Aibės, sąryšiai ir funkcijos: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Aibės, sąryšiai ir funkcijos su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: Veno diagramos ir pošaibiai, įtraukos ir pašalinimo principas bei sąryšiai, funkcijos ir skaičiavimas.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas

Tegul A = {b, e} ir B = {1, 2}. Raskite |A × B|.

A = {b, e}B = {1, 2}

Tikslus atsakymas: sveikasis skaičius, be apvalinimo.

Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Aibės, sąryšiai ir funkcijosPraktikuokitės dabar: Aibės, sąryšiai ir funkcijosKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. LengvasVeno diagramos ir pošaibiai
  2. Vidutinisįtraukos ir pašalinimo principas bei sąryšiai
  3. Sunkusfunkcijos ir skaičiavimas

Kaip spręsti uždavinius tema Aibės, sąryšiai ir funkcijos

  1. Nubraižykite Veno diagramą ir sritis po srities nuspręskite, kas priklauso aibės išraiškai.
  2. Skaičiavimo uždaviniuose sritis pildykite nuo centro į išorę: visos aibės, tada poros, tada pavienės aibės, tada išorė.
  3. Patikrai naudokite įtraukos ir pašalinimo principą: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
  4. Tikrindami sąryšį, patikrinkite kiekvieną savybę visoms poroms, o jai nepasitvirtinus, pateikite vieną kontrapavyzdį.
  5. Tikrindami funkciją, suskaičiuokite rodykles, patenkančias į kiekvieną aibės B elementą: ne daugiau kaip viena reiškia injekciją, bent viena – siurjekciją.

Dažnos klaidos

  • Sudėti |A| ir |B| neatėmus sankirtos.
  • Pamiršti pridėti centrą trijų aibių atveju.
  • Sukeisti laipsnio rodiklį skaičiuojant funkcijas: nᵐ funkcijų iš m elementų į n elementų aibę.
  • Taikyti g ∘ f netinkama tvarka: pirma veikia f.
  • Pamiršti poras (x, x) skaičiuojant ekvivalentumo sąryšio poras.

Pagrindinės formulės

Dvi aibės
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Trys aibės
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Skirtumas ir papildinys
A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Pošaibių aibė ir Dekarto sandauga
|𝒫(A)| = 2|A|, |A × B| = |A|·|B|
k elementų pošaibiai
C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Funkcijos A → B
nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Sąryšiai n elementų aibėje
2n²; reflexive 2n² − n; symmetric 2n(n+1)/2
Kompozicija
(g ∘ f)(x) = g(f(x))

Išmokite Aibės, sąryšiai ir funkcijos nuo nulio

Prieš tai: Teiginių logika ir įrodymai

1Aibės ir veiksmai su aibėmis

Aibė yra skirtingų elementų rinkinys: A = {1, 2, 3}. Tvarka ir pasikartojimas nesvarbūs. |A| yra elementų skaičius, o U – universalioji aibė, kurioje yra viskas, kas aptariama.

  • A ∪ B (sąjunga): elementai, esantys A arba B, arba abiejose.
  • A ∩ B (sankirta): elementai, esantys abiejose.
  • A − B (skirtumas): A elementai, kurių nėra B.
  • A′ (papildinys): U elementai, kurių nėra A.

Veno diagramoje du apskritimai padalija U į keturias sritis: tik A, abi, tik B ir nei viena. Kiekviena aibės išraiška yra kai kurių šių sričių sąjunga, todėl ją visada galima suskaičiuoti sritis po srities.

UAB125815

Čia |A| = 12 + 5 = 17, |A ∩ B| = 5, |A ∪ B| = 12 + 5 + 8 = 25 ir |(A ∪ B)′| = 15.

Savikontrolė Kiek elementų turi A − B aukščiau pateiktoje diagramoje?
  1. 12
  2. 17
  3. 25
  4. 5

Atsakymas: 12. A − B palieka A dalį už B ribų: tik sritį su 12. Penki persidengime yra ir B, o 17 yra visa A.

2Skaičiavimas įtraukos ir pašalinimo principu

Sudėjus |A| ir |B|, sankirta suskaičiuojama du kartus, todėl ją reikia atimti vieną kartą:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Trims aibėms atimamos porinės sankirtos, bet tada centras buvo pašalintas tris kartus, todėl jis pridedamas atgal:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Teksto uždaviniuose paprastai saugiau užpildyti Veno diagramą iš centro į išorę: pirmiausia elementus, esančius visose trijose aibėse, tada kiekvieną porą atėmus centrą, tada kiekvieną pavienę aibę atėmus jau išdėstytus elementus.

Dar dažnai pasitaiko du skaičiavimai: aibė su n elementų turi 2ⁿ pošaibių (jos pošaibių aibė 𝒫(A)), o |A × B| = |A|·|B| sutvarkytųjų porų.

Savikontrolė Iš 40 studentų 25 mokosi prancūzų, 18 vokiečių ir 9 abiejų kalbų. Kiek jų nesimoko nė vienos?
  1. 15
  2. 34
  3. 3
  4. 6

Atsakymas: 6. |F ∪ G| = 25 + 18 − 9 = 34, todėl 40 − 34 = 6 nesimoko nė vienos. Pamiršus atimti 9 gaunama 43, o tai daugiau nei visa grupė.

3Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Iš 60 studentų 30 išlaikė matematiką (M), 25 fiziką (P) ir 20 chemiją (C). 10 išlaikė M ir P, 8 išlaikė M ir C, 6 išlaikė P ir C, o 3 išlaikė visus tris. Kiek neišlaikė nė vieno?

1

Centras

3 išlaikė visus tris.

2

Tik poros

Tik M ir P: 10 − 3 = 7. Tik M ir C: 8 − 3 = 5. Tik P ir C: 6 − 3 = 3.

3

Tik pavieniai

Tik M: 30 − 7 − 5 − 3 = 15. Tik P: 25 − 7 − 3 − 3 = 12. Tik C: 20 − 5 − 3 − 3 = 9.

4

Sąjunga ir papildinys

|M ∪ P ∪ C| = 15 + 12 + 9 + 7 + 5 + 3 + 3 = 54

Formulė duoda tą patį: 30 + 25 + 20 − 10 − 8 − 6 + 3 = 54.

Atsakymas

60 − 54 = 6 studentai neišlaikė nė vieno iš trijų.

4Sąryšiai

Aibės X sąryšis R yra sutvarkytųjų porų (x, y) aibė, kur x ir y priklauso X. Nubraižius kaip orientuotą grafą, kiekviena pora yra rodyklė, o (x, x) – kilpa.

  • Refleksyvus: (x, x) ∈ R su kiekvienu x: kilpa prie kiekvienos viršūnės.
  • Simetrinis: (x, y) ∈ R visada turi ir (y, x) ∈ R.
  • Antisimetrinis: (x, y) ir (y, x) abu priklauso R tik kai x = y.
  • Tranzityvus: (x, y) ir (y, z) iš R reikalauja (x, z) ∈ R.

Sąryšis, kuris yra refleksyvus, simetrinis ir tranzityvus, yra ekvivalentumo sąryšis. Jis padalija X į nesikertančias klases, pavyzdžiui, liekanas 0, 1 ir 2 sąryšiui „x ≡ y (mod 3)“. Klasė su s elementų duoda s² sutvarkytųjų porų.

Savybei paneigti pakanka vieno kontrapavyzdžio; norint ją įrodyti, reikia patikrinti kiekvieną porą.

Savikontrolė R = {(1, 2), (2, 3)} aibėje {1, 2, 3}. Kurią porą reikia pridėti, kad R taptų tranzityvus?
  1. (1, 1)
  2. (1, 3)
  3. (2, 1)
  4. (3, 1)

Atsakymas: (1, 3). (1, 2) ir (2, 3) priklauso R, todėl tranzityvumas reikalauja (1, 3). (2, 1) reikėtų simetriškumui, o (1, 1) – refleksyvumui.

5Funkcijos

Funkcija f: A → B kiekvienam A elementui priskiria lygiai vieną vaizdą B.

AB123abcd
  • Injektyvi (abipus vienareikšmė): skirtingi elementai turi skirtingus vaizdus; joks B elementas negauna dviejų rodyklių.
  • Siurjektyvi (į visą aibę): kiekvienas B elementas gauna bent vieną rodyklę.
  • Bijektyvi: abu. Tik tada f turi atvirkštinę funkciją f⁻¹.

Paveiksle pavaizduota funkcija yra injektyvi, bet ne siurjektyvi: d negauna jokios rodyklės. Injekcijai reikia |A| ≤ |B|, o siurjekcijai |A| ≥ |B|.

Kai |A| = m ir |B| = n, yra nᵐ funkcijų ir n!/(n − m)! injektyvių. Kompozicija (g ∘ f)(x) = g(f(x)) pirmiausia taiko f.

Savikontrolė Kiek yra funkcijų iš 3 elementų aibės į 4 elementų aibę?
  1. 12
  2. 24
  3. 64
  4. 81

Atsakymas: 64. Kiekvienas iš 3 elementų pasirenka vieną iš 4 vaizdų: 4³ = 64. 3⁴ = 81 sukeičia vaidmenis, 24 = 4·3·2 skaičiuoja tik injektyvias funkcijas, o 12 = 3·4 yra A × B dydis.

6Dažnos klaidos

  • Sudėti |A| + |B| neatėmus sankirtos.
  • Pamiršti pridėti atgal centrą trijų aibių įtraukos ir pašalinimo principe.
  • Rašyti mⁿ, o ne nᵐ funkcijų iš m elementų į n elementų aibę skaičiui.
  • Manyti, kad sąryšis negali būti ir simetrinis, ir antisimetrinis: sąryšis {(1, 1)} yra abu.
  • Taikyti g ∘ f netinkama tvarka: pirma veikia f.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvas: Veno diagramos ir pošaibiai. Skaičiuojate aibės išraišką iš Veno diagramos, pasirenkate išraiškos sritį arba randate pošaibių aibės, Dekarto sandaugos ar pošaibių šeimos dydį.
  • Vidutinis: įtraukos ir pašalinimo principas bei sąryšiai. Sprendžiate dviejų ir trijų aibių skaičiavimo uždavinius, skaičiuojate išraiškas iš sričių sumų, nustatote, kokią savybę turi sąryšis, arba skaičiuojate porų, reikalingų uždarymui, skaičių.
  • Sunkus: funkcijos ir skaičiavimas. Klasifikuojate funkciją kaip injektyvią, siurjektyvią ar bijektyvią, skaičiuojate funkcijas, injekcijas ir siurjekcijas, apskaičiuojate kompozicijas ir atvirkštines funkcijas bei skaičiuojate porų skaičių ekvivalentumo sąryšiuose.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas

Tegul A = {a, b, c, x, y} ir B = {1, 2, 3, 4}. Raskite |𝒫(A)|.

A = {a, b, c, x, y}B = {1, 2, 3, 4}

Raskite |𝒫(A)|

Rodyti užuominas
  1. Aibė su k elementų turi 2ᵏ pošaibių: kiekvienas elementas arba yra pošaibyje, arba ne.
  2. |A| = 5, |B| = 4.
  3. |𝒫(A)| = 2|A|.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Funkcijos ir skaičiavimas: funkcija f: A → B kiekvienam A elementui priskiria lygiai vieną vaizdą B. f yra injektyvi (abipus vienareikšmė), kai skirtingi elementai turi skirtingus vaizdus, siurjektyvi (į visą aibę), kai kiekvienas B elementas yra vaizdas, ir bijektyvi, kai galioja abu. Kai |A| = m ir |B| = n, yra nᵐ funkcijų, n!/(n − m)! injektyvių (m ≤ n), o pagal įtraukos ir pašalinimo principą Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ siurjektyvių. |𝒫(A)| = 2ᵐ ir |A × B| = m·n.

Dydžiai

|A| = 5
|B| = 4

Suskaičiuokite

|𝒫(A)| = 25 = 32

Atsakymas

|𝒫(A)| = 32
Pavyzdys 2Vidutinis
UMPC

Iš 53 pirmakursių 35 išlaikė matematiką (M), 28 išlaikė fiziką (P) ir 29 išlaikė chemiją (C). 20 išlaikė M ir P, 18 išlaikė M ir C, 10 išlaikė P ir C, o 6 išlaikė visus tris. Kiek jų nėra nė vienoje iš trijų aibių?

|U| = 53

Raskite |(M ∪ P ∪ C)′|

Rodyti užuominas
  1. Užpildykite Veno diagramą iš centro į išorę: pirmiausia visas tris, tada poras, tada pavienes aibes.
  2. Tik M ir P (ne C): 20 − 6 = 14. Tik M: 35 − 14 − 12 − 6 = 3.
  3. Bent viena aibė: 35 + 28 + 29 − 20 − 18 − 10 + 6 = 50.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Aibės ir Veno diagramos: A ∪ B turi elementus, esančius A arba B (ar abiejose), A ∩ B – elementus abiejose, A − B – A elementus, kurių nėra B, o papildinys A′ – viską U, kas nėra A. Veno diagramoje kiekviena aibės išraiška yra sričių sąjunga, todėl ją skaičiuokite sritis po srities. Įtraukos ir pašalinimo principas: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| ir |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Centras ir poros

M ∩ P ∩ C: 6
M ∩ P tik: 20 − 6 = 14
M ∩ C tik: 18 − 6 = 12
P ∩ C tik: 10 − 6 = 4

Pavienės aibės

M tik: 35 − 14 − 12 − 6 = 3
P tik: 28 − 14 − 4 − 6 = 4
C tik: 29 − 12 − 4 − 6 = 7

Atsakymas

|M ∪ P ∪ C| = 50
|(M ∪ P ∪ C)′| = 53 − 50 = 3

Atsakymas

|(M ∪ P ∪ C)′| = 3
Pavyzdys 3Sunkus
x12345f(x)13234g(x)51541

Funkcijos f ir g aibėje {1, 2, 3, 4, 5} pateiktos lentelėmis. Raskite (f ∘ g)(5).

f: 1 ↦ 1, 2 ↦ 3, 3 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4g: 1 ↦ 5, 2 ↦ 1, 3 ↦ 5, 4 ↦ 4, 5 ↦ 1

Raskite (f ∘ g)(5)

Rodyti užuominas
  1. (f ∘ g)(x) reiškia f(g(x)): pirmiausia g, paskui f.
  2. Vidinė reikšmė yra g(5) = 1.
  3. Dabar išorinę funkciją pritaikykite 1.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Funkcijos ir skaičiavimas: funkcija f: A → B kiekvienam A elementui priskiria lygiai vieną vaizdą B. f yra injektyvi (abipus vienareikšmė), kai skirtingi elementai turi skirtingus vaizdus, siurjektyvi (į visą aibę), kai kiekvienas B elementas yra vaizdas, ir bijektyvi, kai galioja abu. Kai |A| = m ir |B| = n, yra nᵐ funkcijų, n!/(n − m)! injektyvių (m ≤ n), o pagal įtraukos ir pašalinimo principą Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ siurjektyvių. |𝒫(A)| = 2ᵐ ir |A × B| = m·n.

Vidinė funkcija

g(5) = 1

Išorinė funkcija

f(1) = 1
(f ∘ g)(5) = 1

Atsakymas

(f ∘ g)(5) = 1

Klausimai ir atsakymai

Aibės, sąryšiai ir funkcijos: kas tai?

Čia |A| = 12 + 5 = 17, |A ∩ B| = 5, |A ∪ B| = 12 + 5 + 8 = 25 ir |(A ∪ B)′| = 15.

Aibės, sąryšiai ir funkcijos: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
  1. Nubraižykite Veno diagramą ir sritis po srities nuspręskite, kas priklauso aibės išraiškai.
  2. Skaičiavimo uždaviniuose sritis pildykite nuo centro į išorę: visos aibės, tada poros, tada pavienės aibės, tada išorė.
  3. Patikrai naudokite įtraukos ir pašalinimo principą: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
  4. Tikrindami sąryšį, patikrinkite kiekvieną savybę visoms poroms, o jai nepasitvirtinus, pateikite vieną kontrapavyzdį.
  5. Tikrindami funkciją, suskaičiuokite rodykles, patenkančias į kiekvieną aibės B elementą: ne daugiau kaip viena reiškia injekciją, bent viena – siurjekciją.
Aibės, sąryšiai ir funkcijos: kokios klaidos dažniausios?
  • Sudėti |A| ir |B| neatėmus sankirtos.
  • Pamiršti pridėti centrą trijų aibių atveju.
  • Sukeisti laipsnio rodiklį skaičiuojant funkcijas: nᵐ funkcijų iš m elementų į n elementų aibę.
  • Taikyti g ∘ f netinkama tvarka: pirma veikia f.
  • Pamiršti poras (x, x) skaičiuojant ekvivalentumo sąryšio poras.
Aibės, sąryšiai ir funkcijos: ką lavinsite?
  • Lengvas: Veno diagramos ir pošaibiai
  • Vidutinis: įtraukos ir pašalinimo principas bei sąryšiai
  • Sunkus: funkcijos ir skaičiavimas

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Teiginių logika ir įrodymai

Toliau

Grafų teorija

Kursai su šia tema

Diskrečioji matematika

Daugiau temų: Matematika ir statistika

RibosIšvestinėsOptimizavimasIntegralaiSekos ir eilutėsKelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasDiferencialinės lygtysKompleksiniai skaičiaiSkaitiniai metodaiMatricos ir determinantaiVektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaTeiginių logika ir įrodymaiGrafų teorijaSkaičių teorija ir modulinė aritmetikaTikimybėAprašomoji statistikaNormalusis skirstinysPasikliautinieji intervalaiHipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiTiesinė regresija ir koreliacijaChi kvadrato testai

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Aibės, sąryšiai ir funkcijos su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Aibės, sąryšiai ir funkcijosPraktikuokitės dabar: Aibės, sąryšiai ir funkcijosKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.