Ribos: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Ribos su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: tiesioginis įstatymas ir skaidymas dauginamaisiais, ribos begalybėje, Lopitalio taisyklė.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
xy9x = 9

Raskite ribą L = limx→9 (√x − 3)/(x − 9).

f(x) = (√x − 3)/(x − 9)x → 9
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: RibosPraktikuokitės dabar: RibosKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvastiesioginis įstatymas ir skaidymas dauginamaisiais
  2. Vidutinisribos begalybėje
  3. SunkusLopitalio taisyklė

Pagrindinės formulės

Tiesioginis įstatymas
pirmiausia įstatykite x = a; 0/0 reiškia, kad reikia suprastinti
Išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Jungtinis reiškinys
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Ribos begalybėje
dalykite iš aukščiausio x laipsnio; kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui
Ypatingoji riba
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Lopitalio taisyklė
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Išmokite Ribos nuo nulio

1Kas yra riba

Riba aprašo reikšmę, prie kurios funkcija artėja, kai x artėja prie kokio nors skaičiaus. Nesvarbu, kas vyksta būtent ties tuo skaičiumi.

Imkime f(x) = (x² − 1)/(x − 1). Ties x = 1 gaunate 0/0, kuris neturi reikšmės. Bet galite išbandyti skaičius, artimus 1.

  • x = 0,9 duoda f = 1,9.
  • x = 0,99 duoda f = 1,99.
  • x = 1,01 duoda f = 2,01.

Reikšmės vis labiau artėja prie 2. Rašome:

limx→1 (x² − 1)/(x − 1) = 2
xy12(1, 2)

Grafikas yra tiesė su vienu trūkstamu tašku, skylute ties (1, 2). Riba yra skylutės aukštis.

Savikontrolė Funkcija g duoda g(2,9) = 5,9, g(2,99) = 5,99 ir g(3,01) = 6,01. Ties x = 3 ji neapibrėžta. Kokia riba, kai x → 3?
  1. 3
  2. 5,99
  3. 6
  4. Jos nėra, nes g(3) neapibrėžta

Atsakymas: 6. Reikšmės artėja prie 6 iš abiejų pusių, todėl riba yra 6. Riba žiūri tik į reikšmes šalia x = 3, niekada ne į patį x = 3.

2Įrašymas, 0/0 ir skaidymas dauginamaisiais

Visada pirmiausia išbandykite tiesioginį įrašymą: įrašykite skaičių. Jei gaunate įprastą skaičių, tai ir yra riba.

limx→2 (x² + 3x) = 4 + 6 = 10

Jei gaunate 0/0, dar nebaigėte. 0/0 vadinamas neapibrėžtumu: tai ženklas supaprastinti, o ne atsakymas.

Dažniausiai skaitiklis ir vardiklis turi bendrą dauginamąjį, kuris tame taške lygus nuliui. Išskaidykite abu, suprastinkite bendrą dauginamąjį ir vėl įrašykite.

(x² − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3

Taigi riba, kai x → 3, yra 3 + 3 = 6. Naudingi skaidymo šablonai:

  • x² − a² = (x − a)(x + a)
  • x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)
  • x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
  • Kvadratinis trinaris, pavyzdžiui, x² − x − 30, skaidomas į (x − 6)(x + 5): raskite du skaičius, kurių sandauga −30, o suma −1.

Su kvadratine šaknimi skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš jungtinio reiškinio: (√x − 2)(√x + 2) = x − 4.

Savikontrolė Kam lygi limx→2 (x² − 4)/(x − 2)?
  1. 0
  2. 2
  3. 4
  4. Jos nėra, nes gaunamas 0/0

Atsakymas: 4. Įrašius gaunama 0/0, todėl skaidykite: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, kas ties x = 2 yra 4. Sustojimas ties 0/0 yra klaida, dėl kurios sakoma „neegzistuoja“.

3Ribos begalybėje ir Lopitalio taisyklė

x → ∞ reiškia, kad x auga be galo. Polinomų trupmenai, kai x milžiniškas, svarbūs tik aukščiausi laipsniai.

Kiekvieną narį padalykite iš aukščiausio x laipsnio vardiklyje. Nariai, kaip 4/x ir 7/x², artėja prie 0.

(6x² + x)/(3x² − 5) = (6 + 1/x)/(3 − 5/x²) → 6/3 = 2
  • Tas pats aukščiausias laipsnis skaitiklyje ir vardiklyje: riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui.
  • Aukštesnis laipsnis vardiklyje: riba lygi 0.
  • Aukštesnis laipsnis skaitiklyje: trupmena auga be galo, todėl baigtinės ribos nėra.

Reiškiniui √(x² + 6x) − x padauginkite iš jungtinio reiškinio. Gaunate 6x/(√(x² + 6x) + x), kuris artėja prie 6/(1 + 1) = 3.

Lopitalio taisyklė: jei įrašius gaunama 0/0 arba ∞/∞, skaitiklį ir vardiklį galite pakeisti jų išvestinėmis, kiekvieną atskirai.

limx→0 (eˣ − 1)/x = limx→0 eˣ/1 = 1

Jei vėl gaunate 0/0, taikykite taisyklę dar kartą. Trigonometrinėms riboms x visada naudojamas radianais.

Savikontrolė Kam lygi limx→∞ (4x² + 1)/(2x² + 3x)?
  1. 0
  2. 2
  3. ½
  4. ∞

Atsakymas: 2. Aukščiausi laipsniai vienodi (x²), todėl riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui: 4/2 = 2. ½ gaunamas daliant atvirkščiai.

4Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Įrašykite skaičių. Įprastas skaičius yra atsakymas.
  2. Jei gaunate 0/0, išskaidykite skaitiklį ir vardiklį arba, jei yra šaknis, padauginkite iš jungtinio reiškinio.
  3. Suprastinkite bendrą dauginamąjį ir vėl įrašykite.
  4. Jei x → ∞, kiekvieną narį padalykite iš aukščiausio x laipsnio ir leiskite nariams, kaip a/x, artėti prie 0.
  5. Jei skaidymas netinka (eˣ, sin, cos, ln), 0/0 arba ∞/∞ formai taikykite Lopitalio taisyklę.
  6. Patikrinkite skaičiumi, labai artimu taškui, pavyzdžiui, x = 1,001.

5Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Raskite L = limx→−2 (x³ + 8)/(x + 2).

1

Išbandykite įrašymą

((−2)³ + 8)/(−2 + 2) = (−8 + 8)/0 = 0/0

Tai neapibrėžtumas 0/0, todėl pirmiausia reikia supaprastinti.

2

Išskaidykite skaitiklį

8 = 2³, todėl skaitiklis yra kubų suma su a = 2.

x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)
3

Suprastinkite bendrą dauginamąjį

(x + 2)(x² − 2x + 4)/(x + 2) = x² − 2x + 4

Tai leidžiama, nes x tik artėja prie −2, todėl x + 2 niekada nėra lygus 0.

4

Vėl įrašykite

(−2)² − 2·(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
5

Patikrinkite atsakymą

Išbandykite x = −1,99: (−7,880599 + 8)/0,01 = 11,94, tai artima 12.

xy−212

Grafikas yra parabolė x² − 2x + 4 su skylute ties (−2, 12).

Atsakymas

L = 12

6Dažnos klaidos

  • 0/0 užrašomas kaip atsakymas arba sakoma, kad ribos nėra. 0/0 reiškia: pirmiausia supaprastinkite.
  • Lopitalio taisyklė naudojama, kai įrašius negaunama 0/0 ar ∞/∞.
  • Lopitalio taisyklėje taikoma santykio diferencijavimo taisyklė. Skaitiklį ir vardiklį diferencijuokite atskirai.
  • Begalybėje lyginami pirmieji užrašyti nariai, o ne aukščiausi laipsniai.
  • Ribose su sin ar cos naudojami laipsniai vietoj radianų.
Savikontrolė Kam lygi limx→1 (x² + 1)/(x + 1)?
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. Jos nėra

Atsakymas: 1. Įrašius gaunama 2/2 = 1, įprastas skaičius, todėl tai ir yra riba. Čia Lopitalio taisyklė (2x/1 = 2) neteisinga, nes forma nebuvo 0/0.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvi: tiesioginis įrašymas ir skaidymas. Įrašius gaunama 0/0, tada skaidote ir suprastinate, kaip pavyzdyje.
  • Vidutiniai: ribos begalybėje. Dalykite iš aukščiausio laipsnio arba šaknims, kaip √(x² + 4x) − x, naudokite jungtinį reiškinį.
  • Sunkūs: Lopitalio taisyklė, pavyzdžiui, (eˣ − 1 − x)/x² arba (1 − cos 3x)/x², kai x → 0. Taisyklę gali tekti taikyti du kartus.

Greitas patikrinimas: skaičiuotuvu įrašykite skaičių, labai artimą taškui. Rezultatas turi būti artimas jūsų atsakymui.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
xyx = 1

Raskite ribą L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Raskite L

Rodyti užuominas
  1. Įstačius gaunama 0/0. Išskaidykite skaitiklį dauginamaisiais.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Pabandykite tiesiogiai įstatyti

skaitiklis → 0 ir vardiklis → 0, todėl gaunamas neapibrėžtumas 0/0.

Išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Įstatykite

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Atsakymas

L = 4

Tai funkcijos xⁿ išvestinė taške x = a: n·aⁿ⁻¹.

Pavyzdys 2Vidutinis
xyy = L

Raskite ribą L = limx→∞ (1 + 1/x)x. Pateikite dešimtainę reikšmę.

f(x) = (1 + 1/x)xx → ∞

Raskite L

Rodyti užuominas
  1. Neapibrėžtumas 1^∞. Užrašykite L = e^(ln L) ir raskite ln L.
  2. ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x).
  3. Kai u mažas, ln(1 + u) ≈ u. Čia u = 1/x.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Logaritmuokite

ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x)

Apskaičiuokite

ln(1 + u)/u → 1, kai u → 0, todėl x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·1 = 1

Grįžkite nuo logaritmo

L = e1 = 2,718

Atsakymas

L = 2,718
Pavyzdys 3Sunkus
xyx = 0

Raskite ribą L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(3x), kai x radianais.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

Raskite L

Rodyti užuominas
  1. Kai x = 0: ln 1 = 0 ir sin 0 = 0, todėl gaunamas neapibrėžtumas 0/0.
  2. (ln(1 + 2x))′ = 2/(1 + 2x), (sin 3x)′ = 3·cos 3x.
  3. Į f′/g′ įstatykite x = 0.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Lopitalio taisyklė

L = limx→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

Įstatykite x = 0

L = 2/3 = 0,6667

Atsakymas

L = 0,6667

Klausimai ir atsakymai

Ribos: kas tai?

Riba aprašo reikšmę, prie kurios funkcija artėja, kai x artėja prie kokio nors skaičiaus. Nesvarbu, kas vyksta būtent ties tuo skaičiumi.

Imkime f(x) = (x² − 1)/(x − 1). Ties x = 1 gaunate 0/0, kuris neturi reikšmės. Bet galite išbandyti skaičius, artimus 1.

Ribos: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Ribos: kokios klaidos dažniausios?
  • Išlaikykite visus antrojo dauginamojo narius: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹), o kai x = a, visi n narių yra lygūs.
  • Išraiška 1^∞ yra neapibrėžtumas, o ne 1. Pirmiausia logaritmuokite natūriniu logaritmu.
  • Skaitiklio išvestinę palikite skaitiklyje: lim f/g = lim f′/g′.
Ribos: ką lavinsite?
  • Lengvas: tiesioginis įstatymas ir skaidymas dauginamaisiais
  • Vidutinis: ribos begalybėje
  • Sunkus: Lopitalio taisyklė

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Toliau

IšvestinėsSekos ir eilutės

Kursai su šia tema

Matematinė analizė 1Inžinerinė matematikaAP Calculus uždaviniai

Daugiau temų: Matematika ir statistika

IšvestinėsOptimizavimasIntegralaiSekos ir eilutėsKelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasDiferencialinės lygtysKompleksiniai skaičiaiSkaitiniai metodaiMatricos ir determinantaiVektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaTeiginių logika ir įrodymaiAibės, sąryšiai ir funkcijosGrafų teorijaSkaičių teorija ir modulinė aritmetikaTikimybėAprašomoji statistikaNormalusis skirstinysPasikliautinieji intervalaiHipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiTiesinė regresija ir koreliacijaChi kvadrato testai

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Ribos su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: RibosPraktikuokitės dabar: RibosKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.