LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: savasis dažnis, Q ir energija, nuoseklusis ir lygiagretusis RLC, projektavimas, nuostoliai ir slopimas.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
C = ?L = 4,7 mH

LC grandinė, kurios L = 4,7 mH, turi rezonuoti ties 50 kHz. Raskite talpą C nF.

L = 4,7 mHf0 = 50 kHz
nF
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisPraktikuokitės dabar: LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvassavasis dažnis, Q ir energija
  2. Vidutinisnuoseklusis ir lygiagretusis RLC
  3. Sunkusprojektavimas, nuostoliai ir slopimas

Kaip spręsti uždavinius tema LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

  1. Pirmiausia raskite rezonansinį dažnį: ω₀ = 1/√(LC) ir f₀ = ω₀/(2π).
  2. Nuspręskite, ar grandinė nuosekliojo, ar lygiagrečiojo jungimo: nuosekliojo Q = (1/R)√(L/C), lygiagrečiojo Q = R√(C/L).
  3. Juostos plotį skaičiuokite BW = f₀/Q arba trumpesnėmis formulėmis R/(2πL) (nuoseklusis) ir 1/(2πRC) (lygiagretusis).
  4. Energijos uždaviniuose naudokite tai, kad idealioje LC grandinėje visa energija ½CV₀² išlieka pastovi ir kas ketvirtį periodo persikelia tarp C ir L.

Dažnos klaidos

  • ω₀ (rad/s) ir f₀ (Hz) painiojimas: jie skiriasi 2π karto.
  • Nuosekliojo jungimo Q formulės taikymas lygiagrečiojoje grandinėje, kur didesnė R reiškia didesnį Q.
  • f₀ laikymas esančiu per vidurį tarp f₁ ir f₂: jis lygus jų geometriniam vidurkiui √(f₁f₂).
  • Pamirštama µH, nF ir pF paversti H ir F.

Pagrindinės formulės

Savasis dažnis
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Energija
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Didžiausia srovė
Imax = V0√(C/L)
Kokybės faktorius
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Nuoseklusis RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Lygiagretusis RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Juostos plotis
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Pusinės galios dažniai
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Virpesių kontūras su ritės varža r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Amplitudės slopimas
e−Rt/(2L)

Išmokite LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis nuo nulio

Prieš tai: Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

1Kas vyksta LC grandinėje

Įkraukite kondensatorių ir prijunkite jį prie induktyvumo ritės. Kondensatorius per ritę varo srovę. Srovė sukuria magnetinį lauką, o kai kondensatorius išsikrauna, laukas palaiko srovę, todėl kondensatorius įkraunamas priešinga kryptimi. Tada viskas vyksta atgal.

C+−Li

Energija svyruoja tarp C elektrinio lauko (½Cv²) ir L magnetinio lauko (½Li²), kaip švytuoklė svyruoja tarp aukščio ir greičio. Be varžos visa energija ½CV0² išlieka pastovi.

Savikontrolė Kai kondensatoriaus įtampa lygi nuliui, kur yra idealios LC grandinės energija?
  1. Ji prarasta šilumos pavidalu
  2. Pusė C ir pusė L
  3. Visa induktyvumo ritėje, o srovė didžiausia
  4. Visa kondensatoriuje

Atsakymas: Visa induktyvumo ritėje, o srovė didžiausia. Kai v = 0, kondensatoriuje sukaupta ½Cv² = 0, taigi visa energija yra ½Li² induktyvumo ritėje: srovė didžiausia. Idealioje grandinėje varžos nėra, todėl nieko neprarandama.

2Savasis dažnis

Grandinė virpa dažniu, kuriam esant L ir C reaktyviosios varžos lygios, ωL = 1/(ωC):

ω0 = 1/√(LC) f0 = ω0/(2π) = 1/(2π√(LC))

Kai L = 10 mH ir C = 1 µF: LC = 10⁻⁸ s², ω0 = 10 000 rad/s ir f0 = 1592 Hz. Energija iš C į L pereina per ketvirtį periodo T = 1/f0.

Energija taip pat duoda didžiausią srovę: ½CV0² = ½LImax², todėl Imax = V0√(C/L).

Savikontrolė Kas atsitinka su f0, kai C padvigubinama?
  1. Ji padvigubėja
  2. Ji sumažėja perpus
  3. Jis padidėja √2 karto
  4. Jis sumažėja iki f0/√2, apie 0,71·f0

Atsakymas: Jis sumažėja iki f0/√2, apie 0,71·f0. f0 proporcingas 1/√C, todėl padvigubinus C jis dalijamas iš √2. Perpus jis sumažėja tik tada, kai C yra keturis kartus didesnis.

3Kokybės faktorius ir juostos plotis

Realiose grandinėse energija prarandama varžoje. Kokybės faktorius Q palygina sukauptą energiją su nuostoliais: Q = 2π·(sukaupta energija)/(per ciklą prarasta energija). Didelis Q duoda staigią rezonanso smailę.

f|I|0,707f0​f1​f2​BW

Juostos plotis yra smailės plotis tarp pusinės galios dažnių f1 ir f2, kuriuos esant srovė yra 0,707 savo didžiausios vertės:

BW = f2 − f1 = f0/Q f0 = √(f1·f2)
  • Nuoseklusis RLC: Q = (1/R)·√(L/C) ir BW = R/(2πL). Maža nuosekliai jungta varža duoda didelį Q.
  • Lygiagretusis RLC: Q = R·√(C/L) ir BW = 1/(2πRC). Didelė lygiagrečiai jungta varža duoda didelį Q.

4Metodas žingsnis po žingsnio

  1. L ir C paverskite H ir F, tada raskite ω0 = 1/√(LC) ir f0 = ω0/(2π).
  2. Nuspręskite, ar R jungta nuosekliai, ar lygiagrečiai, ir Q skaičiuokite pagal atitinkamą formulę.
  3. Raskite juostos plotį BW = f0/Q.
  4. Pusinės galios dažniams naudokite f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)); kai Q didelis, f0 ∓ BW/2 yra artima vertė.

5Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Nuosekliojo RLC grandinės R = 10 Ω, L = 10 mH ir C = 1 µF. Raskite jos rezonansinį dažnį, kokybės faktorių, juostos plotį ir pusinės galios dažnius.

1

Panagrinėkite grandinę

RLC

Visomis trimis dalimis teka ta pati srovė, taigi tai nuosekli grandinė.

2

Rezonansinis dažnis

f0 = 1/(2π√(0,01·10⁻⁶)) = 1/(2π·10⁻⁴) = 1592 Hz
3

Kokybės faktorius

Q = (1/10)·√(0,01/10⁻⁶) = (1/10)·100 = 10
4

Juostos plotis

BW = f0/Q = 1592/10 = 159,2 Hz

Patikra: R/(2πL) = 10/(2π·0,01) = 159,2 Hz.

5

Pusinės galios dažniai

f1,2 = 1592·(√(1 + 1/400) ∓ 0,05) = 1514 Hz ir 1673 Hz

Patikra: 1673 − 1514 = 159 Hz, o √(1514·1673) = 1592 Hz.

Atsakymas

f0 = 1,59 kHz, Q = 10, BW = 159 Hz, f1 = 1,51 kHz ir f2 = 1,67 kHz.

6Dažnos klaidos

  • ω0 rad/s ir f0 Hz painiojimas: jie skiriasi 2π karto.
  • Nuosekliojo jungimo Q formulės taikymas lygiagrečiojoje grandinėje.
  • f0 laikymas esančiu per vidurį tarp f1 ir f2: jis lygus jų geometriniam vidurkiui.
  • Pamirštama mH, µH, nF ir pF paversti H ir F.
Savikontrolė Lygiagrečiosios RLC grandinės R = 10 kΩ, L = 10 mH ir C = 1 µF. Kam lygus jos Q?
  1. 0,01
  2. 10 000
  3. 100
  4. 1

Atsakymas: 100. Lygiagrečiai Q = R·√(C/L) = 10 000·√(10⁻⁴) = 100. Nuosekliojo jungimo formulė (1/R)·√(L/C) duoda 0,01, o praleidus šaknį gaunama 1.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvi: savasis dažnis, Q ir energija. Randate f0 arba C duotam f0, juostos plotį pagal Q ar Q pagal juostos plotį, sukauptą energiją ar didžiausią srovę.
  • Vidutiniai: nuoseklusis ir lygiagretusis RLC. Randate nuosekliojo ar lygiagrečiojo kontūro Q ar juostos plotį, tikslų pusinės galios dažnį, laiką, per kurį energija pereina iš C į L, ar energiją L esant tam tikrai kondensatoriaus įtampai.
  • Sunkūs: projektavimas, nuostoliai ir slopimas. Parenkate R juostos pločiui ar C filtrui, randate per ciklą prarastą energiją, virpesių kontūro dinaminę varžą, ciklų skaičių, per kurį amplitudė sumažėja perpus, ar Q pagal du pusinės galios dažnius.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
C = ?L = 47 µH

LC grandinė, kurios L = 47 µH, turi rezonuoti ties 500 kHz. Raskite talpą C nF.

L = 47 µHf0 = 500 kHz

Raskite C (nF)

Rodyti užuominas
  1. f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. C = 1/(ω₀²·L).
  3. ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

LC rezonansas: įkrautas kondensatorius, prijungtas prie induktyvumo ritės, varo srovę, kuri jį įkrauna priešinga kryptimi: energija svyruoja tarp C elektrinio lauko (½Cv²) ir L magnetinio lauko (½Li²) savuoju dažniu f0 = 1/(2π√(LC)). Be varžos visa energija ½CV0² išlieka pastovi, todėl didžiausia srovė yra Imax = V0√(C/L). Vienas periodas yra T = 1/f0; energija iš C į L pereina per ketvirtį jo.

Kampinis dažnis

ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s

Talpa

C = 1/(ω₀²L) = 1/(9,87 × 10¹²·4,7 × 10⁻⁵) = 2,156 × 10⁻⁹ F = 2,156 nF

Atsakymas

C = 2,156 nF
Pavyzdys 2Vidutinis
V2 Ω2,2 mH220 nF

Nuosekliojo RLC grandinės R = 2 Ω, L = 2,2 mH ir C = 220 nF. Raskite jos juostos plotį BW vienetais Hz.

R = 2 ΩL = 2,2 mHC = 220 nF

Raskite BW (Hz)

Rodyti užuominas
  1. Juostos plotis yra f₀/Q.
  2. Nuosekliajam RLC tai supaprastėja iki BW = R/(2πL): C iškrenta.
  3. R/L = 909,1 rad/s.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Kokybės faktorius ir juostos plotis: rezonansinėje grandinėje Q = 2π·(sukaupta energija)/(per ciklą prarasta energija). Nuosekliajam RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); lygiagrečiajam RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Juostos plotis tarp pusinės galios dažnių f1 ir f2 (kuriuos esant galia yra perpus mažesnė, o srovė ar įtampa – 1/√2 didžiausios vertės) yra BW = f2 − f1 = f0/Q, t. y. R/(2πL) nuosekliajame ir 1/(2πRC) lygiagrečiajame jungime. Rezonansinis dažnis yra geometrinis vidurkis f0 = √(f1f2), o f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Nuostoliai taip pat slopina virpesius: nuosekliajame RLC amplitudė mažėja kaip e−Rt/(2L).

Juostos plotis rad/s

R/L = 2/0,0022 = 909,1 rad/s

Juostos plotis Hz

BW = 909,1/(2π) = 144,7 Hz = 144,7 Hz

Atsakymas

BW = 144,7 Hz

Kai f₀ = 7,234 kHz, gaunama Q = 50.

Pavyzdys 3Sunkus
C = 10 nFr = 0,5 ΩL = 47 µH

Lygiagretusis virpesių kontūras sudarytas iš 10 nF kondensatoriaus ir 47 µH ritės, kurios apvijos varža 0,5 Ω. Rezonanso metu jis elgiasi kaip rezistorius, jo dinaminė varža RD = L/(C·r). Raskite RD kΩ.

L = 47 µHC = 10 nFr = 0,5 Ω

Raskite RD (kΩ)

Rodyti užuominas
  1. Rezonanso metu kontūras ima tik mažą srovę, todėl jo varža didelė.
  2. RD = L/(C·r) = Q²·r.
  3. L/C = 4700 Ω².
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Kokybės faktorius ir juostos plotis: rezonansinėje grandinėje Q = 2π·(sukaupta energija)/(per ciklą prarasta energija). Nuosekliajam RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); lygiagrečiajam RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Juostos plotis tarp pusinės galios dažnių f1 ir f2 (kuriuos esant galia yra perpus mažesnė, o srovė ar įtampa – 1/√2 didžiausios vertės) yra BW = f2 − f1 = f0/Q, t. y. R/(2πL) nuosekliajame ir 1/(2πRC) lygiagrečiajame jungime. Rezonansinis dažnis yra geometrinis vidurkis f0 = √(f1f2), o f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Nuostoliai taip pat slopina virpesius: nuosekliajame RLC amplitudė mažėja kaip e−Rt/(2L).

Dinaminė varža

RD = 4,7 × 10⁻⁵/(1 × 10⁻⁸·0,5) = 9400 Ω = 9,4 kΩ

Patikra pagal Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 137,1, Q²·r = 9400 Ω

Atsakymas

RD = 9,4 kΩ

Klausimai ir atsakymai

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis: kas tai?

Įkraukite kondensatorių ir prijunkite jį prie induktyvumo ritės. Kondensatorius per ritę varo srovę. Srovė sukuria magnetinį lauką, o kai kondensatorius išsikrauna, laukas palaiko srovę, todėl kondensatorius įkraunamas priešinga kryptimi. Tada viskas vyksta atgal.

Energija svyruoja tarp C elektrinio lauko (½Cv²) ir L magnetinio lauko (½Li²), kaip švytuoklė svyruoja tarp aukščio ir greičio. Be varžos visa energija ½CV0² išlieka pastovi.

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
  1. Pirmiausia raskite rezonansinį dažnį: ω₀ = 1/√(LC) ir f₀ = ω₀/(2π).
  2. Nuspręskite, ar grandinė nuosekliojo, ar lygiagrečiojo jungimo: nuosekliojo Q = (1/R)√(L/C), lygiagrečiojo Q = R√(C/L).
  3. Juostos plotį skaičiuokite BW = f₀/Q arba trumpesnėmis formulėmis R/(2πL) (nuoseklusis) ir 1/(2πRC) (lygiagretusis).
  4. Energijos uždaviniuose naudokite tai, kad idealioje LC grandinėje visa energija ½CV₀² išlieka pastovi ir kas ketvirtį periodo persikelia tarp C ir L.
LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis: kokios klaidos dažniausios?
  • ω₀ (rad/s) ir f₀ (Hz) painiojimas: jie skiriasi 2π karto.
  • Nuosekliojo jungimo Q formulės taikymas lygiagrečiojoje grandinėje, kur didesnė R reiškia didesnį Q.
  • f₀ laikymas esančiu per vidurį tarp f₁ ir f₂: jis lygus jų geometriniam vidurkiui √(f₁f₂).
  • Pamirštama µH, nF ir pF paversti H ir F.
LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis: ką lavinsite?
  • Lengvas: savasis dažnis, Q ir energija
  • Vidutinis: nuoseklusis ir lygiagretusis RLC
  • Sunkus: projektavimas, nuostoliai ir slopimas

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Skaičiuoklės

Rezonansinio dažnio skaičiuoklė (LC ir RLC)

Kursai su šia tema

Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės

Daugiau temų: Elektros inžinerija

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiSuperpozicijaTeveninas ir NortonasMazgų potencialų metodasKontūrų srovių metodasRC ir RL pereinamieji procesaiKintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiKintamosios srovės galia ir galios koeficientasTrifazė galiaTransformatoriaiNuolatinės srovės varikliaiOperacinių stiprintuvų grandinėsDiodai ir tranzistoriaiDC-DC keitikliaiSkaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiVitstouno tiltas ir tenzojutikliaiDuomenų kaupimas ir diskretizavimasLaplaso transformacijosStruktūrinės schemosŠuolinė reakcijaBode grafikai ir atsargosStabilumas: Rauso–Hurvico kriterijus ir šaknų geometrinė vietaNusistovėjusioji paklaida ir PID valdymasSąsūka ir LTI sistemos

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisPraktikuokitės dabar: LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.