Aprašomoji statistika: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio
Nemokami uždaviniai tema Aprašomoji statistika su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: vidurkis ir mediana, standartinis nuokrypis, normalusis skirstinys.
Aprašomoji statistika apibendrina skaičių sąrašą, vadinamą duomenimis, keliomis reikšmėmis. Pirmas klausimas: kur yra centras?
Vidurkis yra paprastas aritmetinis vidurkis: susumuokite visas reikšmes ir padalykite iš jų skaičiaus n.
x̄ = Σx / n
Simbolis Σ reiškia „susumuoti visus“, o x̄ skaitomas „x su brūkšniu“. 3, 5 ir 10 vidurkis yra 18/3 = 6.
Mediana yra vidurinė reikšmė, kai duomenis surūšiuojate nuo mažiausio iki didžiausio.
Nelyginis n: mediana yra vienintelė vidurinė reikšmė. 3, 5, 10 ji lygi 5.
Lyginis n: mediana yra dviejų vidurinių reikšmių vidurkis.
Viena kraštutinė reikšmė, išskirtis, patraukia vidurkį link savęs, bet medianą beveik nepajudina. Todėl pajamos dažnai apibendrinamos mediana.
Savikontrolė Kokia yra skaičių 4, 40, 29, 22, 17, 20 mediana?
20
21
22
25,5
Atsakymas: 21. Surikiuota: 4, 17, 20, 22, 29, 40. Du vidurinės reikšmės yra 20 ir 22, todėl mediana lygi 21. 25,5 gaunama paėmus nesurikiuoto sąrašo vidurį; 22 yra vidurkis.
2Sklaida: standartinis nuokrypis
Dvi duomenų aibės gali turėti tą patį vidurkį, bet labai skirtingą sklaidą. Standartinis nuokrypis s parodo, kiek reikšmės paprastai nutolusios nuo vidurkio.
Kiekviena reikšmė turi nuokrypį x − x̄. Nuokrypių suma lygi nuliui, todėl pirmiausia juos keliate kvadratu, ir visi tampa teigiami.
s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )
Tai imties standartinis nuokrypis: dalijate iš n − 1, o ne iš n. s kvadratas vadinamas dispersija.
Skaičiams 2, 4 ir 6: vidurkis yra 4, nuokrypiai yra −2, 0 ir 2, kvadratų suma lygi 8, 8/2 = 4, o s = √4 = 2.
Savikontrolė Koks yra skaičių 2, 4 ir 6 imties standartinis nuokrypis?
0
1,633
2
4
Atsakymas: 2. Σ(x − x̄)² = 8, padalijus iš n − 1 = 2 gaunama 4, o √4 = 2. Dalijant iš n = 3 gaunama 1,633; 4 reiškia, kad pamiršta šaknis, o 0 yra nuokrypių suma prieš keliant kvadratu.
3z reikšmės ir normalusis skirstinys
Daugelio matavimų, pavyzdžiui, ūgio ar egzamino balų, grafikas yra varpo formos kreivė: normalusis skirstinys. Jo centras yra vidurkis μ, o plotis – standartinis nuokrypis σ.
z reikšmė parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio:
z = (x − μ) / σ
Kai μ = 70 ir σ = 10, balo 74 z = 4/10 = 0,4. Neigiama z reiškia, kad reikšmė yra žemiau vidurkio.
68–95–99,7 taisyklė: apie 68 % reikšmių yra ne toliau kaip 1σ nuo vidurkio, 95 % – ne toliau kaip 2σ, o 99,7 % – ne toliau kaip 3σ.
Kai μ = 50 ir σ = 5, reikšmės 60 z = 2. Apie 95 % reikšmių yra tarp 40 ir 60, taigi apie 2,5 % yra didesnės už 60. z lentelė duoda tikslią reikšmę 0,0228.
Savikontrolė IQ balai pasiskirstę normaliai, μ = 100 ir σ = 15. Maždaug kuri dalis žmonių surenka daugiau nei 115?
16%
32%
34%
68%
Atsakymas: 16%. 115 yra 1σ virš vidurkio. 68 % yra ne toliau kaip 1σ, vadinasi, 32 % yra už šios ribos ir po lygiai pasidalija į abu uodegas: 16 % yra viršuje. 32 % reiškia, kad nepadalytos dvi uodegos.
4Metodas žingsnis po žingsnio
Surašykite duomenis į eilutę ir suskaičiuokite n.
Vidurkis: sudėkite visas reikšmes ir padalykite iš n.
Mediana: pirmiausia surikiuokite, tada imkite vidurinę reikšmę arba dviejų vidurinių vidurkį.
Standartinis nuokrypis: iš kiekvienos reikšmės atimkite vidurkį, pakelkite kvadratu, sudėkite, padalykite iš n − 1 ir traukite kvadratinę šaknį.
z reikšmė: atimkite μ, padalykite iš σ. Tada dalies radimui naudokite 68–95–99,7 taisyklę arba z lentelę.
Lentelė su stulpeliais x, x − x̄ ir (x − x̄)² padeda tvarkingai apskaičiuoti standartinį nuokrypį.
5Išspręstas pavyzdys
Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.
Išspręstas pavyzdys
Raskite duomenų 4, 8, 6, 5, 7 vidurkį, medianą ir imties standartinį nuokrypį s.
1
Vidurkis
x̄ = (4 + 8 + 6 + 5 + 7) / 5 = 30 / 5 = 6
2
Mediana
Surikiuota: 4, 5, 6, 7, 8. Kai n = 5, vidurinė reikšmė yra trečioji.
mediana = 6
3
Nuokrypiai ir jų kvadratai
Iš kiekvienos reikšmės atimkite vidurkį: −2, 2, 0, −1, 1. Patikrinimas: jų suma lygi 0.
Pakelkite juos kvadratu: 4, 4, 0, 1, 1.
Σ(x − x̄)² = 4 + 4 + 0 + 1 + 1 = 10
4
Dalyba iš n − 1
s² = 10 / (5 − 1) = 2,5
5
Ištraukite kvadratinę šaknį
s = √2,5 ≈ 1,58
Patikrinimas: reikšmės nuo vidurkio nutolusios 0, 1 arba 2, todėl tipinis atstumas apie 1,6 yra tikėtinas.
Atsakymas
Vidurkis x̄ = 6, mediana 6, o s ≈ 1,58.
6Dažnos klaidos
Imamas sąrašo vidurys jo nesurikiavus.
Dalijama iš n, o ne iš n − 1, skaičiuojant imties standartinį nuokrypį.
Pamirštama galutinė šaknis, todėl gaunama dispersija, o ne s.
Klaidingas z ženklas: reikšmės, esančios žemiau vidurkio, z yra neigiama.
Pamirštama z reikšmėje dalyti iš σ.
Savikontrolė Egzamino balų vidurkis yra 70, o standartinis nuokrypis 10. Kokia yra balo 60 z reikšmė?
1
6
−10
−1
Atsakymas: −1. z = (60 − 70)/10 = −10/10 = −1. Balas yra žemiau vidurkio, todėl z neigiama. −10 reiškia, kad pamiršta dalyti iš σ.
7Kaip atrodo egzamino uždaviniai
Lengvi: trumpo duomenų sąrašo vidurkis arba mediana.
Vidutiniai: penkių ar šešių reikšmių imties standartinis nuokrypis. Dalykite iš n − 1.
Sunkūs: normalusis skirstinys. Raskite z reikšmę arba reikšmių dalį virš nurodytos reikšmės ar žemiau jos.
Greitas patikrinimas: vidurkis ir mediana yra tarp mažiausios ir didžiausios reikšmės, o s niekada nebūna neigiamas.
Surikiuokite reikšmes nuo mažiausios iki didžiausios.
Kai reikšmių skaičius nelyginis, mediana yra vidurinė reikšmė.
surikiuota: 3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Pakelkite kvadratu kiekvieną nuokrypį nuo vidurkio, sudėkite, padalykite iš n − 1 ir ištraukite šaknį.
x̄ = 37,71.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −2
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Atsakymas
P = 0,02275
Klausimai ir atsakymai
Aprašomoji statistika: kas tai?
Aprašomoji statistika apibendrina skaičių sąrašą, vadinamą duomenimis, keliomis reikšmėmis. Pirmas klausimas: kur yra centras?
Simbolis Σ reiškia „susumuoti visus“, o x̄ skaitomas „x su brūkšniu“. 3, 5 ir 10 vidurkis yra 18/3 = 6.
Aprašomoji statistika: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: ką lavinsite?
Lengvas: vidurkis ir mediana
Vidutinis: standartinis nuokrypis
Sunkus: normalusis skirstinys
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Kaip vyksta praktika
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.