Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: z statistika, t statistika, pasikliautinieji intervalai.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
μ₀x̄c = ?α = 0,05

Tiekėjas teigia, kad vidutinis kabelio trūkimo stipris yra 50 kN; įtariate, kad jis didesnis. Žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 8 kN. Paimsite 25 kabelių imtį ir tikrinsite H₀: μ = 50 kN prieš H₁: μ > 50 kN, kai α = 0,05. Viršijus kokį imties vidurkį x̄c atmesite H₀?

μ₀ = 50 kNσ = 8 kNn = 25α = 0,05
kN
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiPraktikuokitės dabar: Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvasz statistika
  2. Vidutinist statistika
  3. Sunkuspasikliautinieji intervalai

Kaip spręsti uždavinius tema Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Dažnos klaidos

  • Dvipusiam testui naudojama vienpusio testo kritinė reikšmė.
  • Teigiama, kad H₀ įrodyta, kai ji tiesiog neatmetama.
  • Standartinėje paklaidoje pamirštama √n.

Pagrindinės formulės

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Išmokite Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai nuo nulio

Prieš tai: Pasikliautinieji intervalai

1Testo idėja

Mašina turi pripildyti butelius vidutiniškai po 500 mL. Butelių imties vidurkis yra 496 mL. Ar mašina klysta, ar tai tik atsitiktinumas?

Hipotezių tikrinimas į šį klausimą atsako skaičiais. Pradedate nuo dviejų teiginių:

  • Nulinė hipotezė H₀: niekas nepasikeitė. Čia H₀: μ = 500.
  • Alternatyvioji hipotezė H₁: ką įtariate. Čia H₁: μ ≠ 500 (dvipusė) arba μ < 500, jei jaudina tik nepripildymas (vienpusė).

Darote prielaidą, kad H₀ teisinga, ir klausiate: kiek neįprasta ši imtis? Jei ji labai neįprasta, H₀ atmetate.

Savikontrolė Tiekėjas teigia, kad jo rezistorių vidutinė varža yra 220 Ω. Norite patikrinti šį teiginį. Kokia yra H₀?
  1. x̄ = 220 Ω
  2. μ > 220 Ω
  3. μ = 220 Ω
  4. μ ≠ 220 Ω

Atsakymas: μ = 220 Ω. H₀ yra tikrinamas teiginys apie populiacijos vidurkį μ. μ ≠ 220 Ω yra alternatyvioji hipotezė H₁, o hipotezė niekada nebūna apie imties vidurkį x̄, kurį jau žinote.

2Kriterijaus statistika

Testo statistika matuoja, kiek imties vidurkis nutolęs nuo μ₀, H₀ reikšmės, standartinės paklaidos vienetais.

z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)

Kai žinomas populiacijos standartinis nuokrypis σ, naudokite z. Kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t:

t = (x̄ − μ₀) / (s / √n), df = n − 1

Arti 0 esanti z ar t reikšmė reiškia, kad imtis dera su H₀. Didelė teigiama ar neigiama reikšmė reiškia, kad imtis toli nuo μ₀.

Savikontrolė H₀: μ = 120, σ = 8, n = 16 ir x̄ = 118. Kiek yra z?
  1. 1
  2. −0,25
  3. −1
  4. −4

Atsakymas: −1. Standartinė paklaida yra 8/√16 = 2, taigi z = (118 − 120)/2 = −1. Dalijant iš σ = 8 vietoj σ/√n gaunama −0,25. Ženklas neigiamas, nes x̄ yra žemiau μ₀.

3Sprendimas: kritinės reikšmės ir p reikšmės

Dar nežiūrėdami į duomenis pasirinkite reikšmingumo lygmenį α, paprastai 0,05. Tai rizika, kurią priimate atmesdami teisingą H₀.

z testui, kai α = 0,05:

  • Dvipusis (H₁: μ ≠ μ₀): atmeskite H₀, jei |z| > 1,96.
  • Vienpusis (H₁: μ > μ₀): atmeskite H₀, jei z > 1,645. Kai μ < μ₀: atmeskite, jei z < −1,645.

p reikšmė yra tikimybė gauti bent tokį kraštutinį rezultatą, jei H₀ teisinga. Atmeskite H₀, kai p < α.

H₀ neatmetimas jos neįrodo. Tai reiškia tik tai, kad duomenys nėra pakankamai stiprus įrodymas prieš ją.

Testas ir pasikliautinasis intervalas dera: dvipusis testas 5 % lygmeniu atmeta H₀ tada ir tik tada, kai μ₀ yra už 95 % intervalo x̄ ± 1,96 · σ/√n ribų.

Savikontrolė Dvipusis z testas, kai α = 0,05, duoda z = 1,8. Kokią išvadą padarote?
  1. H₀ atmesti
  2. H₀ neatmesti
  3. H₀ įrodyta kaip teisinga
  4. H₁ atmesti ir H₀ priimti kaip įrodytą

Atsakymas: H₀ neatmesti. |1,8| yra mažesnis už 1,96, taigi rezultatas nėra reikšmingas ir H₀ neatmetama. Tai neįrodo H₀; tiesiog įrodymų nepakanka.

4Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Užrašykite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Pasirinkite z (σ žinomas) arba t (žinomas tik s, df = n − 1).
  3. Apskaičiuokite standartinę paklaidą σ/√n arba s/√n.
  4. Apskaičiuokite testo statistiką (x̄ − μ₀) / standartinė paklaida.
  5. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  6. Išvadą užrašykite žodžiais, atsakydami į klausimą.

5Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Mašina turi pripildyti butelius vidutiniškai po 500 mL. σ = 12 mL. 36 butelių imties vidurkis yra 496 mL. Patikrinkite H₀: μ = 500 prieš H₁: μ ≠ 500 esant α = 0,05.

1

Hipotezės

H₀: μ = 500 mL. H₁: μ ≠ 500 mL. Tai dvipusis testas, todėl kritinės reikšmės yra ±1,96.

2

Standartinė paklaida

σ žinomas, todėl naudokite z.

σ / √n = 12 / √36 = 12 / 6 = 2 mL
3

Testo statistika

z = (496 − 500) / 2 = −4 / 2 = −2
4

Palyginkite

−1,9601,962,5%2,5%95%z = −2

|−2| = 2 yra didesnis už 1,96, taigi z patenka į nuspalvintą atmetimo sritį.

5

Patikrinkite intervalu

496 ± 1,96 · 2 = [492,08, 499,92]

Reikšmė 500 yra už 95 % intervalo ribų, taigi intervalas duoda tą patį sprendimą.

Atsakymas

z = −2. Atmeskite H₀ 5 % lygmeniu: mašinos vidutinis pripildymas skiriasi nuo 500 mL.

6Dažnos klaidos

  • Vienpusė kritinė reikšmė (1,645) naudojama dvipusiam testui arba atvirkščiai.
  • Teigiama, kad H₀ įrodyta, kai ji tiesiog neatmetama.
  • Standartinėje paklaidoje pamirštama √n.
  • x̄ − μ₀ užrašoma atvirkščiai, todėl pasikeičia z ženklas.
  • Mažai imčiai naudojamas z, kai žinomas tik imties s.
Savikontrolė Vienpusis testas su H₁: μ > μ₀ esant α = 0,05 duoda z = 1,8. Kokią išvadą padarote?
  1. Atmesti H₀, nes 1,8 > 1,645
  2. Atmesti H₀, nes z teigiama
  3. Neatmesti H₀, nes 1,8 < 1,96
  4. Neatmesti H₀, nes 1,8 < 2,576

Atsakymas: Atmesti H₀, nes 1,8 > 1,645. Vienpusis 5 % testas visus 5 % deda į vieną uodegą, todėl kritinė reikšmė yra 1,645. Lyginant su 1,96 per klaidą naudojama dvipusė reikšmė.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvi: z statistika. σ žinomas; apskaičiuokite z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n).
  • Vidutiniai: t statistika. Duotas tik imties standartinis nuokrypis s; apskaičiuokite t = (x̄ − μ₀)/(s/√n).
  • Sunkūs: pasikliautinieji intervalai. Raskite apatinę arba viršutinę x̄ ± z · σ/√n ribą 95 % ar 99 % lygmeniu.

Greitas patikrinimas: jei x̄ yra žemiau μ₀, testo statistika turi būti neigiama.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
z −1,9601,96

Mašina turėtų pilstyti butelius vidutiniškai po 100 mL. Standartinis nuokrypis žinomas: 4 mL. 81 butelių imties vidurkis – 99,6 mL. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ = 100.

μ₀ = 100 mLx̄ = 99,6 mLσ = 4 mLn = 81

Raskite z

Rodyti užuominas
  1. Vidurkio standartinė paklaida – standartinis nuokrypis, padalytas iš √n.
  2. SE = 4/√81 = 0,4444.
  3. Tada skirtumą x̄ − μ₀ padalykite iš standartinės paklaidos. Išlaikykite ženklą.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Testo statistika

z = (99,6 − 100)/0,4444 = −0,9

Atsakymas

z = −0,9

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

Pavyzdys 2Vidutinis
t −1,99801,998

64 studentų imties vidutinis rezultatas – 504,5, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 504,5s = 15n = 64

Raskite t

Rodyti užuominas
  1. Vidurkio standartinė paklaida – standartinis nuokrypis, padalytas iš √n.
  2. SE = 15/√64 = 1,875.
  3. Tada skirtumą x̄ − μ₀ padalykite iš standartinės paklaidos. Išlaikykite ženklą.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Testo statistika

t = (504,5 − 500)/1,875 = 2,4

Atsakymas

t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

Pavyzdys 3Sunkus
z −2,57602,576

64 matavimų imties vidurkis – 80. Populiacijos standartinis nuokrypis – 20. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 80σ = 20n = 6499%

Raskite L

Rodyti užuominas
  1. Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z*·σ/√n.
  2. z* = 2,576 kai 99%.
  3. σ/√n = 2,5.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 2,576·20/√64 = 6,44

Intervalo rėžis

L = 80 − 6,44 = 73,56

Atsakymas

L = 73,56

Klausimai ir atsakymai

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai: kas tai?

Mašina turi pripildyti butelius vidutiniškai po 500 mL. Butelių imties vidurkis yra 496 mL. Ar mašina klysta, ar tai tik atsitiktinumas?

Darote prielaidą, kad H₀ teisinga, ir klausiate: kiek neįprasta ši imtis? Jei ji labai neįprasta, H₀ atmetate.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai: kokios klaidos dažniausios?
  • Dvipusiam testui naudojama vienpusio testo kritinė reikšmė.
  • Teigiama, kad H₀ įrodyta, kai ji tiesiog neatmetama.
  • Standartinėje paklaidoje pamirštama √n.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai: ką lavinsite?
  • Lengvas: z statistika
  • Vidutinis: t statistika
  • Sunkus: pasikliautinieji intervalai

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Pasikliautinieji intervalai

Toliau

Chi kvadrato testai

Skaičiuoklės

t testo skaičiuoklėp reikšmės skaičiuoklėVienfaktorės dispersinės analizės (ANOVA) skaičiuoklė

Kursai su šia tema

Psichologijos tyrimų metodai ir statistikaStatistikos pagrindaiStatistika 2: statistinės išvadosĮrodymais grįsta praktikaAP Statistics uždaviniaiCFA Level I kiekybinių metodų ir fiksuotųjų pajamų praktika

Daugiau temų: Matematika ir statistika

RibosIšvestinėsOptimizavimasIntegralaiSekos ir eilutėsKelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasDiferencialinės lygtysKompleksiniai skaičiaiSkaitiniai metodaiMatricos ir determinantaiVektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaTeiginių logika ir įrodymaiAibės, sąryšiai ir funkcijosGrafų teorijaSkaičių teorija ir modulinė aritmetikaTikimybėAprašomoji statistikaNormalusis skirstinysPasikliautinieji intervalaiTiesinė regresija ir koreliacijaChi kvadrato testai

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiPraktikuokitės dabar: Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.