Inžinerinė matematika 2: uždaviniai ir egzamino klausimai

Antrasis inžinierių matematikos kursas: antros eilės diferencialinės lygtys, matricos ir vektoriai, integravimo metodai su sukimosi kūnų tūriais, dalinės išvestinės ir dvilypiai integralai, eilutės ir Teiloro polinomai, Laplaso transformacija ir sąsūka. Tai įrankiai, kuriais remiasi grandinių, virpesių ir valdymo kursai.

Praktikuokitės šiame kurse nemokamaiPraktikuotis šiame kurseLaikyti bandomąjį egzaminąKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Pasiruošimo paketas (PDF)Formulių lapai, metodų žingsniai ir uždaviniai su pilnais sprendimais, paruošti spausdinti.

Šio kurso temos

  1. Diferencialinės lygtyseksponentinis augimas ir mažėjimas · Niutono aušimo dėsnis · pirmos eilės tiesinėsskaičiavimai
  2. Matricos ir determinantai2×2 determinantas · 3×3 ir sandaugos · tikrinės reikšmės ir sistemosskaičiavimai
  3. Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugamodulis ir komponentės · skaliarinė sandauga · vektorinė sandauga ir momentaiskaičiavimai
  4. Integralaidaugianariai · rodiklinės funkcijos, logaritmai ir keitinys · plotai tarp kreiviųskaičiavimai
  5. Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasdalinės išvestinės ir dvilypiai integralai · gradientas, liečiamoji plokštuma ir sudėtinės funkcijos taisyklė · kritiniai taškai ir integralai srityseskaičiavimai
  6. Sekos ir eilutėsaritmetinė ir geometrinė progresijos bei eilutės · konvergavimas ir laipsninės eilutės · Teiloro ir Maklorino polinomaiskaičiavimai
  7. Laplaso transformacijostransformacijų poros ir vertės teoremos · atvirkštinė transformacija paprastosiomis trupmenomis · Diferencialinės lygtys ir perdavimo funkcijosskaičiavimai
  8. Sąsūka ir LTI sistemosdiskrečioji sąsūka · tolydžioji sąsūka · impulsinė charakteristika ir Furjė eilutėskaičiavimai

Egzamino patarimai: Inžinerinė matematika 2

  • Tiesinei diferencialinei lygčiai pirmiausia užrašykite charakteristinę lygtį: jos šaknys lemia sprendinio pavidalą.
  • Integruodami dalimis u rinkitės tą dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis.
  • Naudokite Laplaso transformacijų lentelę ir paprastąsias trupmenas, o ne integruokite vaizdą ranka.

Išspręsti pavyzdžiai

Diferencialinės lygtysLengvas
rr² + br + c?

Lygčiai y″ + 4y′ + 3y = 0 raskite charakteristinės lygties šaknį r, artimiausią nuliui. Ji nustato, kaip lėtai sprendinys slopsta.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Raskite r

Rodyti užuominas
  1. Įrašykite y = ert.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Išskaidykite dauginamaisiais arba naudokite kvadratinės lygties formulę.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = ert: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·er₁t + B·er₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·ert (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Charakteringoji lygtis

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Šaknys

r = −1, r = −3
artimiausia nuliui: r = −1

Atsakymas

r = −1

Bendrasis sprendinys yra y = A·e−1t + B·e−3t.

Matricos ir determinantaiVidutinis
A =−153−5−1−3−513

Raskite pateiktos 3×3 matricos A determinantą det A.

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

Raskite det A

Rodyti užuominas
  1. Skleiskite pagal pirmąją eilutę su ženklais + − +.
  2. Kiekvienas narys – elementas, padaugintas iš 2×2 determinanto, likusio išbraukus jo eilutę ir stulpelį.
  3. minorai: 0, −30, −10.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Matricos: 2×2 matricos determinantas yra ad − bc. 3×3 atveju skleiskite pagal eilutę: kiekvienas elementas dauginamas iš 2×2 matricos, likusios išbraukus jo eilutę ir stulpelį, determinanto, su besikeičiančiais ženklais + − +. Tikrinės reikšmės λ tenkina det(A − λI) = 0; 2×2 atveju tai λ² − (pėdsakas)·λ + det = 0.

Pirmosios eilutės 2×2 minorai

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

Skleidinys pagal eilutę

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

Atsakymas

det A = 120

Kaip vyksta praktika

  • „Praktikuotis šiame kurse“ maišo uždavinius iš visų kurso temų, kaip tikrame egzamine.
  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Bandomieji egzaminai yra riboto laiko ir be užuominų, o pabaigoje gaunate rezultatą ir išsamią peržiūrą.

Šio kurso skaičiuoklės

Atvirkštinės Laplaso transformacijos skaičiuoklė (paprastosios trupmenos)Laplaso transformacijos skaičiuoklėMatricos determinanto ir atvirkštinės matricos skaičiuoklėTikrinių reikšmių ir tikrinių vektorių skaičiuoklėPusėjimo trukmės ir eksponentinio mažėjimo skaičiuoklėTiesinių lygčių sistemų sprendyklė (2×2 ir 3×3)Integralų skaičiuoklė (apibrėžtinių ir neapibrėžtinių)

Susiję kursai

Inžinerinė matematikaMatematinė analizė 2Skaitiniai metodaiAP Calculus uždaviniaiDiferencialinės lygtysSignalai ir sistemosMatematinė analizė 1Statika
Praktikuokitės šiame kurse nemokamaiPraktikuotis šiame kurseLaikyti bandomąjį egzaminąKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.