Integralai: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Integralai su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: daugianariai, rodiklinės funkcijos, logaritmai ir keitinys, plotai tarp kreivių.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
xy−2−1

Apskaičiuokite I = ∫−2−1 (4x2 − 4x + 5) dx.

f(x) = 4x2 − 4x + 5[−2, −1]
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: IntegralaiPraktikuokitės dabar: IntegralaiKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvasdaugianariai
  2. Vidutinisrodiklinės funkcijos, logaritmai ir keitinys
  3. Sunkusplotai tarp kreivių

Kaip spręsti uždavinius tema Integralai

  1. Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
  2. Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o ex, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
  3. Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
  4. Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Dažnos klaidos

  • Pamirštama padalyti iš naujo laipsnio rodiklio.
  • Po keitinio nepakeičiami integravimo rėžiai.
  • Neapibrėžtiniame integrale pamirštamas + C.

Pagrindinės formulės

Laipsnio išvestinė
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių
∫ab (f − g) dx

Išmokite Integralai nuo nulio

Prieš tai: Išvestinės

1Kas yra integralas

Integralas sudeda kintantį dydį. Aiškiausias vaizdas yra plotas po grafiku.

Automobilis važiuoja 20 m/s greičiu 5 s. Jis nuvažiuoja 20 · 5 = 100 m. Greičio ir laiko grafike tai yra stačiakampio po linija plotas.

xy520100

Kai greitis kinta, figūra po grafiku yra išlenkta, bet idėja ta pati: plotas yra kelias.

Plotą po f tarp x = a ir x = b užrašome:

∫ab f(x) dx

Skaičiai a ir b yra integralo ribos. dx nurodo, kad x yra kintamasis.

Savikontrolė Dviratininkas 4 s važiuoja pastoviu 10 m/s greičiu. Koks plotas po greičio ir laiko grafiku?
  1. 10 m
  2. 14 m
  3. 2,5 m
  4. 40 m

Atsakymas: 40 m. Plotas yra stačiakampis: aukštis 10 m/s, padaugintas iš pločio 4 s, duoda 40 m. Dalijant 10 iš 4 gaunama 2,5, kuris nėra plotas.

2Pirmykštės funkcijos ir laipsnio taisyklė

Integravimas yra diferencijavimas atvirkščiai. f pirmykštė funkcija F yra funkcija, kurios išvestinė yra f.

Kadangi (x³)′ = 3x², 3x² pirmykštė funkcija yra x³. Galima pridėti bet kokią konstantą, todėl rašome ∫3x² dx = x³ + C.

Integralų laipsnio taisyklė: padidinkite laipsnį vienetu, tada padalykite iš naujo laipsnio.

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1
  • Pastovus daugiklis lieka prieš integralą: ∫5x² dx = 5x³/3 + C.
  • Pati konstanta: ∫4 dx = 4x + C.
  • Sumoje integruokite kiekvieną narį atskirai.

Išmokite ir šiuos: ∫eˣ dx = eˣ, ∫ekx dx = ekx/k, ∫1/x dx = ln|x|, ∫cos x dx = sin x ir ∫sin x dx = −cos x.

Pirmykštę funkciją visada galite patikrinti: ją sudiferencijuokite ir turite gauti pradinę funkciją.

Savikontrolė Kam lygus ∫6x² dx?
  1. 12x + C
  2. 2x³ + C
  3. 3x³ + C
  4. 6x³ + C

Atsakymas: 2x³ + C. Padidinkite laipsnį iki 3 ir padalykite iš 3: 6x³/3 = 2x³. 12x yra išvestinė, o ne integralas, o 6x³ pamiršta dalinti iš naujo laipsnio.

3Apibrėžtiniai integralai ir plotai

Apibrėžtinis integralas turi ribas ir duoda skaičių. Raskite pirmykštę funkciją F, tada atimkite jos reikšmes dviejose ribose.

∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)

Konstanta C atimant išnyksta, todėl čia jos galima nerašyti.

Pavyzdys: ∫13 3/x dx = 3 ln 3 − 3 ln 1 = 3 ln 3 ≈ 3,296, nes ln 1 = 0.

Keitinys padeda, kai viena funkcija yra kitos viduje. Funkcijai e0,5x imkite u = 0,5x. Rezultatas yra aukščiau pateikta taisyklė: dalykite iš 0,5.

∫03 e0,5x dx = 2e0,5x |03 = 2(e1,5 − 1) ≈ 6,963

Plotas tarp dviejų kreivių yra viršutinės kreivės integralas atėmus apatinės kreivės integralą, tarp jų susikirtimo taškų.

Kreivės y = 2x ir y = x² susikerta ties x = 0 ir x = 2. Šiame intervale 2x yra viršuje.

A = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3
Savikontrolė Kreivės y = x ir y = x² susikerta ties x = 0 ir x = 1. Tarp jų y = x yra viršuje. Koks apribotas plotas?
  1. 1/2
  2. 1/6
  3. 5/6
  4. −1/6

Atsakymas: 1/6. ∫(x − x²) dx nuo 0 iki 1 yra 1/2 − 1/3 = 1/6. Atėmus iš apatinės viršutinę gaunama −1/6, o sudėjus du integralus – 5/6.

4Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Perrašykite funkciją kaip paprastų narių sumą. Šaknis ir trupmenas užrašykite laipsniais: √x = x1/2.
  2. Raskite kiekvieno nario pirmykštę funkciją pagal laipsnio taisyklę ar standartinį integralą.
  3. Greitai patikrinkite diferencijuodami mintyse.
  4. Apibrėžtiniam integralui atskirai apskaičiuokite F(b) ir F(a).
  5. Atimkite: F(b) − F(a). Saugokitės minuso ženklų, kai a neigiamas.

Ploto tarp kreivių atveju pirmiausia išspręskite f(x) = g(x) ribų radimui, tada integruokite viršutinę atėmus apatinę.

5Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Apskaičiuokite I = ∫02 (3x² + 2x + 1) dx.

1

Integruokite narys po nario

3x² duoda 3x³/3 = x³. 2x duoda 2x²/2 = x². Konstanta 1 duoda x.

F(x) = x³ + x² + x
2

Patikrinkite diferencijuodami

F′(x) = 3x² + 2x + 1

Tai pradinė funkcija, taigi F teisinga.

3

Reikšmė viršutinėje riboje

F(2) = 8 + 4 + 2 = 14
4

Reikšmė apatinėje riboje

F(0) = 0 + 0 + 0 = 0
5

Atimkite

I = F(2) − F(0) = 14 − 0 = 14
xy214

Integralas yra užtamsintas plotas po kreive tarp x = 0 ir x = 2.

Atsakymas

I = 14

6Dažnos klaidos

  • Pamirštama padalyti iš naujo laipsnio rodiklio.
  • Vietoj integravimo diferencijuojama: laipsnis mažinamas, o ne didinamas.
  • ∫1/x dx užrašoma kaip x⁰/0. Laipsnio taisyklė netinka, kai n = −1; naudokite ln|x|.
  • Pamirštami minuso ženklai F(a), kai a neigiamas, pavyzdžiui, (−1)³ = −1.
  • Neįrašoma + C neapibrėžtiniame integrale arba po keitinio nepakeičiamos ribos.
Savikontrolė Kam lygus ∫02 x³ dx?
  1. 12
  2. 16
  3. 4
  4. 8

Atsakymas: 4. F(x) = x⁴/4, todėl F(2) − F(0) = 16/4 − 0 = 4. Nepadalijus iš naujo laipsnio 4 gaunama 16.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvi: polinomo apibrėžtinis integralas, kartais su neigiamomis ribomis. Naudokite laipsnio taisyklę ir F(b) − F(a).
  • Vidutiniai: eksponentės, logaritmai ir keitinys, pavyzdžiui, ∫e0,5x dx arba ∫3/x dx tarp dviejų ribų.
  • Sunkūs: dviejų kreivių, pavyzdžiui, y = x² ir y = 4x, apribotas plotas. Raskite, kur jos susikerta, tada integruokite viršutinę atėmus apatinę.

Greitas patikrinimas: dviejų kreivių apribotas plotas visada teigiamas. Jei gavote neigiamą skaičių, atėmėte neteisinga tvarka.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
xy3y = 0,5x

Sritis po y = 0,5x nuo x = 0 iki x = 3 sukama apie x ašį. Raskite kūno (kūgio) tūrį V.

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

Raskite V

Rodyti užuominas
  1. Sluoksnis ties x yra skritulys, kurio spindulys y = 0,5x.
  2. V = π∫₀3 (0,5x)² dx.
  3. = π·0,25·x³/3.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Skritulių metodas

V = π∫₀3 0,25x² dx

Integruokite

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Atsakymas

V = 7,069

Patikra: kūgio, kurio spindulys 1,5 ir aukštis 3, tūris (1/3)πr²h = 7,069.

Pavyzdys 2Vidutinis
xy2y = x·cos x

Apskaičiuokite I = ∫₀2 x·cos x dx (x radianais).

∫₀2 x·cos x dx

Raskite I

Rodyti užuominas
  1. Imkite u = x ir dv = cos x dx.
  2. v = sin x.
  3. ∫x cos x dx = x sin x + cos x.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.

Pasirinkite u ir dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Pirmykštė funkcija

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Ribos

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Atsakymas

I = 0,4024
Pavyzdys 3Sunkus
xyy = 2x2​y = x

Raskite srities, apribotos y = 2x2 ir y = x, plotą A.

y = 2x2y = x

Raskite A

Rodyti užuominas
  1. Pirmiausia raskite kreivių susikirtimo taškus: prilyginkite jas.
  2. Jos susikerta taškuose x = 0 ir x = 0,5. Tarp jų tiesė yra virš parabolės.
  3. A = ∫00,5 (x − 2x2) dx.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Susikirtimo taškai

2x2 = x → x = 0, x = 0,5

Integruokite viršutinę minus apatinę

A = [0,5x2 − 0,6667x3]00,5 = 0,04167

Atsakymas

A = 0,04167

Klausimai ir atsakymai

Integralai: kas tai?

Integralas sudeda kintantį dydį. Aiškiausias vaizdas yra plotas po grafiku.

Automobilis važiuoja 20 m/s greičiu 5 s. Jis nuvažiuoja 20 · 5 = 100 m. Greičio ir laiko grafike tai yra stačiakampio po linija plotas.

Integralai: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
  1. Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
  2. Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o ex, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
  3. Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
  4. Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).
Integralai: kokios klaidos dažniausios?
  • Pamirštama padalyti iš naujo laipsnio rodiklio.
  • Po keitinio nepakeičiami integravimo rėžiai.
  • Neapibrėžtiniame integrale pamirštamas + C.
Integralai: ką lavinsite?
  • Lengvas: daugianariai
  • Vidutinis: rodiklinės funkcijos, logaritmai ir keitinys
  • Sunkus: plotai tarp kreivių

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Išvestinės

Toliau

Sąsūka ir LTI sistemosLaplaso transformacijosKelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasSkaitiniai metodaiDiferencialinės lygtys

Skaičiuoklės

Integralų skaičiuoklė (apibrėžtinių ir neapibrėžtinių)

Kursai su šia tema

Matematinė analizė 1Inžinerinė matematikaDiferencialinės lygtysInžinerinė matematika 2Matematinė analizė 2AP Calculus uždaviniai

Daugiau temų: Matematika ir statistika

RibosIšvestinėsOptimizavimasSekos ir eilutėsKelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasDiferencialinės lygtysKompleksiniai skaičiaiSkaitiniai metodaiMatricos ir determinantaiVektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaTeiginių logika ir įrodymaiAibės, sąryšiai ir funkcijosGrafų teorijaSkaičių teorija ir modulinė aritmetikaTikimybėAprašomoji statistikaNormalusis skirstinysPasikliautinieji intervalaiHipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiTiesinė regresija ir koreliacijaChi kvadrato testai

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Integralai su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: IntegralaiPraktikuokitės dabar: IntegralaiKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.