Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: modulis ir komponentės, skaliarinė sandauga, vektorinė sandauga ir momentai.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
xyza

Raskite vektoriaus a = (6, −5, 9) modulį |a|.

a = (6, −5, 9)
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaPraktikuokitės dabar: Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvasmodulis ir komponentės
  2. Vidutinisskaliarinė sandauga
  3. Sunkusvektorinė sandauga ir momentai

Kaip spręsti uždavinius tema Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

  1. Kiekvieną vektorių užrašykite komponentėmis; jėgai, pateiktai moduliu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
  2. Ilgiams ir kryptims naudokite modulį √(x² + y² + z²) ir vienetinį vektorių a/|a|.
  3. Skaliarinę sandaugą naudokite kampams, projekcijoms, statmenumui ir darbui: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.

Dažnos klaidos

  • Sudedami moduliai, o ne komponentės.
  • Neteisingai nustatomas vidurinės (y) vektorinės sandaugos komponentės ženklas.
  • Momente naudojama taško padėtis vietoj r = A − O.
  • Imamas arctan nepatikrinus ketvirčio.

Pagrindinės formulės

Modulis
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vienetinis vektorius
û = a/|a|
Komponentės pagal kampą
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skaliarinė sandauga
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a skaliarinė projekcija į b
a·b/|b|
Darbas
W = F·d
Vektorinė sandauga
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Plotai
lygiagretainis |a × b|, trikampis ½|a × b|
Momentas taško O atžvilgiu
MO = r × F, r = A − O
Gretasienio tūris
V = |a·(b × c)|

Išmokite Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga nuo nulio

1Kas yra vektorius

Kai kuriems dydžiams reikia tik skaičiaus: 5 kg masei ar 20 °C temperatūrai. Tai skaliarai.

Kitiems dydžiams reikia ir krypties. 40 N jėga, stumianti aukštyn, labai skiriasi nuo 40 N jėgos, stumiančios į šoną. Tai vektoriai.

Vektorių aprašote jo dedamosiomis: kiek jis siekia išilgai x, išilgai y ir išilgai z. Vektorius a = (4, 3, 0) siekia 4 vienetus išilgai x, 3 išilgai y ir 0 išilgai z.

xyaax​ = 4ay​ = 3θO

Jėgos, poslinkiai ir greičiai yra vektoriai. Inžinieriai vektorių matematiką naudoja jėgoms sudėti, kampams rasti ir momentams skaičiuoti trimatėje erdvėje.

Vektoriai sudedami dedamąja po dedamosios: (1, 2, 0) + (3, −1, 4) = (4, 1, 4). Taip randate kelių jėgų atstojamąją.

Savikontrolė Koks vektoriaus a = (3, 4, 0) ilgis?
  1. 1
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Atsakymas: 5. Ilgis yra √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5. Dedamųjų sudėjimas (7) neteisingas, nes jos statmenos, o 25 pamiršta kvadratinę šaknį.

2Ilgis, kryptis ir dedamosios

Modulis |a| yra vektoriaus ilgis. Tai Pitagoras trimatėje erdvėje:

|a| = √(ax² + ay² + az²)

Vienetinis vektorius turi ilgį 1 ir rodo ta pačia kryptimi. Jį gaunate kiekvieną dedamąją padalydami iš modulio:

û = a / |a|

Vektoriui a = (0, 3, 4) modulis yra 5, todėl û = (0, 0,6, 0,8). Patikrinimas: 0,6² + 0,8² = 1.

Jėga xy plokštumoje dažnai pateikiama kaip dydis F ir kampas θ, matuojamas prieš laikrodžio rodyklę nuo teigiamos x ašies. Jos dedamosios yra:

Fx = F·cos θ Fy = F·sin θ

Kosinusas ir sinusas ženklus parenka automatiškai. 120° kampu veikianti jėga turi neigiamą x dedamąją, nes cos 120° = −0,5.

Grįžtant nuo dedamųjų prie kampo, arctan(Ry/Rx) duoda atsakymus tik tarp −90° ir 90°. Jei Rx neigiamas, pridėkite 180°. Jei neigiamas tik Ry, pridėkite 360°.

Savikontrolė Kokia vienetinio vektoriaus, einančio vektoriaus a = (0, 3, 4) kryptimi, y dedamoji?
  1. 0,12
  2. 0,43
  3. 0,6
  4. 3

Atsakymas: 0,6. Padalykite iš modulio 5: 3/5 = 0,6. 3 pamiršta dalyti, 0,12 dalija iš |a|² = 25, o 0,43 dalija iš dedamųjų sumos (7).

3Skaliarinė ir vektorinė sandauga

Du vektorius galima dauginti dviem būdais. Skaliarinė sandauga duoda skaičių. Vektorinė sandauga duoda naują vektorių.

a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ

Čia θ yra kampas tarp dviejų vektorių. Skaliarinė sandauga parodo, kiek vektoriai rodo ta pačia kryptimi. Ji lygi nuliui, kai vektoriai statmeni.

dFθ|F|·cos θ
  • Kampas: cos θ = a·b / (|a|·|b|).
  • Skaliarinė a projekcija į b (a dalis išilgai b): a·b / |b|.
  • Pastovios jėgos atliktas darbas per poslinkį: W = F·d.
  • Du vektoriai statmeni, kai a·b = 0.

Vektorinė sandauga a × b yra vektorius, statmenas ir a, ir b. Jo ilgis lygus lygiagretainio, kurį išklojo du vektoriai, plotui.

a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
aba × bA

Vektoriams a = (1, 2, 0) ir b = (3, 1, 0): a × b = (2·0 − 0·1, 0·3 − 1·0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5). Lygiagretainio plotas 5, o trikampio – pusė to, 2,5.

Tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra M = r × F, kai r = A − O.

Savikontrolė Kokia a × b z dedamoji, kai a = (2, 1, 0) ir b = (1, 4, 0)?
  1. 6
  2. 7
  3. 9
  4. −7

Atsakymas: 7. z dedamoji = axby − aybx = 2·4 − 1·1 = 7. −7 yra b × a (sukeista tvarka), 6 yra skaliarinė sandauga, o 9 sudeda dvi sandaugas, užuot atėmus.

4Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Kiekvieną vektorių užrašykite dedamosiomis. Jėgai, pateiktai dydžiu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
  2. Jei klausime duoti taškai, iš jų sudarykite vektorius: vektorius iš A į B yra B − A.
  3. Nuspręskite, kurio įrankio reikia. Ilgiai ir kryptys: modulis ir vienetinis vektorius. Kampai, projekcijos ir darbas: skaliarinė sandauga. Plotai, statmeni vektoriai ir momentai: vektorinė sandauga.
  4. Pirmiausia užrašykite formulę, tada įrašykite skaičius po vieną dedamąją. Ženklus laikykite skliausteliuose.
  5. Patikrinkite rezultatą: vienetinis vektorius turi ilgį 1, a × b yra statmenas a (todėl a·(a × b) = 0), o kampas tarp vektorių yra tarp 0° ir 180°.

Vienetiniam vektoriui, statmenam dviem vektoriams, imkite n = a × b ir padalykite iš jo ilgio. Jei klausimas nori teigiamos z dedamosios, o jūsų yra neigiama, pakeiskite visus ženklus.

Gretasienio (paralelepipedo) su briaunomis a, b ir c tūris yra |a·(b × c)|: pirmiausia vektorinė sandauga, tada skaliarinė.

5Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Pastovi jėga F = (6, 2, −3) N stumia objektą tiesia linija iš taško A(1, 0, 2) į tašką B(3, 4, 2). Koordinatės yra metrais. Raskite jėgos atliktą darbą W ir kampą θ tarp jėgos ir poslinkio.

1

Sudarykite poslinkį

Poslinkis yra vektorius iš A į B: iš pabaigos atimkite pradžią.

d = B − A = (3 − 1, 4 − 0, 2 − 2) = (2, 4, 0) m
2

Darbas per skaliarinę sandaugą

Darbas yra jėgos ir poslinkio skaliarinė sandauga. Sudauginkite atitinkamas dedamąsias ir sudėkite.

W = F·d = 6·2 + 2·4 + (−3)·0 = 12 + 8 + 0 = 20 J
3

Du moduliai

|F| = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7 N
|d| = √(2² + 4² + 0²) = √20 ≈ 4,472 m
4

Kampas

dFθ|F|·cos θ

Naudokite kitą skaliarinės sandaugos formą, F·d = |F|·|d|·cos θ, ir išspręskite cos θ.

cos θ = 20 / (7 · 4,472) = 0,6389
θ = arccos 0,6389 ≈ 50,3°
5

Patikrinkite atsakymą

Darbas teigiamas, todėl kampas turi būti mažesnis nei 90°. Taip ir yra.

Jėgos dalis judėjimo kryptimi yra |F|·cos θ = 7 · 0,6389 ≈ 4,47 N. Padauginus iš atstumo 4,472 m vėl gaunama 20 J.

Atsakymas

W = 20 J ir θ ≈ 50,3°.

6Dažnos klaidos

  • Sudedami moduliai, o ne dedamosios. Dvi 3 N ir 4 N jėgos statmenomis kryptimis duoda 5 N, o ne 7 N.
  • Momente naudojamos taško koordinatės vietoj r = A − O.
  • Neteisingai nustatomas vektorinės sandaugos vidurinės (y) dedamosios ženklas. Ji yra azbx − axbz, o ne atvirkščiai.
  • Sukeičiama vektorinės sandaugos tvarka. b × a rodo priešingą kryptį nei a × b.
  • Krypčiai imamas arctan nepatikrinus, kuriame ketvirtyje yra vektorius.
  • Pamirštamas ½ trikampio plotui: jis lygus pusei |AB × AC|.
Savikontrolė Jėga F = (0, 10, 0) N veikia taške A(3, 0, 0) m. Koks jos momento dydis taško O(1, 0, 0) m atžvilgiu?
  1. 10 N·m
  2. 20 N·m
  3. 30 N·m
  4. 40 N·m

Atsakymas: 20 N·m. r = A − O = (2, 0, 0) m, todėl M = r × F = (0, 0, 2·10) = (0, 0, 20) N·m. Naudojant patį tašką A kaip r gaunama 30 N·m, A + O duoda 40 N·m, o vien O – 10 N·m.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvi: modulis ir dedamosios. Vektoriaus ilgis, viena vienetinio vektoriaus dedamoji, dydžiu ir kampu pateiktos jėgos dedamoji arba dviejų jėgų atstojamosios dydis ar kryptis.
  • Vidutiniai: skaliarinė sandauga. Skaliarinė sandauga, kampas tarp dviejų vektorių, skaliarinė projekcija, jėgos atliktas darbas tarp dviejų taškų arba k reikšmė, kuriai esant du vektoriai statmeni.
  • Sunkūs: vektorinė sandauga ir momentai. Viena a × b dedamoji, lygiagretainio ar trikampio plotas, jėgos momentas taško atžvilgiu, vienetinis normalės vektorius arba gretasienio tūris iš mišriosios sandaugos.

Statmenumo klausimui padėkite a·b = 0. Tai duoda vieną tiesinę lygtį k atžvilgiu.

Trikampiui su viršūnėmis A, B ir C naudokite kraštinių vektorius AB = B − A ir AC = C − A. Plotas yra ½·|AB × AC|.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
xy135°F1​F2​

Plokštumos xy taške veikia dvi jėgos: F₁ = 110 N kampu 0° ir F₂ = 190 N kampu 135°, abu kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę nuo teigiamos x ašies. Raskite jų atstojamosios kryptį φ, matuojamą prieš laikrodžio rodyklę nuo teigiamos x ašies (nuo 0° iki 360°).

F1 = 110 N, θ1 = 0°F2 = 190 N, θ2 = 135°

Raskite φ (°)

Rodyti užuominas
  1. Išskaidykite kiekvieną jėgą į x ir y komponentes.
  2. Sudėkite x komponentes ir y komponentes atskirai.
  3. Rₓ = −24,35 N, Ry = 134,4 N.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Vectors: a vector a = (ax, ay, az) has magnitude |a| = √(ax² + ay² + az²), and the unit vector in its direction is û = a/|a|. A vector of magnitude F at an angle θ measured anticlockwise from the positive x-axis has components Fx = F·cos θ and Fy = F·sin θ. Vectors add component by component.

Atstojamosios komponentės

Rₓ = 110·cos 0° + 190·cos 135° = −24,35 N
Ry = 110·sin 0° + 190·sin 135° = 134,4 N

Kryptis

Rₓ neigiama, todėl atstojamoji nukreipta į antrąjį arba trečiąjį ketvirtį: prie skaičiuotuvo kampo pridėkite 180°.

arctan(Ry/Rₓ) = arctan(134,4/−24,35) = −79,73°
φ = 100,3°

Atsakymas

φ = 100,3°
Pavyzdys 2Vidutinis
xyzab

Raskite k reikšmę, su kuria vektoriai a = (−4, −4, 0) ir b = (k, 6, 4) yra statmeni.

a = (−4, −4, 0)b = (k, 6, 4)

Raskite k

Rodyti užuominas
  1. Statmenų vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui.
  2. Užrašykite a·b = 0 su nežinomuoju k ir išspręskite tiesinę lygtį.
  3. (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Skaliarinė sandauga lygi nuliui

a·b = (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0
−24 + (−4)·k = 0

Išspręskite k atžvilgiu

k = −(−24)/(−4) = −6

Atsakymas

k = −6
Pavyzdys 3Sunkus
xyzABC

Raskite trikampio, kurio viršūnės A(−3, −4, −1), B(−4, 3, −3) ir C(1, 4, −4), plotą A. Koordinatės pateiktos metrais.

A(−3, −4, −1)B(−4, 3, −3)C(1, 4, −4)

Raskite A (m²)

Rodyti užuominas
  1. Iš tos pačios viršūnės sudarykite du kraštinių vektorius: AB = B − A ir AC = C − A.
  2. Plotas yra ½·|AB × AC|.
  3. AB × AC = (−5, −11, −36).
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Kraštinių vektoriai

AB = B − A = (−1, 7, −2)
AC = C − A = (4, 8, −3)

Vektorinė sandauga

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 7·(−3) − (−2)·8 = −5
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = (−2)·4 − (−1)·(−3) = −11
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = (−1)·8 − 7·4 = −36
|AB × AC| = √((−5)² + (−11)² + (−36)²) = 37,97

Trikampio plotas

A = ½·37,97 = 18,99 m²

Atsakymas

A = 18,99 m²

Klausimai ir atsakymai

Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga: kas tai?

Kai kuriems dydžiams reikia tik skaičiaus: 5 kg masei ar 20 °C temperatūrai. Tai skaliarai.

Kitiems dydžiams reikia ir krypties. 40 N jėga, stumianti aukštyn, labai skiriasi nuo 40 N jėgos, stumiančios į šoną. Tai vektoriai.

Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
  1. Kiekvieną vektorių užrašykite komponentėmis; jėgai, pateiktai moduliu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
  2. Ilgiams ir kryptims naudokite modulį √(x² + y² + z²) ir vienetinį vektorių a/|a|.
  3. Skaliarinę sandaugą naudokite kampams, projekcijoms, statmenumui ir darbui: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga: kokios klaidos dažniausios?
  • Sudedami moduliai, o ne komponentės.
  • Neteisingai nustatomas vidurinės (y) vektorinės sandaugos komponentės ženklas.
  • Momente naudojama taško padėtis vietoj r = A − O.
  • Imamas arctan nepatikrinus ketvirčio.
Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga: ką lavinsite?
  • Lengvas: modulis ir komponentės
  • Vidutinis: skaliarinė sandauga
  • Sunkus: vektorinė sandauga ir momentai

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Kursai su šia tema

StatikaInžinerinė matematikaInžinerinė matematika 2

Daugiau temų: Matematika ir statistika

RibosIšvestinėsOptimizavimasIntegralaiSekos ir eilutėsKelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasDiferencialinės lygtysKompleksiniai skaičiaiSkaitiniai metodaiMatricos ir determinantaiTeiginių logika ir įrodymaiAibės, sąryšiai ir funkcijosGrafų teorijaSkaičių teorija ir modulinė aritmetikaTikimybėAprašomoji statistikaNormalusis skirstinysPasikliautinieji intervalaiHipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiTiesinė regresija ir koreliacijaChi kvadrato testai

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaPraktikuokitės dabar: Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.