Matricos ir determinantai: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Matricos ir determinantai su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: 2×2 determinantas, 3×3 ir sandaugos, tikrinės reikšmės ir sistemos.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
A =9−6−8−5

Raskite pateiktos matricos A determinantą det A.

A = [9 −6; −8 −5]

Tikslus atsakymas: sveikasis skaičius, be apvalinimo.

Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Matricos ir determinantaiPraktikuokitės dabar: Matricos ir determinantaiKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvas2×2 determinantas
  2. Vidutinis3×3 ir sandaugos
  3. Sunkustikrinės reikšmės ir sistemos

Pagrindinės formulės

2×2 determinantas
det = ad − bc
2×2 atvirkštinė matrica
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produktas
(AB)ij = Σk AikBkj
Tikrinės reikšmės
det(A − λI) = 0
Kramerio taisyklė
xi = det(Ai)/det(A)

Išmokite Matricos ir determinantai nuo nulio

1Matricos ir 2×2 determinantas

Matrica yra skaičių lentelė su eilutėmis ir stulpeliais. Matrica su 2 eilutėmis ir 3 stulpeliais vadinama 2×3 matrica: pirmiausia eilutės, tada stulpeliai.

Inžinieriai matricomis užrašo daug lygčių vienu metu. Sistema 2x + y = 5 ir x − y = 1 saugoma kaip jos koeficientų matrica [2 1; 1 −1].

Kvadratinė matrica turi vieną ypatingą skaičių, savo determinantą, žymimą det A. 2×2 matricai tai vienos įstrižainės sandauga minus kitos.

abcdA =+ad−bc
det A = a·d − b·c

Matricai [3 1; 2 4] determinantas yra 3·4 − 1·2 = 10.

Jei det A = 0, matrica neturi atvirkštinės, o lygčių sistema neturi vieno sprendinio.

Savikontrolė Koks matricos [4 2; 3 5] determinantas? (1 eilutė yra 4 2, 2 eilutė yra 3 5.)
  1. 14
  2. 26
  3. 9
  4. −14

Atsakymas: 14. a·d − b·c = 4·5 − 2·3 = 20 − 6 = 14. Sudėjus dvi sandaugas gaunama 26, o paėmus bc − ad gaunama −14.

23×3 determinantai ir sandaugos

3×3 matricai skleiskite pagal pirmą eilutę. Kiekvienas elementas dauginamas iš savo minoro: 2×2 determinanto, likusio išbraukus to elemento eilutę ir stulpelį.

det A = a11·M11 − a12·M12 + a13·M13

Pirmoje eilutėje ženklai eina + − +. Šį ženklų šabloną lengviausia pamiršti.

Matricų sandauga AB sudaroma iš A eilučių ir B stulpelių. Elementas i eilutėje, j stulpelyje yra A i eilutė, padauginta iš B j stulpelio: porų sandaugos sudedamos.

[1 2; 3 4] · [5; 6] = [1·5 + 2·6; 3·5 + 4·6] = [17; 39]

Sandauga egzistuoja tik kai A turi tiek stulpelių, kiek B eilučių. Apskritai AB nėra tas pats, kas BA.

Savikontrolė A = [2 1; 0 3] ir B = [1 4; 2 1]. Koks yra AB elementas 1 eilutėje, 2 stulpelyje?
  1. 13
  2. 4
  3. 6
  4. 9

Atsakymas: 9. A 1 eilutė yra (2, 1), o B 2 stulpelis yra (4, 1): 2·4 + 1·1 = 9. Dauginant tik atitinkamus elementus gaunama 1·4 = 4, o 13 yra BA elementas.

3Tikrinės reikšmės ir sistemos

A tikrinė reikšmė λ yra skaičius, kuriam A·v = λ·v su tam tikru vektoriumi v ≠ 0. Matrica tik ištempia tą vektorių, bet nesuka.

Tikrines reikšmes randate iš charakteristinės lygties. Čia I yra vienetinė matrica [1 0; 0 1].

det(A − λI) = 0

2×2 matricai ji tampa kvadratine lygtimi. Jos vidurinis koeficientas yra pėdsakas a + d, o laisvasis narys – det A:

λ² − (a + d)·λ + (ad − bc) = 0

Matricai [4 1; 2 3]: λ² − 7λ + 10 = 0, todėl (λ − 2)(λ − 5) = 0, o tikrinės reikšmės yra 2 ir 5.

Kramerio taisyklė sprendžia sistemą determinantais. A stulpelį i pakeiskite dešiniąja puse ir gaukite Ai, tada xi = det Ai / det A.

Sistemai 2x + y = 5 ir x − y = 1: det A = −3 ir det Ax = 5·(−1) − 1·1 = −6, todėl x = −6/−3 = 2.

Savikontrolė Kokia yra didesnė matricos [2 1; 1 2] tikrinė reikšmė?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Atsakymas: 3. λ² − 4λ + 3 = 0 duoda (λ − 1)(λ − 3) = 0, todėl tikrinės reikšmės yra 1 ir 3. 4 yra pėdsakas, tikrinių reikšmių suma, o ne viena iš jų.

4Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Atidžiai nusirašykite matricą, su kiekvienu minuso ženklu.
  2. 2×2 determinantas: ad − bc.
  3. 3×3 determinantas: kiekvienam pirmos eilutės elementui išbraukite jo eilutę ir stulpelį ir raskite 2×2 minorą.
  4. Sujunkite su ženklais + − +: a11M11 − a12M12 + a13M13.
  5. Tikrinės reikšmės: užrašykite λ² − (a + d)λ + det A = 0 ir išspręskite kvadratinę lygtį.
  6. Patikrinimas: nulių eilutė arba dvi vienodos eilutės visada duoda det A = 0.

Patarimas: skleiskite pagal eilutę ar stulpelį su daug nulių. Kiekvienas nulis sutaupo vieną minorą.

5Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Raskite 3×3 matricos A = [2 1 0; 1 3 1; 0 2 4] determinantą.

1

Pirmasis minoras

210131024A =

Išbraukite elemento 2 eilutę 1 ir stulpelį 1. Lieka [3 1; 2 4].

M11 = 3·4 − 1·2 = 10
2

Antrasis minoras

210131024A =

Išbraukite elemento 1 eilutę 1 ir stulpelį 2. Lieka [1 1; 0 4].

M12 = 1·4 − 1·0 = 4
3

Trečiasis minoras

Elementas a13 yra 0, todėl jo narys lygus 0, koks bebūtų minoras. Galite jį praleisti.

4

Sujunkite su + − +

det A = 2·10 − 1·4 + 0 = 20 − 4 = 16
5

Patikrinkite atsakymą

3×3 matricoms Sarruso taisyklė duoda tą pačią reikšmę: trys „žemyn“ įstrižainių sandaugos minus trys „aukštyn“ įstrižainių sandaugos.

(2·3·4 + 1·1·0 + 0·1·2) − (0·3·0 + 2·1·2 + 1·1·4) = 24 − 8 = 16
Atsakymas

det A = 16

6Dažnos klaidos

  • Pamirštamas vidurinio nario minuso ženklas 3×3 skleidime.
  • Skaičiuojama bc − ad vietoj ad − bc.
  • Prarandamas minuso ženklas, kai elementas neigiamas: −2 · −3 yra +6.
  • Matricos dauginamos elementas po elemento, o ne eilutė iš stulpelio.
  • Pėdsakas arba įstrižainės elementas laikomas tikrine reikšme, užuot sprendus charakteristinę lygtį.
Savikontrolė Koks matricos [1 2 0; 3 1 0; 0 0 2] determinantas?
  1. 10
  2. 14
  3. −10
  4. −14

Atsakymas: −10. det = 1·(1·2 − 0) − 2·(3·2 − 0) + 0 = 2 − 12 = −10. Naudojant + vidurinam nariui gaunama 2 + 12 = 14, dažniausia klaida.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvi: 2×2 matricos determinantas, dažnai su neigiamais elementais. Naudokite ad − bc.
  • Vidutiniai: 3×3 determinantas arba matricų sandauga. Skleiskite pagal pirmą eilutę su + − +.
  • Sunkūs: 2×2 matricos tikrinės reikšmės arba vienas 2×2 sistemos nežinomasis pagal Kramerio taisyklę.

Greitas tikrinių reikšmių patikrinimas: jų suma turi būti pėdsakas a + d, o sandauga – det A.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
A =1−8−10

Raskite pateiktos matricos A determinantą det A.

A = [1 −8; −1 0]

Raskite det A

Rodyti užuominas
  1. 2×2 matricos det = ad − bc.
  2. a ir d yra pagrindinėje įstrižainėje, b ir c – kitoje.
  3. ad = 0.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Matricos: 2×2 matricos determinantas yra ad − bc. 3×3 atveju skleiskite pagal eilutę: kiekvienas elementas dauginamas iš 2×2 matricos, likusios išbraukus jo eilutę ir stulpelį, determinanto, su besikeičiančiais ženklais + − +. Tikrinės reikšmės λ tenkina det(A − λI) = 0; 2×2 atveju tai λ² − (pėdsakas)·λ + det = 0.

Įstrižainių sandaugos

ad − bc = 1·0 − (−8)·(−1) = 0 − 8 = −8

Atsakymas

det A = −8
Pavyzdys 2Vidutinis
A =−153−5−1−3−513

Raskite pateiktos 3×3 matricos A determinantą det A.

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

Raskite det A

Rodyti užuominas
  1. Skleiskite pagal pirmąją eilutę su ženklais + − +.
  2. Kiekvienas narys – elementas, padaugintas iš 2×2 determinanto, likusio išbraukus jo eilutę ir stulpelį.
  3. minorai: 0, −30, −10.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Matricos: 2×2 matricos determinantas yra ad − bc. 3×3 atveju skleiskite pagal eilutę: kiekvienas elementas dauginamas iš 2×2 matricos, likusios išbraukus jo eilutę ir stulpelį, determinanto, su besikeičiančiais ženklais + − +. Tikrinės reikšmės λ tenkina det(A − λI) = 0; 2×2 atveju tai λ² − (pėdsakas)·λ + det = 0.

Pirmosios eilutės 2×2 minorai

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

Skleidinys pagal eilutę

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

Atsakymas

det A = 120
Pavyzdys 3Sunkus
A =−3−5−2−4b =19

Išspręskite sistemą −3x − 5y = 1 ir −2x − 4y = 9. Raskite x.

−3x − 5y = 1−2x − 4y = 9

Raskite x

Rodyti užuominas
  1. Kramerio taisyklė: x = det(Aₓ)/det(A), kur Aₓ pirmasis stulpelis pakeistas dešiniąja puse.
  2. det A = 2.
  3. det Aₓ = 41.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Matricos: 2×2 matricos determinantas yra ad − bc. 3×3 atveju skleiskite pagal eilutę: kiekvienas elementas dauginamas iš 2×2 matricos, likusios išbraukus jo eilutę ir stulpelį, determinanto, su besikeičiančiais ženklais + − +. Tikrinės reikšmės λ tenkina det(A − λI) = 0; 2×2 atveju tai λ² − (pėdsakas)·λ + det = 0.

Koeficientų matricos determinantas

det A = (−3)·(−4) − (−5)·(−2) = 2

Pakeiskite x stulpelį

det Aₓ = 1·(−4) − (−5)·9 = 41
x = 41/2 = 20,5

Atsakymas

x = 20,5
y = −12,5

Klausimai ir atsakymai

Matricos ir determinantai: kas tai?

Inžinieriai matricomis užrašo daug lygčių vienu metu. Sistema 2x + y = 5 ir x − y = 1 saugoma kaip jos koeficientų matrica [2 1; 1 −1].

Kvadratinė matrica turi vieną ypatingą skaičių, savo determinantą, žymimą det A. 2×2 matricai tai vienos įstrižainės sandauga minus kitos.

Matricos ir determinantai: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?

Matricos: 2×2 matricos determinantas yra ad − bc. 3×3 atveju skleiskite pagal eilutę: kiekvienas elementas dauginamas iš 2×2 matricos, likusios išbraukus jo eilutę ir stulpelį, determinanto, su besikeičiančiais ženklais + − +. Tikrinės reikšmės λ tenkina det(A − λI) = 0; 2×2 atveju tai λ² − (pėdsakas)·λ + det = 0.

Matricos ir determinantai: ką lavinsite?
  • Lengvas: 2×2 determinantas
  • Vidutinis: 3×3 ir sandaugos
  • Sunkus: tikrinės reikšmės ir sistemos

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Skaičiuoklės

Matricos determinanto ir atvirkštinės matricos skaičiuoklėTikrinių reikšmių ir tikrinių vektorių skaičiuoklėTiesinių lygčių sistemų sprendyklė (2×2 ir 3×3)

Kursai su šia tema

Inžinerinė matematikaInžinerinė matematika 2Skaitiniai metodai

Daugiau temų: Matematika ir statistika

RibosIšvestinėsOptimizavimasIntegralaiSekos ir eilutėsKelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasDiferencialinės lygtysKompleksiniai skaičiaiSkaitiniai metodaiVektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaTeiginių logika ir įrodymaiAibės, sąryšiai ir funkcijosGrafų teorijaSkaičių teorija ir modulinė aritmetikaTikimybėAprašomoji statistikaNormalusis skirstinysPasikliautinieji intervalaiHipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiTiesinė regresija ir koreliacijaChi kvadrato testai

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Matricos ir determinantai su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Matricos ir determinantaiPraktikuokitės dabar: Matricos ir determinantaiKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.