Sekos ir eilutės: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Sekos ir eilutės su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: aritmetinė ir geometrinė progresijos bei eilutės, konvergavimas ir laipsninės eilutės, Teiloro ir Maklorino polinomai.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
kak​12345678

Raskite geometrinės sekos 5, 7,5, 11,25, … pirmųjų 8 narių sumą S8.

a₁ = 5r = 1,5n = 8
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Sekos ir eilutėsPraktikuokitės dabar: Sekos ir eilutėsKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvasaritmetinė ir geometrinė progresijos bei eilutės
  2. Vidutiniskonvergavimas ir laipsninės eilutės
  3. SunkusTeiloro ir Maklorino polinomai

Kaip spręsti uždavinius tema Sekos ir eilutės

  1. Nustatykite tipą: aritmetinė (pastovus skirtumas), geometrinė (pastovus daugiklis), standartinė eilutė, laipsninė eilutė arba Teiloro polinomas.
  2. Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
  3. Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
  4. Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Dažnos klaidos

  • Naudoti n vietoje n − 1 formulėje aₙ = a₁ + (n − 1)d arba a₁rⁿ⁻¹.
  • Naudoti begalinės sumos formulę, kai |r| ≥ 1, arba su netinkamu pirmuoju nariu.
  • Daryti išvadą apie konvergavimą vien dėl to, kad nariai artėja prie 0.
  • Apversti d’Alambero ribą: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, o ne jos atvirkštinis dydis.
  • Pamiršti faktorialus ar kintančius ženklus Teiloro polinome.

Pagrindinės formulės

Aritmetinė seka
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrinė seka
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Begalinė geometrinė eilutė
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p eilutė
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
D’Alambero kriterijus
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergavimo spindulys
R = lim |ck/ck+1|
Teiloro polinomas
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maklorino eilutė
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagranžo paklaidos įvertis
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Išmokite Sekos ir eilutės nuo nulio

Prieš tai: Ribos, Išvestinės

1Aritmetinės ir geometrinės sekos

Seka yra skaičių sąrašas a₁, a₂, a₃, … , o eilutė – jų suma. Kiekviename egzamine pasitaiko du tipai.

Aritmetinė seka kiekvieną žingsnį prideda tą patį skirtumą d: 3, 7, 11, 15, … turi d = 4.

aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

Sekai 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 ir S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. Atkreipkite dėmesį į n − 1: nuo pirmojo iki 20-ojo nario yra tik 19 žingsnių.

Geometrinė seka kiekvieną žingsnį dauginama iš to paties daugiklio r: 2, 6, 18, … turi r = 3.

aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Savikontrolė Koks yra 5, 8, 11, 14, … 10-asis narys?
  1. 29
  2. 30
  3. 32
  4. 35

Atsakymas: 32. d = 3, taigi a₁₀ = 5 + 9·3 = 32. Naudojant 10·3 vietoj 9·3 gaunama 35.

2Begalinė geometrinė eilutė

Toliau pridėdami 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + … narius, suma artėja prie 4, bet jos niekada neperžengia.

nSₙ4123456789233,5

Kai |r| < 1, narys rⁿ sumoje Sₙ artėja prie 0, ir begalinė suma egzistuoja:

S = a₁/(1 − r), tik kai |r| < 1

Čia a₁ yra pirmasis sumos narys. Eilutės Σk=2∞ 8·(1/2)ᵏ pirmasis narys yra 8·(1/2)² = 2, taigi S = 2/(1 − 1/2) = 4.

Kai |r| ≥ 1, nariai nemažėja ir eilutė sumos neturi: ji diverguoja.

Savikontrolė Kam lygu Σk=0∞ 3·(1/4)ᵏ?
  1. 12
  2. 2,4
  3. 3
  4. 4

Atsakymas: 4. Pirmasis narys (k = 0) yra 3, o r = 1/4, taigi S = 3/(1 − 1/4) = 4. Naudojant 1 + r vardiklyje gaunama 2,4.

3Ar eilutė konverguoja?

Daugumai eilučių paprastos sumos formulės nėra, bet vis tiek galima nuspręsti, ar suma baigtinė. Naudokite kriterijus šia tvarka:

  1. Būtinoji sąlyga: jei nariai neartėja prie 0, eilutė diverguoja. Σ k/(k + 1) diverguoja, nes jos nariai artėja prie 1.
  2. Standartinės eilutės: Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1 (taigi Σ1/k, harmoninė eilutė, diverguoja). Σrᵏ konverguoja tik kai |r| < 1.
  3. Palyginimas: 1/(k² + 3) mažesnė už 1/k², todėl Σ1/(k² + 3) taip pat konverguoja.
  4. D’Alambero kriterijus: L = lim |ak+1/ak|. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 atsakymo neduoda. Naudokite faktorialams ir k-tiesiems laipsniams.
  5. Alternuojančioji eilutė: Σ(−1)ᵏ/k konverguoja, nes nariai keičia ženklą ir mažėja iki 0.

Pavyzdys: Σ k/2ᵏ santykis yra ((k + 1)/k)·(1/2), kuris artėja prie L = 1/2 < 1, todėl eilutė konverguoja.

Savikontrolė Kuri iš šių eilučių diverguoja?
  1. Σ (2/3)ᵏ
  2. Σ 1/k²
  3. Σ 1/√k
  4. Σ 3ᵏ/k!

Atsakymas: Σ 1/√k. 1/√k = 1/k1/2 yra p eilutė su p = 1/2 ≤ 1, todėl diverguoja. 1/k² turi p = 2, (2/3)ᵏ yra geometrinė su r < 1, o d’Alambero kriterijus duoda L = 0 eilutei 3ᵏ/k!.

4Laipsninės eilutės ir konvergavimo spindulys

Laipsninė eilutė Σ ck(x − x₀)ᵏ yra begalinis daugianaris. Ji konverguoja, kai x pakankamai arti centro x₀.

D’Alambero kriterijus visam nariui duoda konvergavimo spindulį R: eilutė konverguoja, kai |x − x₀| < R, ir diverguoja, kai |x − x₀| > R.

R = lim |ck/ck+1|

Pavyzdys: Σ xᵏ/(k·3ᵏ) turi ck/ck+1 = 3(k + 1)/k, kuris artėja prie 3. Taigi R = 3 ir eilutė konverguoja, kai −3 < x < 3.

Dviejuose galiniuose taškuose kriterijus atsakymo neduoda; jei klausiama viso intervalo, patikrinkite juos atskirai.

5Teiloro ir Maklorino polinomai

Šalia taško a glodi funkcija atrodo kaip daugianaris. n laipsnio Teiloro polinomas sutampa su reikšme ir pirmosiomis n išvestinių taške a:

Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!

Kai a = 0, jis vadinamas Maklorino polinomu. Išmokite šias eilutes mintinai:

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …
xeˣP₁P₂1

Kuo daugiau narių imate, tuo ilgiau polinomas išlieka artimas funkcijai.

Išspręstas pavyzdys

Apytiksliai apskaičiuokite e0,5 3 laipsnio Maklorino polinomu ir įvertinkite paklaidą.

1

Užrašykite polinomą

P₃(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6
2

Įrašykite x = 0,5

P₃(0,5) = 1 + 0,5 + 0,125 + 0,020833 = 1,645833
3

Lagranžo paklaidos įvertis

Paklaida ne didesnė kaip M·|x|⁴/4!, kur M yra didžiausia 4-osios išvestinės eᵗ reikšmė tarp 0 ir 0,5: M = e0,5 ≈ 1,6487.

|R₃| ≤ 1,6487·0,5⁴/24 = 0,0043
4

Palyginkite

Skaičiuotuvas duoda e0,5 = 1,648721, todėl tikroji paklaida yra 0,0029, tai yra įverčio ribose.

Atsakymas

e0,5 ≈ 1,6458, paklaida ne didesnė kaip 0,0043.

6Dažnos klaidos ir egzamino klausimai

  • Imti n, o ne n − 1 žingsnių n-ajam nariui.
  • Rašyti a/(1 − r) su netinkamu pirmuoju nariu, kai suma neprasideda nuo k = 0.
  • Daryti išvadą, kad eilutė konverguoja, nes jos nariai artėja prie 0. Σ1/k yra kontrapavyzdys.
  • Pamiršti faktorialus Teiloro polinome arba sin ir cos minuso ženklus.
  • Paklaidos įvertyje naudoti |x|ⁿ/n! vietoje |x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Lengvi: aritmetinių ir geometrinių sekų sumos. Vidutiniai: konvergavimo nustatymas, d’Alambero kriterijus ir konvergavimo spindulys. Sunkūs: Teiloro polinomai, jų koeficientai ir paklaidos įverčiai.

Savikontrolė Koks yra x³ koeficientas sin x Maklorino eilutėje?
  1. 1/3
  2. 1/6
  3. −1/3
  4. −1/6

Atsakymas: −1/6. sin x = x − x³/3! + …, o 3! = 6, taigi koeficientas yra −1/6. Pamiršus minuso ženklą gaunama 1/6.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
kak​13579111315ε = 0,2

Geometrinė seka aₙ = 5·0,85ⁿ⁻¹ mažėja. Raskite pirmąjį indeksą n, kuriam aₙ < 0,2.

a₁ = 5r = 0,85ε = 0,2

Raskite n

Rodyti užuominas
  1. Išspręskite 5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 logaritmais.
  2. ln 0,85 yra neigiamas: dalijant iš jo nelygybės ženklas apsiverčia.
  3. n − 1 > ln(0,2/5)/ln 0,85 = 19,81
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Aritmetinė ir geometrinė progresijos ir eilutės: aritmetinė seka kiekvieną žingsnį prideda tą patį skirtumą d, aₙ = a₁ + (n − 1)d, o jos suma Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Geometrinė seka dauginama iš to paties daugiklio r, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹, o Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). Kai |r| < 1, nariai mažėja pakankamai greitai, kad begalinė suma egzistuotų: S = a₁/(1 − r), kur a₁ yra pirmasis sumos narys.

Nelygybė

5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 → 0,85ⁿ⁻¹ < 0,04

Logaritmai

(n − 1)·ln 0,85 < ln 0,04 → n − 1 > 19,81
n = 21

Patikra

a20 = 0,227997 ≥ 0,2
a21 = 0,193798 < 0,2

Atsakymas

n = 21
Pavyzdys 2Vidutinis
kSn​12345678910S = ?

Raskite sumą S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Raskite S

Rodyti užuominas
  1. Skaidymas paprastosiomis trupmenomis: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Užrašykite pirmuosius kelis narius: dauguma jų išsiprastina (teleskopinė suma).
  3. Lieka (12/3)·(1 + … + 1/3).
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |ak+1/ak|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |ak|1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σck(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |ck/ck+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.

Paprastosios trupmenos

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Atšaukti

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Atsakymas

S = 7,333
Pavyzdys 3Sunkus

f(x) = cos x taške x = 1 aproksimuojama n laipsnio Maklorino polinomu. Naudodami Lagranžo įvertį M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! su M = 1, raskite mažiausią laipsnį n, garantuojantį paklaidą, mažesnę nei 1 × 10⁻⁶.

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

Raskite n

Rodyti užuominas
  1. Išbandykite n = 1, 2, 3, … ir kaskart apskaičiuokite 1·1ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
  2. Faktorialas auga greitai, todėl pakanka kelių žingsnių.
  3. Sustokite ties pirmuoju n, kai įvertis mažesnis nei 1 × 10⁻⁶.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.

n(n + 1)!įvertis011120,5260,16673240,0416741200,00833357200,001389650400,00019847403202,48 × 10⁻⁵83628802,756 × 10⁻⁶936288002,756 × 10⁻⁷

Įverčiai didėjant n

n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 9: 2,756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

Mažiausias laipsnis

n = 9

Atsakymas

n = 9

Klausimai ir atsakymai

Sekos ir eilutės: kas tai?

Sekai 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 ir S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. Atkreipkite dėmesį į n − 1: nuo pirmojo iki 20-ojo nario yra tik 19 žingsnių.

Sekos ir eilutės: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
  1. Nustatykite tipą: aritmetinė (pastovus skirtumas), geometrinė (pastovus daugiklis), standartinė eilutė, laipsninė eilutė arba Teiloro polinomas.
  2. Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
  3. Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
  4. Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Sekos ir eilutės: kokios klaidos dažniausios?
  • Naudoti n vietoje n − 1 formulėje aₙ = a₁ + (n − 1)d arba a₁rⁿ⁻¹.
  • Naudoti begalinės sumos formulę, kai |r| ≥ 1, arba su netinkamu pirmuoju nariu.
  • Daryti išvadą apie konvergavimą vien dėl to, kad nariai artėja prie 0.
  • Apversti d’Alambero ribą: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, o ne jos atvirkštinis dydis.
  • Pamiršti faktorialus ar kintančius ženklus Teiloro polinome.
Sekos ir eilutės: ką lavinsite?
  • Lengvas: aritmetinė ir geometrinė progresijos bei eilutės
  • Vidutinis: konvergavimas ir laipsninės eilutės
  • Sunkus: Teiloro ir Maklorino polinomai

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

RibosIšvestinės

Kursai su šia tema

Inžinerinė matematika 2Matematinė analizė 2Skaitiniai metodaiAP Calculus uždaviniai

Daugiau temų: Matematika ir statistika

RibosIšvestinėsOptimizavimasIntegralaiKelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasDiferencialinės lygtysKompleksiniai skaičiaiSkaitiniai metodaiMatricos ir determinantaiVektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaTeiginių logika ir įrodymaiAibės, sąryšiai ir funkcijosGrafų teorijaSkaičių teorija ir modulinė aritmetikaTikimybėAprašomoji statistikaNormalusis skirstinysPasikliautinieji intervalaiHipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiTiesinė regresija ir koreliacijaChi kvadrato testai

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Sekos ir eilutės su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Sekos ir eilutėsPraktikuokitės dabar: Sekos ir eilutėsKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.