Diferencialinės lygtys: uždaviniai ir egzamino klausimai

Pirmos eilės diferencialinės lygtys ir jų taikymai: augimas ir nykimas, Niutono vėsimo dėsnis, maišymo uždaviniai ir tiesinės lygtys su integruojamuoju daugikliu, taip pat Oilerio ir Hoino metodai lygtims be formulės sprendinio.

Praktikuokitės šiame kurse nemokamai Praktikuotis šiame kurse Laikyti bandomąjį egzaminąKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Pasiruošimo paketas (PDF)Formulių lapai, metodų žingsniai ir uždaviniai su pilnais sprendimais, paruošti spausdinti.

Šio kurso temos

Egzamino patarimai: Diferencialinės lygtys

Pirmiausia nustatykite tipą: su atskiriamaisiais kintamaisiais, tiesinė ar standartinis modelis, pavyzdžiui, augimas ar aušimas.
Pradinę sąlygą naudokite pabaigoje konstantai rasti.
Patikrinkite atsakymą įstatydami jį atgal į lygtį.

Išspręsti pavyzdžiai

Diferencialinės lygtysLengvas

Lygčiai y″ + 4y′ + 3y = 0 raskite charakteristinės lygties šaknį r, artimiausią nuliui. Ji nustato, kaip lėtai sprendinys slopsta.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Raskite r

Rodyti užuominas

Įrašykite y = e^rt.
r² + 4r + 3 = 0.
Išskaidykite dauginamaisiais arba naudokite kvadratinės lygties formulę.

Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Charakteringoji lygtis

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Šaknys

r = −1, r = −3

artimiausia nuliui: r = −1

Atsakymas

r = −1

Bendrasis sprendinys yra y = A·e^−1t + B·e^−3t.

IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀² x·cos x dx (x radianais).

∫₀² x·cos x dx

Raskite I

Rodyti užuominas

Imkite u = x ir dv = cos x dx.
v = sin x.
∫x cos x dx = x sin x + cos x.

Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.

Pasirinkite u ir dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Pirmykštė funkcija

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Ribos

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Atsakymas

I = 0,4024

Kaip vyksta praktika

„Praktikuotis šiame kurse“ maišo uždavinius iš visų kurso temų, kaip tikrame egzamine.
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Bandomieji egzaminai yra riboto laiko ir be užuominų, o pabaigoje gaunate rezultatą ir išsamią peržiūrą.

Šio kurso skaičiuoklės

Pusėjimo trukmės ir eksponentinio mažėjimo skaičiuoklė Išvestinių skaičiuoklė su žingsniais Integralų skaičiuoklė (apibrėžtinių ir neapibrėžtinių)

Susiję kursai

Inžinerinė matematika AP Calculus uždaviniai Matematinė analizė 1 Inžinerinė matematika 2 Matematinė analizė 2 Skaitiniai metodai Statistikos pagrindai Statistika 2: statistinės išvados

Praktikuokitės šiame kurse nemokamai Praktikuotis šiame kurse Laikyti bandomąjį egzaminąKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.