Tiesinė regresija ir koreliacija: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Tiesinė regresija ir koreliacija su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: krypties koeficientas ir laisvasis narys, koreliacijos koeficientas, prognozė.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
xy242352445555660760xy2465060

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Raskite laisvąjį narį a.

n = 6
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Tiesinė regresija ir koreliacijaPraktikuokitės dabar: Tiesinė regresija ir koreliacijaKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvaskrypties koeficientas ir laisvasis narys
  2. Vidutiniskoreliacijos koeficientas
  3. Sunkusprognozė

Pagrindinės formulės

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Išmokite Tiesinė regresija ir koreliacija nuo nulio

Prieš tai: Aprašomoji statistika

1Kas yra regresija

Kiekvienam atvejui matuojate du dydžius, pavyzdžiui, x = mokymosi valandos ir y = egzamino balas. Kiekviena pora yra vienas taškas sklaidos diagramoje.

xy123456246810

Jei taškai išsidėstę maždaug palei tiesę, galite juos aprašyti tiese ir pagal ją prognozuoti y iš x. Tai tiesinė regresija.

ŷ = a + b · x
  • ŷ („y su stogeliu“) yra prognozuojama y reikšmė.
  • b yra nuolydis: kiek ŷ pasikeičia, kai x padidėja 1.
  • a yra laisvasis narys: ŷ reikšmė, kai x = 0.
Savikontrolė Regresijos tiesė yra ŷ = 40 + 5x, kai x yra išmokytos valandos, o ŷ – prognozuojamas balas. Ką reiškia 5?
  1. Balas yra 5 kartus didesnis už valandas
  2. Kiekviena papildoma valanda prideda maždaug 5 balus
  3. Nesimokantis studentas gauna 5
  4. Tiesė eina per tašką (5, 40)

Atsakymas: Kiekviena papildoma valanda prideda maždaug 5 balus. Nuolydis b yra ŷ pokytis vienam x vienetui. Prognozuojamas balas, kai x = 0, yra laisvasis narys a = 40, o ne 5.

2Mažiausių kvadratų tiesė

Jokia tiesė neina per kiekvieną tašką. Vertikalus atstumas nuo taško iki tiesės yra jo liekana, e = y − ŷ.

Mažiausių kvadratų tiesė yra tiesė, kurios liekanų kvadratų suma mažiausia. Jos nuolydis ir laisvasis narys randami iš nuokrypių nuo vidurkių sumų:

Sxx = Σ(x − x̄)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)
b = Sxy / Sxx, a = ȳ − b · x̄

Tiesė visada eina per vidurkių tašką (x̄, ȳ). Todėl a = ȳ − b · x̄.

Jei duotos tik sumos, naudokite santrumpas Sxx = Σx² − (Σx)²/n ir Sxy = Σxy − ΣxΣy/n.

Savikontrolė Duomenų aibei x̄ = 4, ȳ = 10 ir b = 2. Koks laisvasis narys a?
  1. 10
  2. 18
  3. 2
  4. −2

Atsakymas: 2. a = ȳ − b · x̄ = 10 − 2 · 4 = 2. Pridėjus vietoj atėmus gaunama 18, o 10 yra pats ȳ, pamiršus nuolydį.

3Koreliacijos koeficientas

Pearsono koreliacijos koeficientas r matuoja, kaip arti tiesės išsidėstę taškai. Jis visada yra tarp −1 ir 1.

r = Sxy / √(Sxx · Syy), Syy = Σ(y − ȳ)²
  • r arti 1: stipri kylanti tendencija.
  • r arti −1: stipri krintanti tendencija, pavyzdžiui, automobilio kaina pagal automobilio amžių.
  • r arti 0: tiesinio ryšio nėra.

r turi tą patį ženklą kaip nuolydis b. Jo kvadratas r² yra y kitimo dalis, kurią paaiškina tiesė.

Stipri koreliacija neįrodo, kad x sukelia y. Abu gali priklausyti nuo trečio dydžio.

Savikontrolė Automobilio amžiui x ir kainai y r = −0,95. Ką tai rodo?
  1. Senesni automobiliai kainuoja daugiau
  2. Silpną ryšį
  3. Skaičiavimas neteisingas, nes r neigiamas
  4. Stiprų krintantį tiesinį ryšį

Atsakymas: Stiprų krintantį tiesinį ryšį. r, artimas −1, reiškia, kad taškai išsidėstę arti krintančios tiesės: kaina krenta, amžiui didėjant. Neigiamas r visiškai tinka; neįmanomos tik reikšmės už −1 iki 1 ribų.

4Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Apskaičiuokite vidurkius x̄ ir ȳ.
  2. Sudarykite lentelę su stulpeliais x − x̄, y − ȳ, jų sandauga ir (x − x̄)². Jei klausiama r, pridėkite (y − ȳ)².
  3. Susumuokite stulpelius ir gaukite Sxy, Sxx ir Syy.
  4. Nuolydis b = Sxy/Sxx, tada laisvasis narys a = ȳ − b · x̄.
  5. Koreliacija r = Sxy/√(SxxSyy).
  6. Prognozė: įrašykite x į ŷ = a + bx. Liekana: e = y − ŷ.

5Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Išmatuojamos penkios poros: x = 1, 2, 3, 4, 5 ir y = 3, 5, 6, 8, 8. Raskite mažiausių kvadratų tiesę ŷ = a + b·x ir prognozuokite ŷ, kai x = 6.

1

Vidurkiai

x̄ = 15 / 5 = 3, ȳ = 30 / 5 = 6
2

Nuokrypiai

x − x̄: −2, −1, 0, 1, 2.

y − ȳ: −3, −1, 0, 2, 2.

3

Sumos

Sudauginkite poras: 6, 1, 0, 2, 4. Pakelkite x nuokrypius kvadratu: 4, 1, 0, 1, 4.

Sxy = 6 + 1 + 0 + 2 + 4 = 13, Sxx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
4

Nuolydis ir laisvasis narys

b = 13 / 10 = 1,3
a = 6 − 1,3 · 3 = 6 − 3,9 = 2,1
xy123456246810ŷ = 2,1 + 1,3x

Punktyrinės linijos yra liekanos. Jos mažos, todėl tiesė gerai tinka.

5

Prognozuokite

ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 2,1 + 7,8 = 9,9

Patikrinimas: tiesė eina per vidurkių tašką, 2,1 + 1,3 · 3 = 6 = ȳ.

Atsakymas

ŷ = 2,1 + 1,3x, o prognozė, kai x = 6, yra ŷ = 9,9.

6Dažnos klaidos

  • Liekana skaičiuojama kaip ŷ − y vietoj y − ŷ.
  • Nuolydžiui dalijama iš Syy, o ne iš Sxx.
  • Painiojami a ir b: nuolydis dauginamas iš x.
  • Pamirštama, kad r turi tą patį ženklą kaip nuolydis.
  • Prognozuojama toli už duomenų ribų. Ten tiesė gali negalioti.
Savikontrolė Tiesė yra ŷ = 2,1 + 1,3x. Išmatuojamas naujas taškas (6, 8). Kokia jo liekana?
  1. 1,9
  2. 17,9
  3. 9,9
  4. −1,9

Atsakymas: −1,9. ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 9,9, taigi e = y − ŷ = 8 − 9,9 = −1,9. Taškas yra žemiau tiesės. 1,9 apskaičiuoja ŷ − y, atvirkščiai.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvi: nuolydis ir laisvasis narys. Penkios poros lentelėje; raskite mažiausių kvadratų tiesės b arba a.
  • Vidutiniai: koreliacijos koeficientas r pagal duomenis arba pagal duotas sumas.
  • Sunkūs: prognozė. Naudokite tiesę ŷ naujam x prognozuoti arba naujo stebėjimo liekanai rasti.

Greitas patikrinimas: b ir r ženklas turi atitikti sklaidos diagramos kryptį.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
xy2441262082210301235xy510102030

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Raskite laisvąjį narį a.

n = 6

Raskite a

Rodyti užuominas
  1. Pirmiausia raskite krypties koeficientą b = Sxy/Sxx.
  2. x̄ = 7, ȳ = 20,5.
  3. Tiesė eina per tašką (x̄, ȳ), todėl a = ȳ − b·x̄.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 123/6 = 20,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 211

Krypties koeficientas

b = 211/70 = 3,014

Laisvasis narys

a = 20,5 − 3,014·7 = −0,6

Atsakymas

a = −0,6
Pavyzdys 2Vidutinis
xy1787199921100231242512727146xy2025100120140

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 132Σy = 683Σx² = 2974Σy² = 80191Σxy = 15429

Raskite r

Rodyti užuominas
  1. Sxy = Σxy − Σx·Σy/n.
  2. Sxx = Σx² − (Σx)²/n, Syy = Σy² − (Σy)²/n.
  3. r = Sxy/√(Sxx·Syy).
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 15429 − 132·683/6 = 403
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 80191 − 683²/6 = 2443

Koreliacijos koeficientas

r = 403/√(70·2443) = 0,9746

Atsakymas

r = 0,9746
Pavyzdys 3Sunkus
xy123221318412513xy241520x = 1,5

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 1,5.

n = 5x = 1,5

Raskite ŷ

Rodyti užuominas
  1. Pirmiausia raskite mažiausiųjų kvadratų tiesę: b = Sxy/Sxx ir a = ȳ − b·x̄.
  2. x̄ = 3, ȳ = 17,4.
  3. ŷ = a + b·1,5.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17,4

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

Regresijos tiesė

b = −29/10 = −2,9
a = 17,4 − (−2,9)·3 = 26,1
ŷ = 26,1 − 2,9·x

Prognozė

ŷ = 26,1 + (−2,9)·1,5 = 21,75

Atsakymas

ŷ = 21,75

Klausimai ir atsakymai

Tiesinė regresija ir koreliacija: kas tai?

Kiekvienam atvejui matuojate du dydžius, pavyzdžiui, x = mokymosi valandos ir y = egzamino balas. Kiekviena pora yra vienas taškas sklaidos diagramoje.

Jei taškai išsidėstę maždaug palei tiesę, galite juos aprašyti tiese ir pagal ją prognozuoti y iš x. Tai tiesinė regresija.

Tiesinė regresija ir koreliacija: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Tiesinė regresija ir koreliacija: kokios klaidos dažniausios?
  • Laisvasis narys a = ȳ − b·x̄: tiesė eina per tašką (x̄, ȳ).
  • ȳ yra tiesės aukštis taške x = x̄, o ne taške x = 0. Naudokite a = ȳ − b·x̄.
  • Kovariacijoje ir abiejuose standartiniuose nuokrypiuose naudokite tą patį daliklį (n arba n − 1). Naudojant Sxy, Sxx ir Syy, dalikliai susiprastina.
Tiesinė regresija ir koreliacija: ką lavinsite?
  • Lengvas: krypties koeficientas ir laisvasis narys
  • Vidutinis: koreliacijos koeficientas
  • Sunkus: prognozė

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Aprašomoji statistika

Skaičiuoklės

Tiesinės regresijos skaičiuoklėKoreliacijos koeficiento skaičiuoklė (Pirsono ir Spirmeno)

Kursai su šia tema

Psichologijos tyrimų metodai ir statistikaStatistikos pagrindaiStatistika 2: statistinės išvadosAP Statistics uždaviniaiCFA Level I kiekybinių metodų ir fiksuotųjų pajamų praktika

Daugiau temų: Matematika ir statistika

RibosIšvestinėsOptimizavimasIntegralaiSekos ir eilutėsKelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasDiferencialinės lygtysKompleksiniai skaičiaiSkaitiniai metodaiMatricos ir determinantaiVektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaTeiginių logika ir įrodymaiAibės, sąryšiai ir funkcijosGrafų teorijaSkaičių teorija ir modulinė aritmetikaTikimybėAprašomoji statistikaNormalusis skirstinysPasikliautinieji intervalaiHipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiChi kvadrato testai

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Tiesinė regresija ir koreliacija su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Tiesinė regresija ir koreliacijaPraktikuokitės dabar: Tiesinė regresija ir koreliacijaKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.