Tikrinių reikšmių ir tikrinių vektorių skaičiuoklė

Įveskite savo reikšmes. Atsakymas ir visas sprendimas atsinaujina jums rašant.

Rezultatas

λ15
λ23
λ32
Charakteristinis daugianarisλ³ − 10λ² + 31λ − 30
Pėdsakas10
Determinantas30
Tikrinė reikšmėKartotinumasTikrinis vektoriusVienetinis tikrinis vektorius
51(2, 0, 1)(0,8944, 0, 0,4472)
31(1, 1, −1)(0,5774, 0,5774, −0,5774)
21(1, 0, −1)(0,7071, 0, −0,7071)

Raskite 2×2 arba 3×3 matricos tikrines reikšmes ir tikrinius vektorius. Skaičiuoklė išskleidžia det(A − λI) į charakteristinį polinomą, sprendžia jį realiosioms ar kompleksinėms tikrinėms reikšmėms su jų kartotinumu ir randa kiekvienos realiosios tikrinės reikšmės tikrinius vektorius spręsdama (A − λI)v = 0. Kiekvienas tikrinis vektorius patikrinamas apskaičiuojant A·v, o kartotinių tikrinių reikšmių atveju parodoma, ar matricą galima diagonalizuoti.

Sprendimas žingsnis po žingsnio

Charakteristinė lygtis det(A − λI) = 0

det(A − λI) = (4 − λ)[(3 − λ)(3 − λ) − 0·(−1)] − 1[0(3 − λ) − 0·1] + 2[0·(−1) − (3 − λ)·1]
= −(λ³ − 10λ² + 31λ − 30)
tr A = 10, pagrindinių 2×2 minorų suma = 31, det A = 30
λ³ − (tr A)λ² + (ΣM)λ − det A = λ³ − 10λ² + 31λ − 30 = 0

Tikrinės reikšmės

(λ − 5)(λ − 3)(λ − 2) = 0
λ = 5, 3, 2
Patikra: Σλ = 10 = tr A

Tikrinis vektorius (λ = 5)

A − λI = [−1 1 2; 0 −2 0; 1 −1 −2]
(A − λI)·v = 0 → v = (2, 0, 1)
A·(2, 0, 1) = (10, 0, 5) = 5·(2, 0, 1) ✓

Tikrinis vektorius (λ = 3)

A − λI = [1 1 2; 0 0 0; 1 −1 0]
(A − λI)·v = 0 → v = (1, 1, −1)
A·(1, 1, −1) = (3, 3, −3) = 3·(1, 1, −1) ✓

Tikrinis vektorius (λ = 2)

A − λI = [2 1 2; 0 1 0; 1 −1 1]
(A − λI)·v = 0 → v = (1, 0, −1)
A·(1, 0, −1) = (2, 0, −2) = 2·(1, 0, −1) ✓

Pagrindinės formulės

Tikrinės reikšmės
det(A − λI) = 0

Kaip rasti tikrines reikšmes ir tikrinius vektorius

  1. Atimkite λ iš kiekvieno A įstrižainės elemento, kad gautumėte A − λI.
  2. Determinantą prilyginkite nuliui: det(A − λI) = 0. 2×2 matricai tai yra λ² − (tr A)λ + det A = 0; 3×3 matricai – kubinė lygtis.
  3. Išspręskite charakteristinę lygtį. Patikra: tikrinių reikšmių suma lygi pėdsakui, o sandauga – determinantui.
  4. Kiekvienai tikrinei reikšmei išspręskite (A − λI)v = 0 eilučių redukcija. Sprendiniai sudaro tiesę (arba plokštumą); bet kuris nenulinis jos vektorius yra tikrinis vektorius.
  5. Patikrinkite kiekvieną tikrinį vektorių: A·v turi būti lygus λ·v.

Klausimai ir atsakymai

Kaip įvesti matricą?

Surašykite eilutes, atskirtas kabliataškiais, o kiekvienos eilutės skaičius atskirkite tarpais, pavyzdžiui, 4 1 2; 0 3 0; 1 -1 3 3×3 matricai. Leidžiami dešimtainiai ir neigiami skaičiai.

Kodėl matrica gali turėti kompleksines tikrines reikšmes?

Charakteristinis polinomas gali turėti kompleksines šaknis, o realiajai matricai jos visada eina jungtinėmis poromis. Sukimo matrica 0 -1; 1 0 turi tikrines reikšmes ±i, nes joks realusis vektorius sukant nepakeičia krypties.

Ką reiškia kartotinė tikrinė reikšmė?

Charakteristinio polinomo šaknį, kurios kartotinumas 2 arba 3. Matrica vis tiek gali turėti tiek nepriklausomų tikrinių vektorių, kaip vienetinė matrica, arba mažiau. Jei jų mažiau, matrica yra defektinė ir jos negalima diagonalizuoti.

Ar tikrinis vektorius vienintelis?

Ne. Bet kuris nenulinis tikrinio vektoriaus kartotinis taip pat yra tikrinis vektorius. Skaičiuoklė parodo paprastą formą, kur įmanoma su sveikaisiais skaičiais, ir 1 ilgio vienetinį vektorių.

Kam naudojamos tikrinės reikšmės?

Jos duoda svyruojančių sistemų savuosius dažnius, įtempių tenzoriaus pagrindinius įtempius, diferencialinių lygčių sistemų stabilumą ir pagrindines kryptis pagrindinių komponenčių analizėje.

Pasipraktikuokite patys

Matricos ir determinantai: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnioKaip spręsti uždavinius tema Matricos ir determinantaiUžduočių lapas tema Matricos ir determinantai su atsakymais

Praktikuoti temą Matricos ir determinantai

Skaičiuoklė pateikia atsakymą. Per egzaminą jums reikia metodo: praktikuokite jį su naujais uždaviniais, užuominomis ir sprendimais.

Praktikuokitės nemokamai: Matricos ir determinantaiPraktikuokitės dabar: Matricos ir determinantaiIšspręsti pavyzdžiai
</> Įterpti

Nemokamai dėstytojams ir mokykloms: įklijuokite šį kodą į kurso puslapį, LMS ar svetainę. Studentai gali naudotis skaičiuotuvu ir jo sprendimu žingsnis po žingsnio be paskyros.

Daugiau skaičiuoklių

Z įverčio ir normaliojo skirstinio tikimybės skaičiuoklėPasikliautinojo intervalo skaičiuoklėImties dydžio skaičiuoklėVidurkio, medianos ir standartinio nuokrypio skaičiuoklėTiesinės regresijos skaičiuoklėChi kvadrato suderinamumo kriterijaus skaičiuoklėMatricos determinanto ir atvirkštinės matricos skaičiuoklėNormaliojo skirstinio skaičiuoklėBinominio skirstinio skaičiuoklėPuasono skirstinio skaičiuoklė