Chi kvadrato testai: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Chi kvadrato testai su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: suderinamumo kriterijus, nepriklausomumo testas, sprendimas pagal kritinę reikšmę.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
spalvaraudonioranžinėgeltonažalimėlynistebėta6129442145teigiama30%20%20%15%15%

Saldainių gamintojas teigia, kad spalvų dalys yra tokios, kaip nurodyta lentelėje. Atsitiktinė 200 saldainių imtis duoda stebėtus dažnius. Apskaičiuokite chi kvadrato suderinamumo statistiką χ² hipotezei H₀: teigiamos dalys yra teisingos.

n = 200k = 5
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Chi kvadrato testaiPraktikuokitės dabar: Chi kvadrato testaiKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvassuderinamumo kriterijus
  2. Vidutinisnepriklausomumo testas
  3. Sunkussprendimas pagal kritinę reikšmę

Pagrindinės formulės

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

Išmokite Chi kvadrato testai nuo nulio

Prieš tai: Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

1Ką atlieka chi kvadrato kriterijus

Chi kvadrato kriterijus (χ²) lygina dažnius. Jis klausia, ar stebimi dažniai nuo tikėtinų skiriasi labiau, nei galėtų nulemti atsitiktinumas.

Pavyzdys: metate kauliuką 60 kartų. Jei jis sąžiningas, kiekviena pusė turėtų iškristi maždaug 60 · 1/6 = 10 kartų. Tai tikėtinieji dažniai E.

Stebite 8, 12, 9, 11, 6 ir 14. Tai stebėtieji dažniai O. Jie niekada nėra lygiai 10, net ir sąžiningo kauliuko. Klausimas, ar jie nuo 10 nutolę per daug.

Kaip ir kiekviename hipotezių tikrinime, H₀ teigia, kad nieko ypatingo nevyksta: kauliukas sąžiningas arba du kintamieji yra nepriklausomi.

Savikontrolė Kauliukas metamas 120 kartų, norint patikrinti, ar jis sąžiningas. Koks kiekvienos pusės tikėtinasis dažnis?
  1. 1/6
  2. 120
  3. 20
  4. 6

Atsakymas: 20. E = n · p = 120 · 1/6 = 20. Tikimybė 1/6 nėra dažnis; ją reikia padauginti iš metimų skaičiaus.

2Kriterijaus statistika

Kiekvienai kategorijai paimkite skirtumą O − E, pakelkite kvadratu ir padalykite iš E. Tada susumuokite per visas kategorijas:

χ² = Σ (O − E)² / E

Pakėlus kvadratu kiekvienas narys tampa teigiamas. Dalyba iš E padaro, kad 4 skirtumas svarbesnis, kai tikėtasi tik 10, nei kai tikėtasi 1000.

Kauliukui: (8 − 10)²/10 + (12 − 10)²/10 + … + (14 − 10)²/10 = (4 + 4 + 1 + 1 + 16 + 16)/10 = 4,2.

Šio suderinamumo kriterijaus laisvės laipsnių skaičius yra df = k − 1, kur k – kategorijų skaičius. Šešios pusės duoda df = 5.

Didelis χ² reiškia, kad duomenys prastai atitinka H₀. Atmeskite H₀, jei χ² didesnis už lentelės kritinę reikšmę. Esant α = 0,05:

  • df 1: 3,841, df 2: 5,991, df 3: 7,815
  • df 4: 9,488, df 5: 11,070, df 6: 12,592

Kauliukui 4,2 yra mažiau nei 11,070, todėl nėra įrodymų, kad jis nesąžiningas.

Savikontrolė Viena kategorija turi O = 14 ir E = 10. Kiek ji prideda prie χ²?
  1. 0,4
  2. 1,6
  3. 16
  4. 4

Atsakymas: 1,6. (14 − 10)²/10 = 16/10 = 1,6. Nekėlus kvadratu gaunama 0,4, o nedalijus iš E – 16.

3Nepriklausomumo kriterijus

Kontingencijos lentelė skaičiuoja atvejus pagal du kintamuosius vienu metu, pavyzdžiui, gydymą (eilutės) ir rezultatą (stulpeliai). H₀: abu kintamieji yra nepriklausomi.

Jei jie nepriklausomi, tikėtinasis dažnis kiekviename langelyje išplaukia iš sumų:

E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma

Tada χ² apskaičiuojamas ta pačia formule kaip anksčiau, per visus lentelės langelius, be sumų.

df = (r − 1)(c − 1)

Čia r yra eilučių skaičius, o c – stulpelių skaičius, nelaikant sumų. 2×2 lentelės df = 1.

Savikontrolė Lentelėje, kurios bendroji suma 120, langelio eilutės suma 40, o stulpelio suma 30. Koks jo tikėtinasis dažnis?
  1. 10
  2. 1200
  3. 3
  4. 70

Atsakymas: 10. E = 40 · 30 / 120 = 1200/120 = 10. 1200 gaunama pamiršus padalyti iš bendrosios sumos.

4Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Suformuluokite H₀: teigiamos proporcijos yra teisingos (suderinamumas) arba kintamieji yra nepriklausomi.
  2. Apskaičiuokite kiekvieną tikėtinąjį dažnį: E = n · p arba eilutės suma × stulpelio suma / bendroji suma.
  3. Kiekvienam langeliui apskaičiuokite (O − E)²/E. Susumuokite visus ir gausite χ².
  4. Raskite df: k − 1 suderinamumo kriterijui, (r − 1)(c − 1) nepriklausomumui.
  5. Suraskite to df kritinę reikšmę, kai α = 0,05.
  6. Atmeskite H₀, jei χ² didesnis už kritinę reikšmę. Išvadą suformuluokite žodžiais.

Patikrinkite: kiekvienos eilutės ir stulpelio tikėtinieji dažniai susideda į tas pačias sumas kaip stebėtieji dažniai.

5Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Tyrime 120 pacientų vartoja naują vaistą (A eilutė), o 100 – placebą (B eilutė). 1 stulpelyje skaičiuojami pacientai, kuriems pagerėjo, 2 stulpelyje – kuriems nepagerėjo. Patikrinkite, kai α = 0,05, ar rezultatas nepriklauso nuo gydymo.

1

Perskaitykite lentelę

12ΣABΣ56641205446100110110220

Eilučių sumos: 120 ir 100. Stulpelių sumos: 110 ir 110. Bendroji suma: 220.

2

Tikėtini dažniai

EA1 = 120 · 110 / 220 = 60, EA2 = 60
EB1 = 100 · 110 / 220 = 50, EB2 = 50
12ΣABΣ56(60)64(60)12054(50)46(50)100110110220
3

Statistika

χ² = (56 − 60)²/60 + (64 − 60)²/60 + (54 − 50)²/50 + (46 − 50)²/50
χ² = 0,267 + 0,267 + 0,32 + 0,32 = 1,173
4

Laisvės laipsniai ir kritinė reikšmė

df = (2 − 1)(2 − 1) = 1, χ²crit = 3,841
5

Nuspręskite

3,8415%1,17χ²

1,173 yra mažiau nei 3,841, todėl χ² nepatenka į atmetimo sritį. H₀ neatmetama.

Atsakymas

χ² ≈ 1,17 < 3,841: nėra reikšmingų įrodymų, kad pagerėjimas priklauso nuo gydymo.

6Dažnos klaidos

  • Procentų ar proporcijų naudojimas vietoj dažnių. χ² veikia tik su dažniais.
  • Dalyba iš O vietoj E.
  • Sumų eilutės ar stulpelio įtraukimas į sumą.
  • Netinkamas df: lentelei jis lygus (r − 1)(c − 1), o ne langelių skaičiui minus vienas.
  • H₀ atmetimas, kai χ² mažesnis už kritinę reikšmę. Prieš H₀ liudija tik didelis χ².
Savikontrolė Nepriklausomumo kriterijui naudojama lentelė su 3 eilutėmis ir 4 stulpeliais (nelaikant sumų). Kiek ji turi laisvės laipsnių?
  1. 11
  2. 12
  3. 5
  4. 6

Atsakymas: 6. df = (3 − 1)(4 − 1) = 2 · 3 = 6. 11 yra langelių skaičius minus vienas – suderinamumo taisyklė, per klaidą pritaikyta lentelei.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvas: suderinamumas. Kauliuko pusių ar saldainių spalvų dažniai, palyginti su teigiamomis proporcijomis; apskaičiuokite χ².
  • Vidutinis: nepriklausomumo kriterijus. Iš sumų apskaičiuokite tikėtinuosius dažnius, tada χ², be tolydumo pataisos.
  • Sunkus: sprendimas pagal kritinę reikšmę. Iš lentelės raskite df ir kritinę reikšmę χ²crit, kai α = 0,05.

Greitas patikrinimas: χ² niekada nėra neigiamas ir lygus 0 tik tada, kai kiekvienas stebėtasis dažnis lygus savo tikėtinajam.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
sienelė123456stebėta534862505433

Lošimo kauliukas metamas 300 kartų, norint patikrinti, ar jis simetriškas. Pateikti kiekvienos sienelės iškritimų skaičiai. Apskaičiuokite chi kvadrato suderinamumo statistiką χ² hipotezei H₀: kiekvienos sienelės tikimybė yra 1/6.

n = 300k = 6

Raskite χ²

Rodyti užuominas
  1. Tikėtini dažniai pagal H₀: kiekvienai kategorijai E = n·p.
  2. E = 50, 50, 50, 50, 50, 50.
  3. Susumuokite (O − E)²/E per visas kategorijas.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

E = 300·p = 50, 50, 50, 50, 50, 50

Chi kvadrato statistika

χ² = (53 − 50)²/50 + (48 − 50)²/50 + (62 − 50)²/50 + (50 − 50)²/50 + (54 − 50)²/50 + (33 − 50)²/50
χ² = 9,24

Atsakymas

χ² = 9,24

df = 5. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 11,070, todėl H₀ neatmetama.

Pavyzdys 2Vidutinis
kosulysbe kosulioIš visorūkantieji334780nerūkantieji3961100Iš viso72108180

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1802 × 2

Raskite χ²

Rodyti užuominas
  1. Kiekvieno langelio tikėtinas dažnis: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma.
  2. E = 32, 48 | 40, 60.
  3. Susumuokite (O − E)²/E per visus 4 langelius.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

rūkantieji: 80·72/180 = 32, 80·108/180 = 48
nerūkantieji: 100·72/180 = 40, 100·108/180 = 60

Chi kvadrato statistika

χ² = (33 − 32)²/32 + (47 − 48)²/48 + (39 − 40)²/40 + (61 − 60)²/60
χ² = 0,09375

Atsakymas

χ² = 0,09375

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

Pavyzdys 3Sunkus

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 6 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

2 × 6

Raskite df

Rodyti užuominas
  1. Laisvės laipsnių skaičius parodo, kiek langelių gali laisvai kisti, kai sumos (ir visi įvertinti parametrai) užfiksuoti.
  2. Suderinamumo kriterijus: k − 1, minus vienas už kiekvieną įvertintą parametrą.
  3. Nepriklausomumas: (r − 1)(c − 1).
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5

Atsakymas

df = 5

Klausimai ir atsakymai

Chi kvadrato testai: kas tai?

Chi kvadrato kriterijus (χ²) lygina dažnius. Jis klausia, ar stebimi dažniai nuo tikėtinų skiriasi labiau, nei galėtų nulemti atsitiktinumas.

Pavyzdys: metate kauliuką 60 kartų. Jei jis sąžiningas, kiekviena pusė turėtų iškristi maždaug 60 · 1/6 = 10 kartų. Tai tikėtinieji dažniai E.

Chi kvadrato testai: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Chi kvadrato testai: kokios klaidos dažniausios?
  • Kiekvieną skirtumo kvadratą dalykite iš tikėtino dažnio E, o ne iš stebėto dažnio O.
  • Prieš sudėdami kiekvieną skirtumo kvadratą padalykite iš jo paties tikėtino dažnio E, o ne sumą iš n.
  • Tikėtini dažniai gaunami iš paraščių sumų, o ne tolygiai paskirsčius bendrą sumą: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma.
Chi kvadrato testai: ką lavinsite?
  • Lengvas: suderinamumo kriterijus
  • Vidutinis: nepriklausomumo testas
  • Sunkus: sprendimas pagal kritinę reikšmę

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Skaičiuoklės

Chi kvadrato suderinamumo kriterijaus skaičiuoklė

Kursai su šia tema

Psichologijos tyrimų metodai ir statistikaStatistika 2: statistinės išvadosAP Statistics uždaviniai

Daugiau temų: Matematika ir statistika

RibosIšvestinėsOptimizavimasIntegralaiSekos ir eilutėsKelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasDiferencialinės lygtysKompleksiniai skaičiaiSkaitiniai metodaiMatricos ir determinantaiVektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaTeiginių logika ir įrodymaiAibės, sąryšiai ir funkcijosGrafų teorijaSkaičių teorija ir modulinė aritmetikaTikimybėAprašomoji statistikaNormalusis skirstinysPasikliautinieji intervalaiHipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiTiesinė regresija ir koreliacija

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Chi kvadrato testai su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Chi kvadrato testaiPraktikuokitės dabar: Chi kvadrato testaiKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.