Pasikliautinieji intervalai: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Pasikliautinieji intervalai su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: z intervalas, t intervalas, imties dydis.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
LU = ?p̂ = 55/100E90%

Atsitiktinai atrinktų 100 rinkėjų apklausoje 55 pritaria pasiūlymui. Raskite pritariančiųjų dalies 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 100x = 5590%
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Pasikliautinieji intervalaiPraktikuokitės dabar: Pasikliautinieji intervalaiKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvasz intervalas
  2. Vidutinist intervalas
  3. Sunkusimties dydis

Kaip spręsti uždavinius tema Pasikliautinieji intervalai

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Dažnos klaidos

  • Pamirštama padalyti iš √n.
  • Naudojamas z, kai imtis maža ir σ nežinomas.
  • Imties dydis apvalinamas žemyn, o ne aukštyn.

Pagrindinės formulės

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Išmokite Pasikliautinieji intervalai nuo nulio

Prieš tai: Normalusis skirstinys

1Kas yra pasikliautinasis intervalas

Norite sužinoti visos populiacijos vidurkį μ, pavyzdžiui, visų gamyklos pagamintų baterijų vidutinę trukmę. Visų jų ištirti negalite, todėl tiriate n baterijų imtį.

Imties vidurkis x̄ yra geriausias jūsų μ spėjimas, bet kita imtis duotų šiek tiek kitokį x̄. Vienas skaičius paslepia šį netikslumą.

Pasikliautinasis intervalas vietoj to pateikia ribas: nuo x̄ minus paklaida iki x̄ plius paklaida.

55x̄52,0657,94E = 2,94E = 2,94

95 % pasikliautinasis intervalas sudaromas metodu, kuris tikrąjį μ pagauna 95 % visų imčių. Aukštesnis pasikliovimo lygmuo duoda platesnį intervalą.

Savikontrolė Iš tos pačios imties apskaičiuojate 90 % ir 99 % pasikliautinuosius intervalus. Kuris platesnis?
  1. 90 % intervalas
  2. 99 % intervalas
  3. Jie vienodo pločio
  4. Priklauso nuo imties vidurkio

Atsakymas: 99 % intervalas. Kad būtume labiau užtikrinti, jog intervale yra μ, jis turi būti platesnis. 99 % kritinė reikšmė 2,576 yra didesnė už 90 % reikšmę 1,645.

2z intervalas

Kai žinomas populiacijos standartinis nuokrypis σ, intervalas yra:

x̄ ± z · σ / √n

Narys σ/√n yra standartinė paklaida: kiek x̄ kinta nuo imties prie imties. Didesnė imtis duoda mažesnę standartinę paklaidą.

Kritinė reikšmė z priklauso nuo pasikliovimo lygmens. Įsiminkite šias tris:

  • 90 %: z = 1,645
  • 95 %: z = 1,96
  • 99 %: z = 2,576

Paklaidos riba yra E = z · σ/√n. Intervalas eina nuo x̄ − E (apatinė riba) iki x̄ + E (viršutinė riba).

Savikontrolė 64 elementų imties vidurkis 55. Populiacijos σ yra 12. Kokia 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinė riba?
  1. 55,37
  2. 57,47
  3. 57,94
  4. 78,52

Atsakymas: 57,94. E = 1,96 · 12/√64 = 1,96 · 1,5 = 2,94, todėl viršutinė riba yra 57,94. Pamiršus √n gaunama 78,52, o 57,47 gaunama su 90 % reikšme 1,645.

3t intervalas ir imties dydis

Dažniausiai σ nežinomas. Tada naudojate imties standartinį nuokrypį s, o kritinė reikšmė imama iš t skirstinio:

x̄ ± t · s / √n, df = n − 1

Laisvės laipsnių skaičius df yra n − 1. t reikšmė didesnė už z, todėl intervalas platesnis: jis įskaito papildomą s netikslumą. Kai n didelis, t priartėja prie z.

Esant 95 %: t = 2,262, kai df = 9, t = 2,131, kai df = 15, ir t = 2,045, kai df = 29.

Kartais reikia suplanuoti imties dydį: kokio dydžio turi būti n, kad paklaidos riba būtų ne didesnė už E? Išspręskite E = zσ/√n atžvilgiu n:

n = (z · σ / E)²

Visada apvalinkite į didesnę pusę iki kito sveikojo skaičiaus. Apvalinant žemyn paklaidos riba būtų šiek tiek didesnė už E.

Savikontrolė σ = 13. Kokia turi būti imtis, kad 95 % intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2?
  1. 13
  2. 162
  3. 163
  4. 650

Atsakymas: 163. (1,96 · 13/2)² = 12,74² = 162,3, apvalinama į didesnę pusę iki 163. Apvalinant iki 162 paklaidos riba būtų šiek tiek didesnė už 2, o 13 gaunama pamiršus pakelti kvadratu.

4Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Užsirašykite n, x̄ ir σ arba s.
  2. Pasirinkite z (σ žinomas) arba t su df = n − 1 (žinomas tik s).
  3. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  4. Apskaičiuokite standartinę paklaidą: σ/√n arba s/√n.
  5. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinė paklaida.
  6. Intervalas: nuo x̄ − E iki x̄ + E. Pateikite prašomą ribą.

Imties dydžio klausimui: n = (zσ/E)², apvalinama į didesnę pusę.

5Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

16 elementų imties vidurkis 40, standartinis nuokrypis s = 6. Populiacija maždaug normalioji. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinąjį intervalą.

1

z ar t?

Žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, o ne σ. Taigi naudokite t su df = n − 1 = 15.

t(15) = 2,131 at 95%
2

Standartinė paklaida

s / √n = 6 / √16 = 6 / 4 = 1,5
3

Paklaidos riba

E = 2,131 · 1,5 = 3,197
4

Intervalas

40 − 3,197 = 36,80, 40 + 3,197 = 43,20
40x̄36,8043,20E = 3,20E = 3,20
5

Patikrinkite atsakymą

Su z = 1,96 paklaidos riba būtų 2,94. t intervalas šiek tiek platesnis, kaip ir turi būti, kai σ nežinomas.

Atsakymas

95 % pasikliautinasis intervalas yra [36,80; 43,20].

6Dažnos klaidos

  • Pamirštama padalyti iš √n.
  • Naudojamas z, kai imtis maža ir σ nežinomas.
  • df = n naudojimas vietoj df = n − 1 ieškant t.
  • 90 % reikšmės 1,645 naudojimas 95 % intervalui.
  • Imties dydis apvalinamas žemyn, o ne aukštyn.
Savikontrolė Imties n = 10 standartinis nuokrypis s = 5. σ nežinomas. Kurią kritinę reikšmę naudojate 95 % intervalui?
  1. t = 2,228 (df = 10)
  2. t = 2,262 (df = 9)
  3. z = 1,645
  4. z = 1,96

Atsakymas: t = 2,262 (df = 9). σ nežinomas, todėl naudokite t su df = n − 1 = 9. Naudojant z nepaisoma s netikslumo, o df = 10 gaunamas pamiršus atimti vienetą.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvas: z intervalas. σ žinomas; raskite apatinę arba viršutinę ribą.
  • Vidutinis: t intervalas. Duotas tik s; t reikšmė su n − 1 laisvės laipsnių yra pateikta arba imama iš lentelės.
  • Sunkus: imties dydis. Raskite mažiausią n duotai paklaidos ribai ir apvalinkite į didesnę pusę.

Greitas patikrinimas: imties vidurkis visada yra tiksliai intervalo viduryje.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
n = 200, σ = 30LU = ?x̄ = 174,5E90%

200 matavimų imties vidurkis – 174,5. Žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis – 30. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 200x̄ = 174,5σ = 3090%

Raskite viršutinis rėžis

Rodyti užuominas
  1. σ žinomas, todėl naudokite kritinę z reikšmę.
  2. z = 1,645 (90%).
  3. E = z·σ/√n.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Paklaidos riba

E = 1,645·30/√200 = 3,49

Intervalas

x̄ ± E = 174,5 ± 3,49 → [171, 178]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 178
Pavyzdys 2Vidutinis
x̄E₁ = 7,895%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 100

Vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 50 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 7,8. Kokia bus paklaidos riba E₂, jei tame pačiame tyrime bus naudojama 100 stebėjimų?

95%n₁ = 50E₁ = 7,8n₂ = 100

Raskite E₂

Rodyti užuominas
  1. E = z·σ/√n, o σ nesikeičia.
  2. E₂/E₁ = (z₂/z₁)·√(n₁/n₂).
  3. z₁ = 1,96, z₂ = 1,96.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/100) = 0,7071

Nauja paklaidos riba

E₂ = 7,8·0,7071 = 5,515

Atsakymas

E₂ = 5,515
Pavyzdys 3Sunkus
n = 21Lσ = ?s = 1,295%

21 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 1,2 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 20, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 9,591, o 2,5 % – aukščiau 34,17.

n = 21s = 1,2 µmχ² = 9,591, 34,17

Raskite σ (µm)

Rodyti užuominas
  1. Normaliajai populiacijai (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu.
  2. σ² intervalas: nuo (n − 1)s²/34,17 iki (n − 1)s²/9,591. Kad gautumėte σ, ištraukite šaknis.
  3. (n − 1)s² = 28,8.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 20·1,2² = 28,8

σ² rėžiai

28,8/34,17 = 0,8428
28,8/9,591 = 3,003

σ rėžis

σ = √3,003 = 1,733 µm

Atsakymas

σ = 1,733 µm

σ 95 % intervalas: [0,9181, 1,733] µm.

Klausimai ir atsakymai

Pasikliautinieji intervalai: kas tai?

Norite sužinoti visos populiacijos vidurkį μ, pavyzdžiui, visų gamyklos pagamintų baterijų vidutinę trukmę. Visų jų ištirti negalite, todėl tiriate n baterijų imtį.

Imties vidurkis x̄ yra geriausias jūsų μ spėjimas, bet kita imtis duotų šiek tiek kitokį x̄. Vienas skaičius paslepia šį netikslumą.

Pasikliautinieji intervalai: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.
Pasikliautinieji intervalai: kokios klaidos dažniausios?
  • Pamirštama padalyti iš √n.
  • Naudojamas z, kai imtis maža ir σ nežinomas.
  • Imties dydis apvalinamas žemyn, o ne aukštyn.
Pasikliautinieji intervalai: ką lavinsite?
  • Lengvas: z intervalas
  • Vidutinis: t intervalas
  • Sunkus: imties dydis

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Normalusis skirstinys

Toliau

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Skaičiuoklės

Pasikliautinojo intervalo skaičiuoklėImties dydžio skaičiuoklė

Kursai su šia tema

Psichologijos tyrimų metodai ir statistikaStatistikos pagrindaiStatistika 2: statistinės išvadosĮrodymais grįsta praktikaAP Statistics uždaviniaiCFA Level I kiekybinių metodų ir fiksuotųjų pajamų praktika

Daugiau temų: Matematika ir statistika

RibosIšvestinėsOptimizavimasIntegralaiSekos ir eilutėsKelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasDiferencialinės lygtysKompleksiniai skaičiaiSkaitiniai metodaiMatricos ir determinantaiVektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaTeiginių logika ir įrodymaiAibės, sąryšiai ir funkcijosGrafų teorijaSkaičių teorija ir modulinė aritmetikaTikimybėAprašomoji statistikaNormalusis skirstinysHipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiTiesinė regresija ir koreliacijaChi kvadrato testai

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Pasikliautinieji intervalai su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Pasikliautinieji intervalaiPraktikuokitės dabar: Pasikliautinieji intervalaiKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.