Išvestinės: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Išvestinės su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: laipsnio taisyklė, grandinės ir sandaugos taisyklės, liestinės ir ekstremumai.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
xyx = −2

Tegu f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9. Raskite grafiko krypties koeficientą taške x = −2, t. y. f′(−2).

f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9x = −2
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: IšvestinėsPraktikuokitės dabar: IšvestinėsKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvaslaipsnio taisyklė
  2. Vidutinisgrandinės ir sandaugos taisyklės
  3. Sunkusliestinės ir ekstremumai

Kaip spręsti uždavinius tema Išvestinės

  1. Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
  2. Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
  3. Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
  4. Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Dažnos klaidos

  • Taikant sudėtinės funkcijos taisyklę pamirštama vidinės funkcijos išvestinė.
  • Dalmens išvestinės taisyklėje sumaišoma narių tvarka.
  • Konstantos ir funkcijos sandauga laikoma dviejų funkcijų sandauga.

Pagrindinės formulės

Laipsnio išvestinė
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė
(uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Išmokite Išvestinės nuo nulio

Prieš tai: Ribos

1Kas yra išvestinė

Išvestinė matuoja, kaip greitai kas nors kinta. Jei automobilio padėtis kas valandą pasikeičia 50 km, jo greitis yra 50 km/h: padėties kitimo sparta.

Grafike išvestinė taške yra kreivės nuolydis tame taške: kaip staigiai ji kyla ar leidžiasi, jei labai priartintume.

Tas nuolydis yra liestinės nuolydis – tiesės, kuri tame taške tik paliečia kreivę.

xy(1, 1)m = 2

Kai y = x², liestinės ties x = 1 nuolydis yra 2. Rašome f′(1) = 2, skaitome „f brūkšnys nuo 1“.

  • Teigiama išvestinė: grafikas kyla.
  • Neigiama išvestinė: grafikas leidžiasi.
  • Nulinė išvestinė: grafikas ten horizontalus, pavyzdžiui, viršūnėje ar dugne.
Savikontrolė Taške, kuriame f grafikas leidžiasi, išvestinė yra…
  1. neapibrėžta
  2. neigiama
  3. nulis
  4. teigiama

Atsakymas: neigiama. Išvestinė yra nuolydis. Grafikas, einantis iš kairės į dešinę žemyn, turi neigiamą nuolydį.

2Pagrindinės taisyklės

Ribų kiekvieną kartą nereikia. Kelios taisyklės apima daugumą funkcijų.

(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

Tai laipsnio taisyklė: laipsnio rodiklį nuleiskite prieš išraišką ir sumažinkite jį vienetu. Taigi (x³)′ = 3x² ir (x)′ = 1.

  • Pati konstanta turi išvestinę 0: ji nekinta.
  • Konstantos daugiklis lieka: (5x³)′ = 5 · 3x² = 15x².
  • Sumoje kiekvieno nario išvestinę imkite atskirai.

Išmokite ir šias: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x ir (cos x)′ = −sin x.

Savikontrolė Kam lygi 4x³ − 2x + 7 išvestinė?
  1. 12x² − 2 + 7
  2. 12x² − 2
  3. 12x³ − 2x
  4. 4x² − 2

Atsakymas: 12x² − 2. Laipsnio taisyklė kiekvienam nariui: (4x³)′ = 12x², (−2x)′ = −2, o konstanta 7 duoda 0.

3Sandaugos ir sudėtinės funkcijos taisyklės

Dar dvi taisyklės tinka funkcijoms, sudarytoms iš kitų funkcijų.

Sandaugos taisyklė, kai dvi funkcijos sudaugintos:

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

Sudėtinės funkcijos taisyklė, kai viena funkcija yra kitos viduje: imkite išorinės funkcijos išvestinę, vidinę palikite, tada padauginkite iš vidinės išvestinės.

[(3x + 1)⁴]′ = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³

Dalmens taisyklė išplaukia iš šių dviejų: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v².

Savikontrolė Kam lygi (2x + 5)³ išvestinė?
  1. (2x + 5)² · 2
  2. 3(2x + 5)²
  3. 6(2x + 5)²
  4. 6x(2x + 5)²

Atsakymas: 6(2x + 5)². Išorinė: 3(2x + 5)². Vidinė: (2x + 5)′ = 2. Padauginkite: 3 · 2 · (2x + 5)² = 6(2x + 5)². Pamirštama vidinė 2 – klasikinė klaida.

4Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Pažiūrėkite į struktūrą: narių suma, sandauga, dalmuo ar funkcija funkcijos viduje.
  2. Šaknis ir trupmenas pirmiausia perrašykite laipsniais: √x = x1/2 ir 1/x² = x−2.
  3. Taikykite taisykles iš išorės į vidų, po vieną dalį.
  4. Supaprastinkite rezultatą.
  5. Jei prašoma reikšmės, skaičių įrašykite tik pačioje pabaigoje.

Norėdami rasti grafiko viršūnę ar dugną (ekstremumą), spręskite f′(x) = 0. Antroji išvestinė pasako, kuris tai atvejis: f″ < 0 yra maksimumas, f″ > 0 – minimumas.

5Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Tegul f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1. Raskite nuolydį ties x = 0 ir vietinį maksimumą bei minimumą.

1

Diferencijuokite kiekvieną narį

Kiekvienam nariui taikykite laipsnio taisyklę. Konstanta 1 išnyksta.

f′(x) = 3x² − 12x + 9
2

Nuolydis ties x = 0

f′(0) = 3·0 − 12·0 + 9 = 9

Taigi liestinė ties x = 0 kyla 9 vienetais kiekvienam vienetui į dešinę.

3

Prilyginkite išvestinę nuliui

3x² − 12x + 9 = 0 ⇒ x² − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1 or x = 3
4

Kuris yra maksimumas?

f″(x) = 6x − 12

f″(1) = −6 neigiama, todėl x = 1 yra maksimumas. f″(3) = 6 teigiama, todėl x = 3 yra minimumas.

5

Raskite reikšmes

f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5
f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
xy(1, 5)(3, 1)

Grafikas tai patvirtina: abiejuose taškuose horizontalus, viršūnė taške (1, 5) ir dugnas taške (3, 1).

Atsakymas

f′(0) = 9. Vietinis maksimumas taške (1, 5), vietinis minimumas taške (3, 1).

6Dažnos klaidos

  • Sudėtinės funkcijos taisyklėje pamirštama vidinės funkcijos išvestinė.
  • Rašoma (u · v)′ = u′ · v′. Sandaugos taisyklė turi du narius.
  • Painiojama dalmens taisyklės tvarka: skaitiklyje yra u′v − uv′, su minusu.
  • Skaičius įrašomas prieš diferencijuojant. Pirmiausia diferencijuokite, tada įrašykite.
  • Konstantos kartotinis, pavyzdžiui, 5x³, laikomas sandauga. Viskas paprasčiau: 5 tiesiog lieka.
Savikontrolė Kam lygi √x išvestinė?
  1. 1/(2√x)
  2. 1/√x
  3. 2√x
  4. ½x

Atsakymas: 1/(2√x). √x = x1/2, taigi išvestinė yra ½x−1/2 = 1/(2√x). Pirmiausia perrašius šaknį laipsniu, tampa lengva.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvi: daugianaris. Naudokite laipsnio taisyklę ir raskite nuolydį ties duotu x.
  • Vidutiniai: sudėtinės funkcijos arba sandaugos taisyklė, pavyzdžiui, (2x + 5)⁵ arba x²·e−x, apskaičiuota taške.
  • Sunkūs: liestinės ir ekstremumai. Spręskite f′(x) = 0 ir nuspręskite, kuris taškas yra maksimumas.

Greitas nuolydžio uždavinių patikrinimas: mintyse įsivaizduokite grafiką. Jei jis ten kyla, jūsų atsakymas turi būti teigiamas.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
xyx = 1

Tegu f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7. Raskite grafiko krypties koeficientą taške x = 1, t. y. f′(1).

f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7x = 1

Raskite f′(1)

Rodyti užuominas
  1. Diferencijuokite kiekvieną narį pagal laipsnio taisyklę (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Konstanta išnyksta.
  2. f′(x) = −5x4 + 6x − 7.
  3. Dabar įstatykite x = 1.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Diferencijuokite kiekvieną narį

f′(x) = −5x4 + 6x − 7

Įstatykite

f′(1) = (−5)·14 + 6·1 + (−7) = −6

Atsakymas

f′(1) = −6
Pavyzdys 2Vidutinis
xyx = 1

Tegu f(x) = x3·e−x. Raskite f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Raskite f′(1)

Rodyti užuominas
  1. Sandaugos taisyklė, kai u = x3 ir v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos taisyklė

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Įstatykite

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Atsakymas

f′(1) = 0,7358
Pavyzdys 3Sunkus
xy

Tegu f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6. Raskite lokaliojo minimumo x koordinatę x.

f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6

Raskite x

Rodyti užuominas
  1. Lokaliajame maksimume ar minimume išvestinė lygi nuliui.
  2. f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 0.
  3. Kubinės funkcijos su teigiamu x³ nariu maksimumas būna pirmas (mažesnis x), o minimumas – antras.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Išvestinė

f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 3·(x2 − 9x + 18)

Išspręskite f′(x) = 0

x = 3 arba x = 6

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x − 27: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(3) = −9, f″(6) = 9
x = 6

Atsakymas

x = 6

Klausimai ir atsakymai

Išvestinės: kas tai?

Išvestinė matuoja, kaip greitai kas nors kinta. Jei automobilio padėtis kas valandą pasikeičia 50 km, jo greitis yra 50 km/h: padėties kitimo sparta.

Grafike išvestinė taške yra kreivės nuolydis tame taške: kaip staigiai ji kyla ar leidžiasi, jei labai priartintume.

Išvestinės: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
  1. Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
  2. Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
  3. Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
  4. Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.
Išvestinės: kokios klaidos dažniausios?
  • Taikant sudėtinės funkcijos taisyklę pamirštama vidinės funkcijos išvestinė.
  • Dalmens išvestinės taisyklėje sumaišoma narių tvarka.
  • Konstantos ir funkcijos sandauga laikoma dviejų funkcijų sandauga.
Išvestinės: ką lavinsite?
  • Lengvas: laipsnio taisyklė
  • Vidutinis: grandinės ir sandaugos taisyklės
  • Sunkus: liestinės ir ekstremumai

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Ribos

Toliau

IntegralaiKelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasSkaitiniai metodaiDiferencialinės lygtysOptimizavimasSekos ir eilutės

Skaičiuoklės

Išvestinių skaičiuoklė su žingsniais

Kursai su šia tema

Matematinė analizė 1Inžinerinė matematikaDiferencialinės lygtysAP Calculus uždaviniai

Daugiau temų: Matematika ir statistika

RibosOptimizavimasIntegralaiSekos ir eilutėsKelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasDiferencialinės lygtysKompleksiniai skaičiaiSkaitiniai metodaiMatricos ir determinantaiVektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaTeiginių logika ir įrodymaiAibės, sąryšiai ir funkcijosGrafų teorijaSkaičių teorija ir modulinė aritmetikaTikimybėAprašomoji statistikaNormalusis skirstinysPasikliautinieji intervalaiHipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiTiesinė regresija ir koreliacijaChi kvadrato testai

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Išvestinės su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: IšvestinėsPraktikuokitės dabar: IšvestinėsKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.