Tikimybė: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Tikimybė su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: vienodai tikėtinos baigtys, skaičiavimas ir priešingi įvykiai, binominis skirstinys.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
suma ≥ 41 kauliukas2 kauliukas112345672234567833456789445678910556789101166789101112P = ?

Metami du simetriški lošimo kauliukai. Kokia tikimybė P, kad suma bus bent 4?

2 kauliukai≥ 4

Tikimybę nurodykite dešimtainiu skaičiumi nuo 0 iki 1.

Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: TikimybėPraktikuokitės dabar: TikimybėKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvasvienodai tikėtinos baigtys
  2. Vidutinisskaičiavimas ir priešingi įvykiai
  3. Sunkusbinominis skirstinys

Pagrindinės formulės

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Išmokite Tikimybė nuo nulio

1Kas yra tikimybė

Tikimybė yra skaičius nuo 0 iki 1, parodantis, kiek kas nors tikėtina. 0 reiškia, kad niekada neįvyksta, 1 – kad įvyksta visada.

Kai visi rezultatai vienodai tikėtini, juos suskaičiuokite:

P(A) = palankių baigčių skaičius / visų baigčių skaičius

Maišelyje yra 3 raudoni, 5 mėlyni ir 2 žali rutuliai, iš viso 10. Jei traukiate vieną atsitiktinai, P(mėlynas) = 5/10 = 0,5.

Sąžiningas lošimo kauliukas turi 6 sieneles, taigi P(šešetas) = 1/6 ≈ 0,167 ir P(lyginis) = 3/6 = 0,5.

Tikimybė taip pat gali būti užrašoma procentais: 0,5 yra 50 %. Egzamino atsakymai paprastai yra dešimtainės trupmenos tarp 0 ir 1.

Savikontrolė Maišelyje yra 2 raudoni, 8 mėlyni ir 4 žali rutuliai. Atsitiktinai ištraukiate vieną. Kiek yra P(raudonas)?
  1. 2/12 ≈ 0,167
  2. 2/14 ≈ 0,143
  3. 2/8 = 0,25
  4. 2

Atsakymas: 2/14 ≈ 0,143. Iš viso yra 2 + 8 + 4 = 14 rutulių, ir 2 yra raudoni: 2/14 ≈ 0,143. Dalijant iš 12 skaičiuojami tik kiti rutuliai, bet suma turi apimti ir raudonus.

2Įvykių jungimo taisyklės

  • Papildinys: P(ne A) = 1 − P(A). Naudokite jį klausimams „bent vienas“: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno).
  • Ir, nepriklausomi įvykiai: dauginkite. Dvi sąžiningos monetos duoda P(du herbai) = 0,5 · 0,5 = 0,25.
  • Arba: P(A arba B) = P(A) + P(B) − P(A ir B). Atimkite persidengimą, kad jo nesuskaičiuotumėte du kartus.

Traukimas be grąžinimo keičia maišelį. Išėmus vieną raudoną rutulį, raudonų rutulių lieka vienu mažiau ir iš viso rutulių vienu mažiau.

Kai yra 5 raudoni ir 4 mėlyni rutuliai, P(du raudoni) = 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278.

Grupėms, kai tvarka nesvarbi, skaičiuoti naudokite derinius. Būdų pasirinkti k objektų iš n skaičius yra:

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Čia n! = n · (n − 1) · … · 1. Taigi C(6, 4) = 720 / (24 · 2) = 15 komitetų po 4 žmones iš 6.

Savikontrolė Maišelyje yra 5 raudoni ir 4 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du negrąžindami pirmojo. Kiek yra P(abu raudoni)?
  1. 0,139
  2. 0,278
  3. 0,309
  4. 0,556

Atsakymas: 0,278. 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278. Naudojant 5/9 · 5/9 ≈ 0,309 pamirštama, kad pirmojo raudono rutulio maišelyje nebėra.

3Binominis skirstinys

Kai kuriuose klausimuose tas pats bandymas kartojamas n kartų: tikrinami 5 komponentai, spėjama 8 atsakymai, metama moneta 3 kartus. Kiekvienas bandymas sėkmingas su tikimybe p, nepriklausomai nuo kitų.

Sėkmių skaičius X tada seka binominį skirstinį:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
  • pᵏ: k sėkmių.
  • (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: n − k nesėkmių.
  • C(n, k): skirtingų tvarkų, kuriomis gali išsidėstyti sėkmės, skaičius.

Klausimui „daugiausia vienas“ sudėkite P(X = 0) ir P(X = 1). Klausimui „bent vienas“ naudokite 1 − P(X = 0).

Savikontrolė Metate sąžiningą monetą 3 kartus. Kokia tikimybė, kad iškris tiksliai 2 herbai?
  1. 0,125
  2. 0,25
  3. 0,375
  4. 0,667

Atsakymas: 0,375. C(3, 2) · 0,5² · 0,5 = 3 · 0,125 = 0,375. Pamiršus C(3, 2) gaunama 0,125: tai tik viena tvarka, pavyzdžiui, HHT, bet THH ir HTH taip pat skaičiuojami.

4Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Užrašykite, kas yra vienas rezultatas ir kiek iš viso yra rezultatų.
  2. Išverskite žodžius: „ir“ reiškia dauginti, „arba“ – sudėti (minus persidengimas), „ne“ – 1 − P.
  3. Klausimui „bent vienas“ pirmiausia apskaičiuokite papildinį „nė vieno“.
  4. Be grąžinimo: po kiekvieno traukimo sumažinkite skaičius. Arba skaičiuokite deriniais.
  5. Pakartotiniai nepriklausomi bandymai su pastovia p: naudokite binominę formulę.
  6. Patikrinkite, ar atsakymas yra tarp 0 ir 1.

Medžio diagrama padeda, kai yra keli žingsniai: dauginkite palei šaką ir sudėkite šakas, kurių reikia.

5Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Maišelyje yra 4 raudoni ir 6 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius negrąžindami pirmojo. Kokia tikimybė P, kad bent vienas iš jų raudonas?

1

Naudokite papildinį

„Bent vienas raudonas“ turi tris atvejus: raudonas–raudonas, raudonas–mėlynas ir mėlynas–raudonas. Priešingas, „nė vieno raudono“, turi tik vieną atvejį: mėlynas–mėlynas.

P(bent vienas raudonas) = 1 − P(abu mėlyni)
2

Pirmasis traukimas

Yra 6 mėlyni rutuliai iš 10.

P(pirmas mėlynas) = 6/10
3

Antrasis traukimas

Vieno mėlyno rutulio nebėra, taigi lieka 5 mėlyni rutuliai iš 9.

P(abu mėlyni) = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 1/3
4/10R3/9R12/906/9B24/906/10B4/9R24/905/9B30/90

Medyje R yra raudonas rutulys, o B – mėlynas. Paryškinta šaka yra mėlynas–mėlynas.

4

Paimkite papildinį

P = 1 − 1/3 = 2/3 ≈ 0,667
5

Patikrinkite atsakymą

Skaičiuokite deriniais: yra C(10, 2) = 45 poros, ir C(6, 2) = 15 iš jų yra mėlynas–mėlynas. 15/45 = 1/3, kaip ir anksčiau.

Kitos trys medžio šakos susideda į 12/90 + 24/90 + 24/90 = 60/90 = 2/3 taip pat.

Atsakymas

P = 2/3 ≈ 0,667

6Dažnos klaidos

  • Klausimui „bent vienas“ sudedamos tikimybės, užuot naudojus 1 − P(nė vieno).
  • Pamirštama sumažinti skaičius traukiant be grąžinimo.
  • Binominėje formulėje pamirštamas daugiklis C(n, k).
  • Dalijama iš netinkamos sumos, pavyzdžiui, tik iš kitų spalvų.
  • Pateikiama tikimybė didesnė už 1 arba mažesnė už 0. Tai visada klaidos požymis.
Savikontrolė Du kartus metate sąžiningą lošimo kauliuką. Kokia tikimybė, kad iškris bent vienas šešetas?
  1. 1/3 ≈ 0,333
  2. 1/36 ≈ 0,028
  3. 11/36 ≈ 0,306
  4. 25/36 ≈ 0,694

Atsakymas: 11/36 ≈ 0,306. 1 − P(nė vieno šešeto) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36. Sudėjus 1/6 + 1/6 gaunama 1/3, o tai du šešetų atvejį suskaičiuoja du kartus.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvi: vienodai tikėtini rezultatai. Vienas traukimas iš spalvotų rutulių maišelio arba vienas kauliuko metimas.
  • Vidutiniai: skaičiavimas ir papildiniai. Komitetai su C(n, k) arba du traukimai be grąžinimo.
  • Sunkūs: binominis skirstinys. Tiksliai k sėkmių arba „daugiausia vienas“ kaip P(X = 0) + P(X = 1).

Atsakymą pateikite dešimtaine trupmena tarp 0 ir 1, suapvalinta iki trijų ar keturių ženklų po kablelio.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
xp(x)1?20,2530,1540,250,15

Lentelėje pateiktas X tikimybių skirstinys, bet vienos tikimybės trūksta. Raskite P(X = 1).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): ?, 0,25, 0,15, 0,2, 0,15

Raskite P(X = 1)

Rodyti užuominas
  1. Visų skirstinio tikimybių suma lygi 1.
  2. Sudėkite žinomas tikimybes.
  3. P = 1 − 0,75.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Žinomų tikimybių suma

0,25 + 0,15 + 0,2 + 0,15 = 0,75

Trūkstama tikimybė

P(X = 1) = 1 − 0,75 = 0,25

Atsakymas

P(X = 1) = 0,25
Pavyzdys 2Vidutinis
xp(x)10,1520,3530,0540,350,15μ = 2,95

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,35, 0,05, 0,3, 0,15

Raskite Var(X)

Rodyti užuominas
  1. μ = Σx·p(x) = 2,95.
  2. Tada E(X²) = Σx²·p(x).
  3. Var(X) = E(X²) − μ².
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,3 + 5·0,15 = 2,95

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,3 + 25·0,15 = 10,55

Dispersija

Var(X) = 10,55 − 2,95² = 1,848

Atsakymas

Var(X) = 1,848
Pavyzdys 3Sunkus
n = 12, p = 0,3: P(X = 5) = ?k0123456789101112

Teste yra 12 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,3, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 5?

n = 12p = 0,3k = 5

Raskite P

Rodyti užuominas
  1. Tai binominis skirstinys: fiksuotas nepriklausomų bandymų skaičius, ta pati sėkmės tikimybė.
  2. P(X = k) = C(n, k)·pk·(1 − p)n−k.
  3. C(12, 5) = 792.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 5) = 792·0,35·0,77 = 792·0,00243·0,08235 = 0,1585

Atsakymas

P = 0,1585

Klausimai ir atsakymai

Tikimybė: kas tai?

Tikimybė yra skaičius nuo 0 iki 1, parodantis, kiek kas nors tikėtina. 0 reiškia, kad niekada neįvyksta, 1 – kad įvyksta visada.

Kai visi rezultatai vienodai tikėtini, juos suskaičiuokite:

Tikimybė: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Tikimybė: kokios klaidos dažniausios?
  • Tai žinomų tikimybių suma. Trūkstama tikimybė yra 1 minus ši suma.
  • Reikšmės nėra vienodai tikėtinos: pasinaudokite tuo, kad visų tikimybių suma lygi 1.
  • E(X²) nėra dispersija: atimkite μ².
Tikimybė: ką lavinsite?
  • Lengvas: vienodai tikėtinos baigtys
  • Vidutinis: skaičiavimas ir priešingi įvykiai
  • Sunkus: binominis skirstinys

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Toliau

Įrodymais grįstos praktikos statistika

Skaičiuoklės

Binominio skirstinio skaičiuoklėPuasono skirstinio skaičiuoklėGretinių ir derinių skaičiuoklė (nPr ir nCr)Vidurkio ir dispersijos skaičiuoklė

Kursai su šia tema

Psichologijos tyrimų metodai ir statistikaStatistikos pagrindaiInžinerinė matematikaAP Statistics uždaviniaiCFA Level I kiekybinių metodų ir fiksuotųjų pajamų praktika

Daugiau temų: Matematika ir statistika

RibosIšvestinėsOptimizavimasIntegralaiSekos ir eilutėsKelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasDiferencialinės lygtysKompleksiniai skaičiaiSkaitiniai metodaiMatricos ir determinantaiVektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaTeiginių logika ir įrodymaiAibės, sąryšiai ir funkcijosGrafų teorijaSkaičių teorija ir modulinė aritmetikaAprašomoji statistikaNormalusis skirstinysPasikliautinieji intervalaiHipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiTiesinė regresija ir koreliacijaChi kvadrato testai

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Tikimybė su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: TikimybėPraktikuokitės dabar: TikimybėKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.