Išvestinių skaičiuoklė su žingsniais

Įveskite savo reikšmes. Atsakymas ir visas sprendimas atsinaujina jums rašant.

Rezultatas

f(x)x2·sin(3x) + ln(x)/x + e−x2
f′(x)2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x) + (1 − ln(x))/x2 − 2x·e−x2
f(1)0,509
f′(1)−2,423
Liestinėy = −2,423x + 2,932

Diferencijuokite x funkciją ir matykite, kaip taikoma kiekviena taisyklė. Skaičiuoklė veikia su daugianariais, laipsniais ir šaknimis, rodiklinėmis, logaritminėmis, trigonometrinėmis ir atvirkštinėmis trigonometrinėmis funkcijomis ir jas jungia pagal sumos, sandaugos, dalmens ir sudėtinės funkcijos taisykles, rezultatą supaprastindama eigoje. Ji taip pat gali rasti antrąją ir trečiąją išvestinę bei apskaičiuoti išvestinę ir liestinės lygtį taške.

Sprendimas žingsnis po žingsnio

Perskaitykite funkciją

f(x) = x2·sin(3x) + ln(x)/x + e−x2

Sumos taisyklė: diferencijuokite narį po nario

d/dx[x2·sin(3x)] = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x)
d/dx[ln(x)/x] = (1 − ln(x))/x2
d/dx[e−x2] = −2x·e−x2
f′(x) = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x) + (1 − ln(x))/x2 − 2x·e−x2

Sandaugos taisyklė

(uv)′ = u′v + uv′
u = x2, u′ = 2x
v = sin(3x), v′ = 3cos(3x)
d/dx[x2·sin(3x)] = 2x·sin(3x) + x2·(3cos(3x)) = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x)

Grandinės taisyklė

d/dx[f(u)] = f′(u)·u′
u = 3x, u′ = 3
d/dx[sin(3x)] = cos(3x)·3 = 3cos(3x)

Dalmens išvestinė

(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
u = ln(x), u′ = 1/x
v = x, v′ = 1
d/dx[ln(x)/x] = ((1/x)·x − ln(x)·1)/x2 = (1 − ln(x))/x2

Grandinės taisyklė

d/dx[eu] = eu·u′
u = −x2, u′ = −2x
d/dx[e−x2] = e−x2·(−2x) = −2x·e−x2

Naudotos diferencijavimo taisyklės

d/dx[f + g] = f′ + g′
d/dx[c·f] = c·f′
d/dx[xn] = n·xn−1
(uv)′ = u′v + uv′
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
d/dx[f(u)] = f′(u)·u′
d/dx[ex] = ex
sin(u) → cos(u)
ln(u) → 1/u

Rezultatas

f′(x) = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x) + (1 − ln(x))/x2 − 2x·e−x2

Apskaičiuokite taške

f(1) = 0,509
f′(1) = −2,423
liestinė: y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀) = 0,509 + (−2,423)·(x − 1)

Pagrindinės formulės

Laipsnio išvestinė
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė
(uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaip rasti išvestinę žingsnis po žingsnio

  1. Išskaidykite sumą į narius ir kiekvieną diferencijuokite atskirai (sumos taisyklė). Pastovūs daugikliai lieka priekyje (pastovaus daugiklio taisyklė).
  2. Laipsniams naudokite laipsnio taisyklę, d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹. Ji tinka ir šaknims bei atvirkštinėms funkcijoms: √x = x^(1/2) ir 1/x² = x⁻².
  3. Sandaugai u·v naudokite sandaugos taisyklę (uv)′ = u′v + uv′; dalmeniui u/v naudokite dalmens taisyklę (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
  4. Funkcijai nuo kitos funkcijos, pavyzdžiui, sin(3x) ar e^(x²), naudokite sudėtinės funkcijos taisyklę: diferencijuokite išorinę funkciją, vidinę palikite ir padauginkite iš vidinės funkcijos išvestinės.
  5. Supaprastinkite: sutraukite panašiuosius narius ir suprastinkite bendrus daugiklius tarp skaitiklio ir vardiklio.

Klausimai ir atsakymai

Kaip įvesti funkciją?

Laipsniams naudokite ^, o funkcijų argumentams skliaustus: x^3 - 2x, sin(3x), e^(2x), ln(x)/x, sqrt(x^2 + 1). Daugybos ženklus galima praleisti: 3x^2 sin(x) reiškia 3x²·sin(x). e^(2x) rašykite su skliaustais; e^2x suprantama kaip e²·x.

Kokios funkcijos palaikomos?

sin, cos, tan, sec, csc, cot, arcsin, arccos, arctan, exp, ln, log (pagrindas 10) ir sqrt, su bet kokiu +, −, ·, / ir laipsnių deriniu, įskaitant tokius laipsnius kaip x^x, kai ir pagrindas, ir rodiklis turi x.

Kuo skiriasi ln ir log?

ln yra natūrinis logaritmas, pagrindas e, d/dx[ln x] = 1/x. Šioje skaičiuoklėje log reiškia dešimtainį logaritmą, kurio išvestinė yra 1/(x·ln 10).

Kaip skaičiuoklė randa liestinę?

Įveskite tašką x₀. Liestinė yra y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀): ji eina per kreivės tašką, o jos krypties koeficientas lygus išvestinei.

Ar atsakymas visada pats paprasčiausias?

Rezultatas supaprastinamas sutraukiant panašiuosius narius, sujungiant laipsnius ir suprastinant bendrus daugiklius, bet gali būti užrašytas kitaip nei jūsų vadovėlyje, pavyzdžiui, cos(x)/sin(x) vietoj cot(x). Abi formos lygios.

Pasipraktikuokite patys

Išvestinės: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnioKaip spręsti uždavinius tema IšvestinėsUžduočių lapas tema Išvestinės su atsakymais

Praktikuoti temą Išvestinės

Skaičiuoklė pateikia atsakymą. Per egzaminą jums reikia metodo: praktikuokite jį su naujais uždaviniais, užuominomis ir sprendimais.

Praktikuokitės nemokamai: IšvestinėsPraktikuokitės dabar: IšvestinėsIšspręsti pavyzdžiai
</> Įterpti

Nemokamai dėstytojams ir mokykloms: įklijuokite šį kodą į kurso puslapį, LMS ar svetainę. Studentai gali naudotis skaičiuotuvu ir jo sprendimu žingsnis po žingsnio be paskyros.

Daugiau skaičiuoklių

Z įverčio ir normaliojo skirstinio tikimybės skaičiuoklėPasikliautinojo intervalo skaičiuoklėImties dydžio skaičiuoklėVidurkio, medianos ir standartinio nuokrypio skaičiuoklėTiesinės regresijos skaičiuoklėChi kvadrato suderinamumo kriterijaus skaičiuoklėMatricos determinanto ir atvirkštinės matricos skaičiuoklėNormaliojo skirstinio skaičiuoklėBinominio skirstinio skaičiuoklėPuasono skirstinio skaičiuoklė