygtys: kas tai?

Bakterijos dalijasi, todėl didesnė kolonija auga greičiau. Augimo sparta proporcinga ląstelių skaičiui N:

Čia dN/dt yra N išvestinė laiko t atžvilgiu, o k yra spartos konstanta. Kai k = 0,4 h⁻¹ ir N = 1000 ląstelių, tą akimirką kolonija auga 400 ląstelių per valandą.

Diferencialinės lygtys: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = ert: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·er₁t + B·er₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·ert (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Diferencialinės lygtys: kokios klaidos dažniausios?
  • Tai kita šaknis, toliau nuo nulio; jos narys slopsta greičiau.
  • r² + br + c = 0 su teigiamais b ir c turi neigiamas šaknis.
  • −b/2 yra šaknų vidurio taškas, o ne šaknis.
Diferencialinės lygtys: ką lavinsite?
  • Lengvas: eksponentinis augimas ir mažėjimas
  • Vidutinis: Niutono aušimo dėsnis
  • Sunkus: pirmos eilės tiesinės

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

IšvestinėsIntegralai

Toliau

Laplaso transformacijosSkaitiniai metodai

Skaičiuoklės

Pusėjimo trukmės ir eksponentinio mažėjimo skaičiuoklė

Kursai su šia tema

Inžinerinė matematikaDiferencialinės lygtysInžinerinė matematika 2Matematinė analizė 2Skaitiniai metodaiAP Calculus uždaviniai

Daugiau temų: Matematika ir statistika

RibosIšvestinėsOptimizavimasIntegralaiSekos ir eilutėsKelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasKompleksiniai skaičiaiSkaitiniai metodaiMatricos ir determinantaiVektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaTeiginių logika ir įrodymaiAibės, sąryšiai ir funkcijosGrafų teorijaSkaičių teorija ir modulinė aritmetikaTikimybėAprašomoji statistikaNormalusis skirstinysPasikliautinieji intervalaiHipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiTiesinė regresija ir koreliacijaChi kvadrato testai

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Diferencialinės lygtys su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Diferencialinės lygtysPraktikuokitės dabar: Diferencialinės lygtysKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.