Normalusis skirstinys: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Normalusis skirstinys su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: plotas vienoje uodegoje, plotas tarp dviejų reikšmių, procentiliai.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
μ = 6567,5P = ?

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Kokia dalis reikšmių didesnė už 67,5 tšk.? Raskite P(X > x) dešimtaine trupmena.

μ = 65σ = 10x = 67,5
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Normalusis skirstinysPraktikuokitės dabar: Normalusis skirstinysKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvasplotas vienoje uodegoje
  2. Vidutinisplotas tarp dviejų reikšmių
  3. Sunkusprocentiliai

Kaip spręsti uždavinius tema Normalusis skirstinys

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Dažnos klaidos

  • Lentelė skaitoma netinkamai skirstinio uodegai.
  • Pamirštama padalyti iš σ.
  • Procentiliams, mažesniems nei 50%, z ženklas paimamas atvirkščiai.

Pagrindinės formulės

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Išmokite Normalusis skirstinys nuo nulio

Prieš tai: Aprašomoji statistika

1Varpo kreivė

Daugelis dydžių, tokių kaip ūgis, IQ balai ar mašinos pripildytų pakelių svoris, seka normaliuoju skirstiniu. Dauguma reikšmių yra prie vidurio, o tolimos reikšmės retos.

Grafikas yra simetriškas varpas. Jis turi du skaičius: vidurkį μ, kur yra viršūnė, ir standartinį nuokrypį σ, kuris nusako plotį.

7085100μ115130

Pagrindinė mintis: tikimybė yra plotas po kreive. Bendras plotas lygus 1. Nuspalvintos kairiosios pusės plotas 0,5, taigi pusė visų reikšmių yra žemiau vidurkio.

Apie 68 % reikšmių yra ne toliau kaip viena σ nuo vidurkio, o apie 95 % – ne toliau kaip dvi σ.

Savikontrolė Pakelių svoris pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500 g. Kokia pakelių dalis sveria mažiau nei 500 g?
  1. 0,5
  2. 0,68
  3. 0,95
  4. Tai priklauso nuo σ

Atsakymas: 0,5. Kreivė simetriška aplink vidurkį, todėl lygiai pusė ploto yra žemiau μ, kad ir kokia būtų σ. 0,68 yra plotas ne toliau kaip viena σ į abi puses.

2z reikšmės ir lentelė

Kiekvienas normalusis skirstinys tampa ta pačia standartine normaliąja kreive (vidurkis 0, σ = 1), kai reikšmę x paverčiate z reikšme:

z = (x − μ) / σ

Lentelė duoda Φ(z): plotą kairėje nuo z. Pavyzdžiui, Φ(1,2) = 0,8849, taigi 88,49 % reikšmių yra žemiau z = 1,2.

  • Žemiau x: P(X < x) = Φ(z).
  • Virš x: P(X > x) = 1 − Φ(z), nes bendras plotas yra 1.
  • Neigiamam z: Φ(−z) = 1 − Φ(z), pagal simetriją. Taigi Φ(−1,2) = 0,1151.

Reikšmės, kurias dažnai sutiksite: Φ(1) = 0,8413, Φ(1,5) = 0,9332, Φ(2) = 0,9772.

Savikontrolė Φ(1,2) = 0,8849. Kiek yra P(Z > 1,2)?
  1. 0,1151
  2. 0,3849
  3. 0,8849
  4. 1,2

Atsakymas: 0,1151. Lentelė duoda plotą kairėje. Plotas dešinėje yra 1 − 0,8849 = 0,1151. Tiesiogiai paėmus 0,8849 nuskaitoma ne ta uodega.

3Tarp dviejų reikšmių ir procentiliai

Plotui tarp dviejų reikšmių atimkite du kairiuosius plotus: viskas žemiau viršutinės reikšmės minus viskas žemiau apatinės.

P(x₁ < X < x₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)

Procentilis veikia atvirkščiai. 90-asis procentilis yra reikšmė, kurios kairėje yra 90 % ploto.

  • Raskite z, kurio Φ(z) lygus plotui. 90 % z = 1,2816. 80 % z = 0,8416.
  • Grįžkite prie x: x = μ + z · σ.

Procentiliui, mažesniam nei 50 %, z yra neigiamas. 10-ojo procentilio z = −1,2816.

Savikontrolė IQ balai pasiskirstę normaliai, μ = 100 ir σ = 15. 80-ojo procentilio z yra 0,8416. Koks yra 80-asis procentilis?
  1. 100,8
  2. 112,6
  3. 115
  4. 87,4

Atsakymas: 112,6. x = 100 + 0,8416 · 15 = 112,6. Naudojant minuso ženklą gaunama 87,4, tai 20-asis procentilis; 100,8 reiškia, kad pamiršta dauginti iš σ.

4Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Nubraižykite varpo kreivę, pažymėkite μ ir reikšmę (-es) ir nuspalvinkite plotą, kurio klausiama.
  2. Kiekvieną reikšmę paverskite z reikšme: z = (x − μ)/σ.
  3. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę.
  4. Žemiau: Φ(z). Virš: 1 − Φ(z). Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁).
  5. Procentiliui eikite atgal: plotas → z → x = μ + zσ.
  6. Palyginkite su eskizu: nuspalvintas plotas, mažesnis nei pusė, turi duoti skaičių, mažesnį už 0,5.

5Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

IQ balai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 15. Kokia dalis P yra tarp 91 ir 121?

1

Pažymėkite plotą eskize

91x₁100121x₂

Nuspalvintas plotas apima vidurį ir daugiau dešiniosios pusės. Tikėkitės skaičiaus, kiek didesnio nei 0,5.

2

Apatinė z reikšmė

z₁ = (91 − 100) / 15 = −9/15 = −0,6
3

Viršutinė z reikšmė

z₂ = (121 − 100) / 15 = 21/15 = 1,4
4

Suraskite abu plotus

Φ(1,4) = 0,9192
Φ(−0,6) = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743
5

Atimkite

P = 0,9192 − 0,2743 = 0,6449

Tai kiek daugiau nei 0,5, kaip ir numatė eskizas.

Atsakymas

P ≈ 0,645: apie 64,5 % balų yra tarp 91 ir 121.

6Dažnos klaidos

  • Nuskaitoma ne ta uodega: naudojamas Φ(z), kai klausiama ploto virš x.
  • Pamirštama z reikšmėje dalyti iš σ.
  • Intervalui sudedami du kairieji plotai, užuot atėmus.
  • Procentiliui, mažesniam nei 50 %, naudojamas netinkamas z ženklas.
  • Painiojami σ ir dispersija σ². Dalykite iš σ, standartinio nuokrypio.
Savikontrolė Egzamino balai pasiskirstę normaliai, μ = 65 ir σ = 10. Φ(−1,5) = 0,0668. Kokia dalis surenka daugiau nei 50?
  1. 0,0668
  2. 0,4332
  3. 0,5668
  4. 0,9332

Atsakymas: 0,9332. z = (50 − 65)/10 = −1,5, ir P(X > 50) = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332. 0,0668 yra plotas žemiau 50: ne ta uodega. Dauguma studentų surenka daugiau nei 50, todėl atsakymas turi būti didelis.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvi: plotas vienoje uodegoje. Raskite P(X < x) arba P(X > x) su viena z reikšme.
  • Vidutiniai: plotas tarp dviejų reikšmių, Φ(z₂) − Φ(z₁), kaip pavyzdyje.
  • Sunkūs: procentiliai. Raskite reikšmę, žemiau kurios yra 80 % ar 90 % duomenų.

Visada pirmiausia nubraižykite eskizą. Dešimties sekundžių eskizas pastebi daugumą uodegos klaidų.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
μ = 3236,8P = ?

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Kokia dalis reikšmių didesnė už 36,8 min? Raskite P(X > x) dešimtaine trupmena.

μ = 32σ = 6x = 36,8

Raskite P(X > x)

Rodyti užuominas
  1. Paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. z = (36,8 − 32)/6 = 0,8.
  3. Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z).
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įvertis

z = (36,8 − 32)/6 = 0,8

Tikimybė

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Atsakymas

P = 0,2119

Tai 21,19 %.

Pavyzdys 2Vidutinis
750 g769,7 gX + Y?

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 250 g ir standartinis nuokrypis 4 g; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 9 g. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 769,7 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769,7 g

Raskite P

Rodyti užuominas
  1. E(X + Y) = 250 + 500 = 750 g.
  2. σ = √(4² + 9²) = 9,849 g.
  3. z = (769,7 − 750)/9,849.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standartizuokite

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Atsakymas

P = 0,02275
Pavyzdys 3Sunkus
μ = 178x = ?20%

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 20 % reikšmių (20-asis procentilis).

μ = 178σ = 7P = 20%

Raskite x (cm)

Rodyti užuominas
  1. Skaičiuokite atvirkščiai: lentelėje raskite z, kuriam Φ(z) = P/100.
  2. z = −0,8416.
  3. Tada x = μ + z·σ.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Atgal į x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Atsakymas

x = 172,11 cm

Klausimai ir atsakymai

Normalusis skirstinys: kas tai?

Daugelis dydžių, tokių kaip ūgis, IQ balai ar mašinos pripildytų pakelių svoris, seka normaliuoju skirstiniu. Dauguma reikšmių yra prie vidurio, o tolimos reikšmės retos.

Grafikas yra simetriškas varpas. Jis turi du skaičius: vidurkį μ, kur yra viršūnė, ir standartinį nuokrypį σ, kuris nusako plotį.

Normalusis skirstinys: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Normalusis skirstinys: kokios klaidos dažniausios?
  • Lentelė skaitoma netinkamai skirstinio uodegai.
  • Pamirštama padalyti iš σ.
  • Procentiliams, mažesniems nei 50%, z ženklas paimamas atvirkščiai.
Normalusis skirstinys: ką lavinsite?
  • Lengvas: plotas vienoje uodegoje
  • Vidutinis: plotas tarp dviejų reikšmių
  • Sunkus: procentiliai

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Aprašomoji statistika

Toliau

Pasikliautinieji intervalai

Skaičiuoklės

Z įverčio ir normaliojo skirstinio tikimybės skaičiuoklėNormaliojo skirstinio skaičiuoklė

Kursai su šia tema

Psichologijos tyrimų metodai ir statistikaStatistikos pagrindaiInžinerinė matematikaStatistika 2: statistinės išvadosFE Civil egzamino praktikaAP Statistics uždaviniaiCFA Level I kiekybinių metodų ir fiksuotųjų pajamų praktika

Daugiau temų: Matematika ir statistika

RibosIšvestinėsOptimizavimasIntegralaiSekos ir eilutėsKelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasDiferencialinės lygtysKompleksiniai skaičiaiSkaitiniai metodaiMatricos ir determinantaiVektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaTeiginių logika ir įrodymaiAibės, sąryšiai ir funkcijosGrafų teorijaSkaičių teorija ir modulinė aritmetikaTikimybėAprašomoji statistikaPasikliautinieji intervalaiHipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiTiesinė regresija ir koreliacijaChi kvadrato testai

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Normalusis skirstinys su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Normalusis skirstinysPraktikuokitės dabar: Normalusis skirstinysKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.