Tiesinių lygčių sistemų sprendyklė (2×2 ir 3×3)

Įveskite savo reikšmes. Atsakymas ir visas sprendimas atsinaujina jums rašant.

Rezultatas

x2
y3
z−1
Koeficientų matricos rangas3
Determinantas−1

Išspręskite dviejų ar trijų tiesinių lygčių sistemą. Įveskite lygtis taip, kaip jas rašytumėte, pavyzdžiui, 2x + y − z = 8, arba išplėstinę matricą. Skaičiuoklė parodo kiekvieną Gauso ir Jordano eliminavimo eilučių operaciją arba Kramerio taisyklės determinantus, dirba su tiksliomis trupmenomis ir atpažįsta sistemas be sprendinių ar su be galo daug sprendinių, kurias užrašo su parametru.

Sprendimas žingsnis po žingsnio

Sistema

2x + y − z = 8
−3x − y + 2z = −11
−2x + y + 2z = −3

Išplėstinė matrica

[ 2   1   −1  │  8 ]
[ −3   −1   2  │  −11 ]
[ −2   1   2  │  −3 ]

Kolona 1 (x): pagrindinis elementas eilutėje 1

R1 → (1/2)·R1
R2 → R2 + 3·R1
R3 → R3 + 2·R1
[ 1   1/2   −1/2  │  4 ]
[ 0   1/2   1/2  │  1 ]
[ 0   2   1  │  5 ]

Kolona 2 (y): pagrindinis elementas eilutėje 2

R2 → 2·R2
R1 → R1 − (1/2)·R2
R3 → R3 − 2·R2
[ 1   0   −1  │  3 ]
[ 0   1   1  │  2 ]
[ 0   0   −1  │  1 ]

Kolona 3 (z): pagrindinis elementas eilutėje 3

R3 → (−1)·R3
R1 → R1 + R3
R2 → R2 − R3
[ 1   0   0  │  2 ]
[ 0   1   0  │  3 ]
[ 0   0   1  │  −1 ]

Nuskaitykite sprendinį

x = 2
y = 3
z = −1

Patikrinkite pradinėse lygtyse

2·2 + 1·3 + (−1)·(−1) = 8 ✓
(−3)·2 + (−1)·3 + 2·(−1) = −11 ✓
(−2)·2 + 1·3 + 2·(−1) = −3 ✓

Pagrindinės formulės

2×2 determinantas
det = ad − bc
2×2 atvirkštinė matrica
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Kramerio taisyklė
xi = det(Ai)/det(A)

Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą eliminavimo būdu

  1. Užrašykite sistemą išplėstine matrica: viena eilutė kiekvienai lygčiai, x, y ir z koeficientai, o dešinioji pusė – už brūkšnio.
  2. Pirmajame stulpelyje pasirinkite pagrindinį elementą (nenulinį, geriausia 1) ir prireikus sukeiskite jį į pirmąją eilutę.
  3. Padalykite pagrindinę eilutę iš pagrindinio elemento, tada atimkite jos kartotinius iš kitų eilučių, kad likusios stulpelio reikšmės taptų nuliais.
  4. Kartokite kitam stulpeliui ir kitai eilutei, kol koeficientų dalis taps redukuotos pakopinės formos.
  5. Nuskaitykite sprendinį. Eilutė 0 = c, kai c ≠ 0, reiškia, kad sprendinių nėra; stulpelis be pagrindinio elemento reiškia laisvąjį kintamąjį ir be galo daug sprendinių.
  6. Patikrinkite įrašę sprendinį į pradines lygtis.

Klausimai ir atsakymai

Kada naudoti Kramerio taisyklę?

Mažoms sistemoms su nenuliniu determinantu, ypač 2×2. Kiekvienas nežinomasis yra determinantų santykis: x = Dx/D. Didesnėms sistemoms arba kai D = 0 eliminavimas greitesnis ir dar parodo, ar sprendinių nėra, ar jų be galo daug.

Kaip žinoti, kad sistema neturi sprendinių?

Kai eliminuojant gaunama eilutė, kurioje visi koeficientai nuliai, bet dešinioji pusė nenulinė, pavyzdžiui, 0 = 3. Geometriškai tiesės ar plokštumos neturi bendro taško, pavyzdžiui, dvi lygiagrečios tiesės.

Ką reiškia be galo daug sprendinių?

Viena lygtis yra kitų derinys, todėl nepriklausomų lygčių yra mažiau nei nežinomųjų. Sprendiniai sudaro tiesę ar plokštumą, užrašomą su parametru t: pavyzdžiui, x = 2 − t, y = 1 + t, z = t.

Kaip įvesti lygtis?

Atskirkite lygtis kabliataškiais ir prieš kiekvieną kintamąjį rašykite koeficientą: 2x + 3y − z = 5; x − y = 1; 4y + z = 0. Galima naudoti trupmenas, pavyzdžiui, 1/2x, ir dešimtaines trupmenas, o kintamasis gali būti abiejose pusėse.

Kas yra rangas?

Pagrindinių elementų skaičius po eliminavimo, tai yra nepriklausomų lygčių skaičius. Kvadratinė sistema turi vienintelį sprendinį tada ir tik tada, kai rangas lygus nežinomųjų skaičiui, t. y. kai determinantas nenulinis.

Pasipraktikuokite patys

Matricos ir determinantai: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnioKaip spręsti uždavinius tema Matricos ir determinantaiUžduočių lapas tema Matricos ir determinantai su atsakymais

Praktikuoti temą Matricos ir determinantai

Skaičiuoklė pateikia atsakymą. Per egzaminą jums reikia metodo: praktikuokite jį su naujais uždaviniais, užuominomis ir sprendimais.

Praktikuokitės nemokamai: Matricos ir determinantaiPraktikuokitės dabar: Matricos ir determinantaiIšspręsti pavyzdžiai
</> Įterpti

Nemokamai dėstytojams ir mokykloms: įklijuokite šį kodą į kurso puslapį, LMS ar svetainę. Studentai gali naudotis skaičiuotuvu ir jo sprendimu žingsnis po žingsnio be paskyros.

Daugiau skaičiuoklių

Z įverčio ir normaliojo skirstinio tikimybės skaičiuoklėPasikliautinojo intervalo skaičiuoklėImties dydžio skaičiuoklėVidurkio, medianos ir standartinio nuokrypio skaičiuoklėTiesinės regresijos skaičiuoklėChi kvadrato suderinamumo kriterijaus skaičiuoklėMatricos determinanto ir atvirkštinės matricos skaičiuoklėNormaliojo skirstinio skaičiuoklėBinominio skirstinio skaičiuoklėPuasono skirstinio skaičiuoklė