Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: dalinės išvestinės ir dvilypiai integralai, gradientas, liečiamoji plokštuma ir sudėtinės funkcijos taisyklė, kritiniai taškai ir integralai srityse.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
xy3−3P

Kai f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xy, raskite dalinę išvestinę ∂f/∂x taške (3, −3).

f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xyP = (3, −3)
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasPraktikuokitės dabar: Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvasdalinės išvestinės ir dvilypiai integralai
  2. Vidutinisgradientas, liečiamoji plokštuma ir sudėtinės funkcijos taisyklė
  3. Sunkuskritiniai taškai ir integralai srityse

Kaip spręsti uždavinius tema Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

  1. Dalinei išvestinei kitą kintamąjį laikykite konstanta ir naudokite vieno kintamojo taisykles.
  2. Gradiento uždaviniuose taške apskaičiuokite ∇f = (fx, fy); stačiausiam nuolydžiui naudokite |∇f|, o išvestinei pagal kryptį – ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u.
  3. Ekstremumams kartu išspręskite fx = 0 ir fy = 0, tada kiekvieną tašką klasifikuokite pagal D = fxx·fyy − fxy².
  4. Dvilypiam integralui nubraižykite sritį, pasirinkite tvarką (arba polines koordinates skrituliams), kad vidinės ribos būtų ribojančios kreivės, ir integruokite pirmiausia vidų.

Dažnos klaidos

  • Diferencijuoti kintamąjį, kuris turėtų būti laikomas pastoviu.
  • Pamiršti normuoti krypties vektorių.
  • Rašyti D = fxx·fyy + fxy² arba tašką su D < 0 vadinti ekstremumu.
  • Naudoti pastovias vidines ribas sričiai, kurią riboja kreivės.
  • Praleisti daugiklį r formulėje dA = r dr dθ.

Pagrindinės formulės

Dalinės išvestinės
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradientas
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Išvestinė pagal kryptį
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Liečiamoji plokštuma
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Grandinės taisyklė
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Antros eilės išvestinių testas
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dvilypis integralas
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Polinės koordinatės
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Išmokite Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas nuo nulio

Prieš tai: Išvestinės, Integralai

1Dalinės išvestinės

Dviejų kintamųjų funkcija z = f(x, y) yra paviršius virš xy plokštumos. Žemėlapyje ji braižoma lygio kreivėmis, linijomis, kuriose f turi tą pačią reikšmę.

Dalinė išvestinė matuoja nuolydį viena kryptimi. ∂f/∂x (rašoma ir fx) atveju y laikote pastoviu ir diferencijuojate x atžvilgiu pagal įprastas taisykles.

Pavyzdys: f(x, y) = x²y + 3y². Skaičiuodami fx, y laikykite skaičiumi, o skaičiuodami fy – x:

fx = 2xy fy = x² + 6y

Taške (1, 2) gaunama fx = 4 ir fy = 1 + 12 = 13.

Diferencijuojant dar kartą gaunamos antros eilės dalinės išvestinės fxx, fyy ir fxy. Mišriosios išvestinės tvarka nesvarbi: fxy = fyx. Čia fxy = 2x.

Savikontrolė Kam lygu ∂f/∂y, kai f(x, y) = x³y²?
  1. 2x³y
  2. 3x²y²
  3. 6x²y
  4. x³y²

Atsakymas: 2x³y. Laikykite x pastoviu: x³ yra pastovus daugiklis, o y² duoda 2y, taigi fy = 2x³y. 3x²y² yra ∂f/∂x.

2Gradientas ir išvestinė pagal kryptį

Gradientas sujungia abi dalines išvestines: ∇f = (fx, fy). Jis nukreiptas ta kryptimi, kuria f auga greičiausiai, statmenai lygio kreivei.

xy∇fP

Pats didžiausias nuolydis yra ilgis |∇f| = √(fx² + fy²).

Nuolydis bet kuria kita kryptimi v yra išvestinė pagal kryptį. Pirmiausia v paverskite vienetiniu vektoriumi u = v/|v|, tada imkite skaliarinę sandaugą:

Duf = ∇f·u

Kai f = x²y + 3y² taške (1, 2): ∇f = (4, 13). Kryptimi v = (3, 4), u = (0,6; 0,8), taigi Duf = 4·0,6 + 13·0,8 = 12,8.

Savikontrolė Taške ∇f = (3, 4). Koks didžiausias f didėjimo greitis ten?
  1. 12
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Atsakymas: 5. Jis lygus |∇f| = √(3² + 4²) = 5. Sudėjus dedamąsias gaunama 7, o pamiršus kvadratinę šaknį – 25.

3Liečiamoji plokštuma ir sudėtinės funkcijos taisyklė

Šalia taško (a, b) paviršius beveik plokščias. Liečiamoji plokštuma yra

z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)

Ji duoda tiesinę aproksimaciją f(a + Δx, b + Δy) ≈ f(a, b) + fxΔx + fyΔy.

Pavyzdys: f = x²y + 3y² turi f(1, 2) = 14, taigi šalia (1, 2): f(1,1; 1,9) ≈ 14 + 4·0,1 + 13·(−0,1) = 13,1. Tikslioji reikšmė yra 13,129.

Kai x ir y abu priklauso nuo t, sudėtinės funkcijos taisyklė sudeda du kelius: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

4Kritiniai taškai

Maksimume, minimume ar balno taške paviršius plokščias: fx = 0 ir fy = 0. Tokie taškai yra kritiniai taškai.

Antros eilės išvestinių testas naudoja D = fxxfyy − fxy² taške:

  • D > 0 ir fxx > 0: lokalusis minimumas.
  • D > 0 ir fxx < 0: lokalusis maksimumas.
  • D < 0: balno taškas, viena kryptimi aukštyn, kita – žemyn.
  • D = 0: testas nieko nenusprendžia.
Išspręstas pavyzdys

Raskite ir klasifikuokite f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y kritinius taškus.

1

Abi dalines išvestines prilyginkite nuliui

fx = 3x² − 3 = 0 → x = ±1 fy = 2y − 4 = 0 → y = 2

Kritiniai taškai yra (1, 2) ir (−1, 2).

2

Antros eilės išvestinės

fxx = 6x, fyy = 2, fxy = 0
3

Išbandykite (1, 2)

D = 6·2 − 0 = 12 > 0 ir fxx = 6 > 0: lokalusis minimumas, f(1, 2) = 1 − 3 + 4 − 8 = −6.

4

Išbandykite (−1, 2)

D = −6·2 − 0 = −12 < 0: balno taškas.

Atsakymas

Lokalusis minimumas taške (1, 2), kur f = −6; balno taškas taške (−1, 2).

5Dvilypiai integralai

Dvilypis integralas ∬R f dA sudeda f reikšmes srityje R; kai f = 1, tai yra R plotas. Skaičiuokite jį kaip du paprastus integralus, pirmiausia vidinį.

Stačiakampyje ribos yra skaičiai: ∫02∫01 (x + 2y) dy dx. Vidinis integralas duoda x + 1, o ∫02 (x + 1) dx = 4.

Bendrojoje srityje vidinės ribos yra ją ribojančios kreivės. Sričiai tarp y = x² ir y = 2x, y kinta nuo x² iki 2x, o x – nuo 0 iki 2.

xyy = 2xy = x²2
Plotas = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

Skrituliams ir išpjovoms naudokite polines koordinates: x² + y² = r² ir dA = r dr dθ. Skritulyje r ≤ 2: ∬(x² + y²) dA = ∫02π∫02 r³ dr dθ = 2π·4 = 8π.

Savikontrolė Kuo tampa dA polinėse koordinatėse?
  1. dr dθ
  2. r dr dθ
  3. r² dr dθ
  4. θ dr dθ

Atsakymas: r dr dθ. Mažas polinis elementas yra Δr pločio ir r·Δθ ilgio, taigi dA = r dr dθ. Daugiklio r pamiršimas yra dažniausia klaida.

6Dažnos klaidos ir egzamino klausimai

  • Diferencijuoti ir „pastovųjį“ kintamąjį dalinėje išvestinėje.
  • Naudoti v vietoj vienetinio vektoriaus u išvestinėje pagal kryptį.
  • Rašyti D = fxxfyy + fxy² arba tašką su D < 0 laikyti ekstremumu.
  • Naudoti skaičius kaip vidines ribas, kai sritį riboja kreivės.
  • Pamiršti daugiklį r polinėse koordinatėse.

Lengvi: dalinės išvestinės taške ir integralai stačiakampyje. Vidutiniai: gradientas, išvestinė pagal kryptį, liečiamoji plokštuma ir sudėtinės funkcijos taisyklė. Sunkūs: kritinių taškų klasifikavimas ir integralai kreivinėse srityse, polinėmis koordinatėmis arba su pakeista tvarka.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
xy−1−3P

Kai f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xy, raskite dalinę išvestinę ∂f/∂x taške (−1, −3).

f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xyP = (−1, −3)

Raskite fx(−1, −3)

Rodyti užuominas
  1. Laikykite y pastoviu skaičiumi ir diferencijuokite x atžvilgiu.
  2. ∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y
  3. Įrašykite x = −1 ir y = −3.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Dalinės išvestinės: ∂f/∂x yra įprasta išvestinė x atžvilgiu, kai y laikomas pastoviu (traktuokite y kaip skaičių), o ∂f/∂y – atvirkščiai. Taisyklės (laipsnio, sandaugos, sudėtinės funkcijos) tokios pat kaip vieno kintamojo atveju. Mišriosios antros eilės išvestinės duoda tą patį rezultatą bet kuria tvarka: fxy = fyx. Dvilypis integralas stačiakampyje skaičiuojamas kaip du paprasti integralai, pirmiausia vidinis: ∫∫ f dA = ∫(∫ f dy) dx.

Diferencijuokite

y laikomas pastoviu.

∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y

Įstatykite

fx(−1, −3) = −4

Atsakymas

fx(−1, −3) = −4
Pavyzdys 2Vidutinis

z = 2x²e3y, kai x = −t − 2 ir y = t² + 2. Sudėtinės funkcijos taisykle raskite dz/dt, kai t = 0.

z = 2x²e3yx = −t − 2y = t² + 2t = 0

Raskite dz/dt

Rodyti užuominas
  1. dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
  2. Kai t = 0: x = −2, y = 2, dx/dt = −1, dy/dt = 0.
  3. fx = 4xe3y, fy = 6x²e3y
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Gradientas: ∇f = (fx, fy) nukreiptas stačiausio kilimo kryptimi, o |∇f| yra didžiausias kitimo greitis. Išvestinė kryptimi v yra Duf = ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u = v/|v|. Liečiamoji plokštuma taške (a, b) yra z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ji duoda tiesinę f aproksimaciją šalia to taško. Sudėtinės funkcijos taisyklė: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Taškas ir greičiai

x(0) = −2, y(0) = 2
dx/dt = −1, dy/dt = 2t = 0

Dalinės išvestinės

fx = 4xe3y = −3227
fy = 6x²e3y = 9682

Grandinės taisyklė

dz/dt = (−3227)·(−1) + 9682·0 = 3227

Atsakymas

dz/dt = 3227
Pavyzdys 3Sunkus
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy turi kritinį tašką (1, 1). Apskaičiuokite jame diskriminantą D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ + y³ − 3xyP = (1, 1)

Raskite D

Rodyti užuominas
  1. Raskite tris antros eilės išvestines fxx, fyy ir fxy.
  2. Taške: fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3.
  3. D = fxxfyy − fxy².
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Kritiniai taškai ir dvilypiai integralai: kritiniame taške fx = fy = 0. Antros eilės išvestinių testas su D = fxxfyy − fxy²: D > 0 ir fxx > 0 yra lokalusis minimumas, D > 0 ir fxx < 0 – lokalusis maksimumas, D < 0 – balno taškas, o D = 0 nieko nenusprendžia. Dvilypiam integralui bendrojoje srityje vidinėmis ribomis imkite sritį ribojančias kreives; skritulių ir išpjovų atveju naudokite polines koordinates, x = r cos θ, y = r sin θ ir dA = r dr dθ (nepamirškite daugiklio r).

Antros eilės išvestinės

fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3

Diskriminantas

D = 6·6 − (−3)² = 27
→ lokalusis minimumas

Atsakymas

D = 27

Klausimai ir atsakymai

Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas: kas tai?

Dviejų kintamųjų funkcija z = f(x, y) yra paviršius virš xy plokštumos. Žemėlapyje ji braižoma lygio kreivėmis, linijomis, kuriose f turi tą pačią reikšmę.

Pavyzdys: f(x, y) = x²y + 3y². Skaičiuodami fx, y laikykite skaičiumi, o skaičiuodami fy – x:

Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
  1. Dalinei išvestinei kitą kintamąjį laikykite konstanta ir naudokite vieno kintamojo taisykles.
  2. Gradiento uždaviniuose taške apskaičiuokite ∇f = (fx, fy); stačiausiam nuolydžiui naudokite |∇f|, o išvestinei pagal kryptį – ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u.
  3. Ekstremumams kartu išspręskite fx = 0 ir fy = 0, tada kiekvieną tašką klasifikuokite pagal D = fxx·fyy − fxy².
  4. Dvilypiam integralui nubraižykite sritį, pasirinkite tvarką (arba polines koordinates skrituliams), kad vidinės ribos būtų ribojančios kreivės, ir integruokite pirmiausia vidų.
Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas: kokios klaidos dažniausios?
  • Diferencijuoti kintamąjį, kuris turėtų būti laikomas pastoviu.
  • Pamiršti normuoti krypties vektorių.
  • Rašyti D = fxx·fyy + fxy² arba tašką su D < 0 vadinti ekstremumu.
  • Naudoti pastovias vidines ribas sričiai, kurią riboja kreivės.
  • Praleisti daugiklį r formulėje dA = r dr dθ.
Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas: ką lavinsite?
  • Lengvas: dalinės išvestinės ir dvilypiai integralai
  • Vidutinis: gradientas, liečiamoji plokštuma ir sudėtinės funkcijos taisyklė
  • Sunkus: kritiniai taškai ir integralai srityse

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

IšvestinėsIntegralai

Kursai su šia tema

Inžinerinė matematika 2Matematinė analizė 2

Daugiau temų: Matematika ir statistika

RibosIšvestinėsOptimizavimasIntegralaiSekos ir eilutėsDiferencialinės lygtysKompleksiniai skaičiaiSkaitiniai metodaiMatricos ir determinantaiVektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaTeiginių logika ir įrodymaiAibės, sąryšiai ir funkcijosGrafų teorijaSkaičių teorija ir modulinė aritmetikaTikimybėAprašomoji statistikaNormalusis skirstinysPasikliautinieji intervalaiHipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiTiesinė regresija ir koreliacijaChi kvadrato testai

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasPraktikuokitės dabar: Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.