Sąsūka ir LTI sistemos: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Sąsūka ir LTI sistemos su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: diskrečioji sąsūka, tolydžioji sąsūka, impulsinė charakteristika ir Furjė eilutė.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
x[n]n−10−31224334h[n]n−101112134

Sekos x[n] = {−3, 2, 4, 3} ir h[n] = {1, 1, 1} abi prasideda nuo n = 0. Raskite sąsūkos y[n] = x[n] ∗ h[n] atskaitą y[1].

x[n] = {−3, 2, 4, 3}, n = 0…3h[n] = {1, 1, 1}, n = 0…2
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Sąsūka ir LTI sistemosPraktikuokitės dabar: Sąsūka ir LTI sistemosKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvasdiskrečioji sąsūka
  2. Vidutinistolydžioji sąsūka
  3. Sunkusimpulsinė charakteristika ir Furjė eilutė

Kaip spręsti uždavinius tema Sąsūka ir LTI sistemos

  1. Nubraižykite abu signalus ir pažymėkite, kur kiekvienas nelygus nuliui.
  2. Apverskite h ir stumkite: kiekvienam išėjimo laikui raskite sritį, kurioje abu signalai persidengia.
  3. Dauginkite ir sudėkite (diskrečiuoju atveju) arba dauginkite ir integruokite (tolydžiuoju atveju) tik toje persidengimo srityje.
  4. Patikrinkite rezultatą: išėjimas prasideda pradžios laikų suma, baigiasi pabaigos laikų suma, o jo plotas ar suma lygi įėjimų plotų ar sumų sandaugai.

Dažnos klaidos

  • Dviejų signalų daugyba atskaita po atskaitos vietoj sąsūkos.
  • h postūmis jo neapvertus, o tai duoda koreliaciją.
  • Šuolio atsako formulės naudojimas ten, kur klausiama impulsinės charakteristikos, arba atvirkščiai.
  • Neteisingas harmonikos numerio skaičiavimas: dedamoji ties k/T yra k-oji harmonika.

Pagrindinės formulės

Diskrečioji sąsūka
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Tolydžioji sąsūka
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Ilgis ir suma
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Pradžia, pabaiga ir plotas
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Šuolis į e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Pirmosios eilės sistema
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Pirmosios eilės rekursija
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Sinusoidė per h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Furjė eilutės amplitudės
stačiakampė ±A: 4A/(kπ), nelyginis k; trikampė ±A: 8A/(π²k²), nelyginis k; impulsų seka: A·D ir (2A/(kπ))|sin kπD|

Išmokite Sąsūka ir LTI sistemos nuo nulio

Prieš tai: Integralai

1Ką daro sąsūka

Tiesinė laiko atžvilgiu nekintanti (LTI) sistema visiškai aprašoma savo impulsine charakteristika h: išėjimu, kurį ji duoda, kai įėjimas yra vienas trumpas smūgis.

Bet kurį įėjimą galima laikyti eile padidintų ar sumažintų, pastumtų smūgių. Kiekvienas smūgis sukuria h kopiją, padidintą ar sumažintą ir pastumtą, o išėjimas yra visų kopijų suma. Ta suma yra sąsūka y = x ∗ h.

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

Sąsūka atsiranda visur, kur sistema turi atmintį: filtruose, jutikliuose, konstrukcijose, grandinėse ir signalo išsiskleidime laike.

Savikontrolė Sistemos h[n] = {1, 3} (n = 0, 1). Įėjimas yra viena atskaita x[0] = 2. Koks išėjimas?
  1. y[n] = {2, 3}
  2. y[n] = {2, 6}
  3. y[n] = {3, 1}
  4. y[n] = {8}

Atsakymas: y[n] = {2, 6}. Vienas 2 aukščio smūgis duoda vieną h kopiją, padidintą 2 kartus: {2·1, 2·3} = {2, 6}. Sąsūka išlaiko h formą; ji nesudeda atskaitų.

2Diskrečioji sąsūka žingsnis po žingsnio

Sekoms sąsūka yra suma:

y[n] = Σk x[k]·h[n − k]
  1. Apverskite h: h[−k] yra h, atspindėtas apie k = 0.
  2. Apverstą h pastumkite per n.
  3. Padauginkite jį atskaita po atskaitos su x ir sudėkite sandaugas. Tai duoda y[n].
  4. Pakartokite kiekvienam n. Jei x turi Lx atskaitų, o h – Lh, tai y turi Lx + Lh − 1 atskaitų, prasidedančių nuo dviejų pradžios indeksų sumos.

Greitas patikrinimas: visų y atskaitų suma lygi (Σx)·(Σh).

Savikontrolė Kai x[n] = {1, 2} ir h[n] = {3, 1}, abi prasideda nuo n = 0, kam lygus y[1]?
  1. 2
  2. 5
  3. 6
  4. 7

Atsakymas: 7. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1·1 + 2·3 = 7. Padauginus tik x[1]·h[1], gaunama 2, o 6 išlaiko tik vieną iš dviejų sandaugų.

3Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Sąsukite x[n] = {2, 1, −1} su h[n] = {1, 3}, abi prasideda nuo n = 0.

1

Pažiūrėkite į sekas

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

x turi 3 atskaitas, o h – 2, todėl y turi 3 + 2 − 1 = 4 atskaitas, nuo n = 0 iki n = 3.

2

y[0]

Persidengia tik x[0] ir h[0].

y[0] = 2·1 = 2
3

y[1]

y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 2·3 + 1·1 = 7
4

y[2] ir y[3]

y[2] = x[1]·h[1] + x[2]·h[0] = 1·3 + (−1)·1 = 2
y[3] = x[2]·h[1] = (−1)·3 = −3
5

Patikrinkite atsakymą

Σx = 2 ir Σh = 4, todėl Σy turi būti 8. Iš tiesų 2 + 7 + 2 − 3 = 8.

Atsakymas

y[n] = {2, 7, 2, −3}, kai n = 0 … 3.

4Tolydžioji sąsūka

Tolydžiojo laiko signalams suma virsta integralu:

y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ

Metodas tas pats: apverskite h, pastumkite į padėtį t ir suintegruokite sandaugą toje dalyje, kur abu signalai nelygūs nuliui.

x(t)t12h(t)t1

Kai x(t) = 2, kai 0 ≤ t < 1 s, o h(t) = e−tu(t), išėjimas, kol impulsas įjungtas, yra y(t) = ∫₀ᵗ 2e−(t − τ) dτ = 2(1 − e−t). Kai t = 1 s, jis pasiekia 2(1 − e−1) = 1,26, o po to mažėja kaip 1,26·e−(t − 1).

  • y prasideda dviejų pradžios laikų suma ir baigiasi dviejų pabaigos laikų suma.
  • Plotas po y lygus ploto po x ir ploto po h sandaugai.
  • Du stačiakampiai impulsai duoda trapeciją; du vienodi – trikampį.
Savikontrolė x(t) nelygus nuliui nuo 0 iki 2 s, o h(t) – nuo 1 s iki 4 s. Kada baigiasi y(t) = x(t) ∗ h(t)?
  1. 3 s
  2. 4 s
  3. 5 s
  4. 6 s

Atsakymas: 6 s. y baigiasi pabaigos laikų suma: 2 + 4 = 6 s. Jis prasideda ties 0 + 1 = 1 s, taigi trunka 5 s; 5 s yra trukmė, o ne pabaiga.

5Impulsinės charakteristikos ir Furjė eilutės

Pirmosios eilės sistemos y′ + a·y = b·x impulsinė charakteristika yra h(t) = b·e−atu(t). Jos diskretusis atitikmuo y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] turi h[n] = b·aⁿ, kai n ≥ 0.

Sinusoidė per LTI sistemą praeina nepakitusiu dažniu. Ji padauginama iš |H(jω)| ir pastumiama ∠H(jω) faze, kur H yra h Furjė transformacija. Kai h(t) = b·e−atu(t), H(jω) = b/(a + jω).

Periodinis signalas, kurio periodas T, yra harmonikų, kurių dažniai k/T, suma. Keletas standartinių amplitudžių:

  • Stačiakampė banga tarp −A ir +A: tik nelyginiai k, amplitudė 4A/(kπ).
  • Trikampė banga tarp −A ir +A: tik nelyginiai k, amplitudė 8A/(π²k²).
  • A aukščio ir pildymo koeficiento D impulsų seka: vidurkis A·D, harmonikos (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Savikontrolė Stačiakampė banga kinta tarp −2 ir +2. Kokia jos trečiosios harmonikos amplitudė?
  1. 0,283
  2. 0,424
  3. 0,849
  4. 2,546

Atsakymas: 0,849. 4A/(kπ) = 8/(3π) = 0,849. 2,546 yra pagrindinė harmonika, 0,283 dalija iš k² kaip trikampei bangai, o 0,424 naudoja 2A/(kπ), bangos nuo 0 iki A formulę.

6Dažnos klaidos

  • Dviejų signalų daugyba atskaita po atskaitos vietoj sąsūkos.
  • h stūmimas jo neapvertus; tai duoda koreliaciją, o ne sąsūką.
  • Impulsinės charakteristikos ir šuolio atsako painiojimas: šuolio atsakas yra h slenkančioji suma arba integralas.
  • Neteisingas harmonikų skaičiavimas: dedamoji ties k/T yra k-oji harmonika.
Savikontrolė x[n] = {1, 2} ir h[n] = {1, 1}, abi nuo n = 0. Kam lygus y[1]?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Atsakymas: 3. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1 + 2 = 3. Atskaitų sandauga atskaita po atskaitos x[1]·h[1] duoda tik 2.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengva: diskrečioji sąsūka. Randate vieną išėjimo atskaitą, didžiausią atskaitą, visų atskaitų sumą, pirmąjį ar paskutinį y indeksą, FIR filtro išėjimą arba atsaką į šuolį.
  • Vidutinė: tolydžioji sąsūka. Randate y(t) tam tikru laiku dviem impulsams, eksponentei su šuoliu ar impulsu arba dviem eksponentėms, taip pat y plotą, pradžią, pabaigą ar trukmę.
  • Sunki: impulsinės charakteristikos ir Furjė eilutės. Randate pirmosios eilės diferencialinės lygties h(t), rekursijos h[n] ar šuolio atsaką, sinusoidės stiprinimą ar fazę arba stačiakampės, trikampės ar impulsų bangos harmoniką.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

Sekos x[n] = {4, −3, −2} ir h[n] = {3, 1} abi prasideda nuo n = 0. Raskite sąsūkos y[n] = x[n] ∗ h[n] atskaitą y[1].

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

Raskite y[1]

Rodyti užuominas
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. Kai n = 1, nariai yra k = 0, 1.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Diskrečioji sąsūka: tiesinės laiko atžvilgiu nekintančios sistemos išėjimas yra y[n] = Σk x[k]·h[n − k]: apverskite h, pastumkite per n, padauginkite atskaitą po atskaitos su x ir sudėkite. Jei x turi Lx atskaitų, prasidedančių nuo nx, o h turi Lh atskaitų, prasidedančių nuo nh, tai y turi Lx + Lh − 1 atskaitų, prasidedančių nuo nx + nh. Visų y atskaitų suma lygi (Σx)·(Σh). FIR filtras y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … yra sąsūka su h[n] = bn.

Sumos nariai

Prisideda tik tie k, kuriems egzistuoja ir x[k], ir h[n − k].

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

Sudėkite

y[1] = −5

Atsakymas

y[1] = −5
Pavyzdys 2Vidutinis
x(t)t11h(t)t1

Impulsas x(t) = 1, kai 0 ≤ t < 1 s (kitur nulis), paduodamas į sistemą, kurios h(t) = e−2tu(t). Raskite išėjimą y(2,5), kai t = 2,5 s, jau pasibaigus impulsui.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−2tu(t)t = 2,5 s

Raskite y(2.5)

Rodyti užuominas
  1. Impulsą užrašykite kaip šuolį ties t = 0 minus šuolį ties t = 1 s.
  2. Šuolio atsakas yra (A/a)(1 − e−at).
  3. Po impulso: y(t) = y(1)·e−a(t − 1).
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Tolydžioji sąsūka: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Apverskite h, pastumkite į padėtį t ir suintegruokite persidengiančių dalių sandaugą. Priežastiniams signalams integralas skaičiuojamas nuo 0 iki t. Naudingi rezultatai: y plotas lygus x ploto ir h ploto sandaugai; jei x trunka nuo t₁ iki t₂, o h nuo t₃ iki t₄, tai y trunka nuo t₁ + t₃ iki t₂ + t₄. Kai h(t) = e−atu(t), o šuolio aukštis A, y(t) = (A/a)(1 − e−at).

Išėjimas impulso pabaigoje

y(1) = (1/2)(1 − e−2) = 0,4323

Mažėjimas po impulso

y(2,5) = 0,4323·e−2·1,5 = 0,02152

Atsakymas

y(2,5) = 0,02152
Pavyzdys 3Sunkus
δ(t)y′ + 5y = 3xh(t)

Sistema tenkina y′(t) + 5·y(t) = 3·x(t). Raskite jos impulsinę charakteristiką, kai t = 0,05 s, h(0,05).

y′ + 5y = 3xt = 0,05 s

Raskite h(0.05)

Rodyti užuominas
  1. Atlikite Laplaso transformacijas su nuliniais pradinėmis sąlygomis: (s + 5)Y(s) = 3X(s).
  2. H(s) = 3/(s + 5).
  3. h(t) = 3·e−5tu(t).
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Impulsinė charakteristika ir Furjė eilutė: impulsinė charakteristika h(t) visiškai aprašo LTI sistemą: lygčiai y′ + a·y = b·x ji yra h(t) = b·e−atu(t), o lygčiai y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] ji yra h[n] = b·aⁿu[n]. Sinusoidė cos ωt praeina su stiprinimu |H(jω)| ir faze ∠H(jω), kur H yra h Furjė transformacija. Periodinis signalas yra harmonikų, kurių dažnis k/T, suma: ±A stačiakampė banga turi tik nelygines harmonikas, kurių amplitudės 4A/(kπ), A pikinės vertės trikampė banga turi 8A/(π²k²), o A aukščio ir pildymo koeficiento D impulsų seka turi vidurkį A·D ir harmonikas (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.

Perdavimo funkcija

H(s) = Y(s)/X(s) = 3/(s + 5)

Impulsinė reakcija

h(t) = 3·e−5tu(t)
h(0,05) = 3·e−0,25 = 2,336

Atsakymas

h(0,05) = 2,336

Klausimai ir atsakymai

Sąsūka ir LTI sistemos: kas tai?

Bet kurį įėjimą galima laikyti eile padidintų ar sumažintų, pastumtų smūgių. Kiekvienas smūgis sukuria h kopiją, padidintą ar sumažintą ir pastumtą, o išėjimas yra visų kopijų suma. Ta suma yra sąsūka y = x ∗ h.

Sąsūka atsiranda visur, kur sistema turi atmintį: filtruose, jutikliuose, konstrukcijose, grandinėse ir signalo išsiskleidime laike.

Sąsūka ir LTI sistemos: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
  1. Nubraižykite abu signalus ir pažymėkite, kur kiekvienas nelygus nuliui.
  2. Apverskite h ir stumkite: kiekvienam išėjimo laikui raskite sritį, kurioje abu signalai persidengia.
  3. Dauginkite ir sudėkite (diskrečiuoju atveju) arba dauginkite ir integruokite (tolydžiuoju atveju) tik toje persidengimo srityje.
  4. Patikrinkite rezultatą: išėjimas prasideda pradžios laikų suma, baigiasi pabaigos laikų suma, o jo plotas ar suma lygi įėjimų plotų ar sumų sandaugai.
Sąsūka ir LTI sistemos: kokios klaidos dažniausios?
  • Dviejų signalų daugyba atskaita po atskaitos vietoj sąsūkos.
  • h postūmis jo neapvertus, o tai duoda koreliaciją.
  • Šuolio atsako formulės naudojimas ten, kur klausiama impulsinės charakteristikos, arba atvirkščiai.
  • Neteisingas harmonikos numerio skaičiavimas: dedamoji ties k/T yra k-oji harmonika.
Sąsūka ir LTI sistemos: ką lavinsite?
  • Lengvas: diskrečioji sąsūka
  • Vidutinis: tolydžioji sąsūka
  • Sunkus: impulsinė charakteristika ir Furjė eilutė

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Integralai

Kursai su šia tema

Signalai ir sistemosInžinerinė matematika 2

Daugiau temų: Elektros inžinerija

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiSuperpozicijaTeveninas ir NortonasMazgų potencialų metodasKontūrų srovių metodasRC ir RL pereinamieji procesaiKintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiKintamosios srovės galia ir galios koeficientasLC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisTrifazė galiaTransformatoriaiNuolatinės srovės varikliaiOperacinių stiprintuvų grandinėsDiodai ir tranzistoriaiDC-DC keitikliaiSkaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiVitstouno tiltas ir tenzojutikliaiDuomenų kaupimas ir diskretizavimasLaplaso transformacijosStruktūrinės schemosŠuolinė reakcijaBode grafikai ir atsargosStabilumas: Rauso–Hurvico kriterijus ir šaknų geometrinė vietaNusistovėjusioji paklaida ir PID valdymas

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Sąsūka ir LTI sistemos su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Sąsūka ir LTI sistemosPraktikuokitės dabar: Sąsūka ir LTI sistemosKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.