Bode grafikai ir atsargos: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Bode grafikai ir atsargos su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: filtrai ir asimptotės, modulis ir fazė, stabilumo atsargos.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
vin​C = 4,7 nFR = 10 kΩvout​

Raskite parodyto RC aukštųjų dažnių filtras lūžio (−3 dB) dažnį fc, kai R = 10 kΩ, C = 4,7 nF. Pateikite Hz.

R = 10 kΩC = 4,7 nF
Hz
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Bode grafikai ir atsargosPraktikuokitės dabar: Bode grafikai ir atsargosKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvasfiltrai ir asimptotės
  2. Vidutinismodulis ir fazė
  3. Sunkusstabilumo atsargos

Išmokite Bode grafikai ir atsargos nuo nulio

Prieš tai: Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai, Laplaso transformacijos

1Ką rodo Bode diagrama

Paduokite sinusoidę į filtrą ar stiprintuvą, ir išeis to paties dažnio sinusoidė. Pasikeičia tik du dalykai: jos dydis ir laikas.

tvvin​vout​

Stiprinimas |H| yra išėjimo amplitudės ir įėjimo amplitudės santykis. Fazė φ yra tai, kiek išėjimas pasislinkęs, laipsniais. Neigiama fazė reiškia, kad išėjimas atsilieka.

Abu priklauso nuo dažnio. Bode diagrama juos braižo prieš dažnį: stiprinimas decibelais viršuje, fazė apačioje. Dažnio ašis logaritminė, todėl kiekviena dekada (×10) užima tokį patį plotį.

Decibelai santykį paverčia skaičiumi, kurį galima sudėti:

|H|dB = 20·log₁₀|H|
  • Stiprinimas 1 yra 0 dB, 10 yra 20 dB, 100 yra 40 dB, o 0,1 yra −20 dB.
  • Stiprinimas 1/√2 ≈ 0,707 yra −3 dB. Tai filtro pralaidumo juostos riba.
Savikontrolė Stiprintuvo stiprinimas yra 100. Koks jo stiprinimas decibelais?
  1. 100 dB
  2. 2 dB
  3. 20 dB
  4. 40 dB

Atsakymas: 40 dB. 20·log₁₀(100) = 20·2 = 40 dB. 20 dB naudoja 10·log₁₀, kuris skirtas galių santykiams, o ne įtampoms. 2 yra tik log₁₀(100).

2Pirmos eilės filtrai

Rezistorius su kondensatoriumi ar induktyvumu sudaro paprasčiausią filtrą. Žemųjų dažnių filtras praleidžia žemus dažnius ir susilpnina aukštus. Aukštųjų dažnių filtras daro priešingai.

vin​RCvout​vin​CRvout​

RC žemųjų dažnių filtre (kairėje) išėjimas yra ant kondensatoriaus. RC aukštųjų dažnių filtre (dešinėje) jis yra ant rezistoriaus. Su induktyvumu žemųjų dažnių filtro išėjimas yra ant R, o aukštųjų dažnių filtro – ant L.

Pokytis vyksta apie ribinį dažnį, kur stiprinimas yra −3 dB. Jis tas pats žemųjų ir aukštųjų dažnių versijoje:

ωc = 1/(R·C) ωc = R/L fc = ωc/(2π)

ωc yra rad/s, o fc – Hz. Pirmiausia R, C ir L išreikškite bazinais vienetais: Ω, F ir H.

0−20−40dB−20 dB/dec−3 dB0°−45°−90°−45°0,010,1110100ω/ωc​

Diagrama rodo žemųjų dažnių filtrą. Žemiau ωc stiprinimas yra apie 0 dB. Virš jo stiprinimas krenta 20 dB per dekadą. Fazė keičiasi nuo 0° iki −90° ir ties riba yra −45°.

Esant bet kuriam dažniui, kai santykis x = f/fc = ω/ωc:

  • Žemųjų dažnių: |H| = 1/√(1 + x²) ir φ = −atan x.
  • Aukštųjų dažnių: |H| = x/√(1 + x²) ir φ = 90° − atan x.
Išspręstas pavyzdys

Raskite RL aukštųjų dažnių filtro, kai R = 470 Ω ir L = 47 mH, ribinį dažnį fc.

1

Bazinis vienetai

L = 47 mH = 0,047 H
2

Riba rad/s

ωc = R/L = 470/0,047 = 10 000 rad/s
3

Riba Hz

fc = 10 000/(2π) = 1592 Hz
Atsakymas

fc ≈ 1592 Hz (ωc = 10 000 rad/s).

Savikontrolė RC žemųjų dažnių filtro R = 1 kΩ ir C = 1 µF. Koks jo ribinis dažnis fc?
  1. 1000 Hz
  2. 159 Hz
  3. 159 kHz
  4. 6283 Hz

Atsakymas: 159 Hz. ωc = 1/(1000·0,000001) = 1000 rad/s, taigi fc = 1000/(2π) = 159 Hz. 1000 yra ωc rad/s, o ne Hz. 6283 dauginama iš 2π, o 159 kHz pamiršta k prie kΩ.

3Tiesiasluoksnės Bode diagramos

Perdavimo funkcijos G(s) amplitudę galima nubraižyti tiesėmis. Kiekvienas daugiklis keičia nuolydį ties savo ribiniu dažniu.

  • Poliaus daugiklis (s + p) vardiklyje lenkia liniją žemyn 20 dB/dekadą nuo ω = p.
  • Nulio daugiklis (s + z) skaitiklyje lenkia ją aukštyn 20 dB/dekadą nuo ω = z.
  • Daugiklis s vardiklyje (integratorius) duoda −20 dB/dekadą esant bet kuriam dažniui ir −90° fazės.
  • Be integratoriaus diagrama prasideda plokščia ties nuolatinės srovės stiprinimu G(0), paverstu dB.
200−20−40−60dB0−20−401101001000ω

Paveiksle G(s) = 10 000/((s + 10)(s + 100)). G(0) = 10 000/1000 = 10, taigi diagrama prasideda ties 20 dB. Ji lenkiasi iki −20 dB/dekadą ties 10 rad/s ir iki −40 dB/dekadą ties 100 rad/s.

Nuolydžiui juostoje rasti pradėkite nuo −20 dB/dekadą kiekvienam integratoriui, tada pridėkite −20 už kiekvieną poliaus ribą ir +20 už kiekvieną nulio ribą žemiau tos juostos.

Savikontrolė G(s) = 20(s + 50)/(s(s + 5)). Koks tiesiasluoksnės diagramos nuolydis tarp 5 ir 50 rad/s?
  1. 0 dB/dekadą
  2. −20 dB/dekadą
  3. −40 dB/dekadą
  4. −60 dB/dekadą

Atsakymas: −40 dB/dekadą. Integratorius nuo pradžių duoda −20. Polius ties 5 prideda −20, taigi nuolydis tarp 5 ir 50 yra −40. Nulis ties 50 grąžina jį iki −20 virš 50. −60 nulį traktuoja kaip polių.

4Tikslios reikšmės esant vienam dažniui

Tiesės yra eskizas. Tikslioms reikšmėms įrašykite s = jω. Kiekvienas daugiklis (jω + a) yra kompleksinis skaičius, kurio:

|jω + a| = √(ω² + a²) ∠(jω + a) = atan(ω/a)

G modulis yra skaitiklio modulių sandauga, padalyta iš vardiklio modulių sandaugos. Fazė yra skaitiklio kampų suma minus vardiklio kampų suma.

Pavyzdys: G(s) = 150/((s + 3)(s + 4)), kai ω = 4 rad/s. |j4 + 3| = 5 ir |j4 + 4| = 5,657, taigi |G| = 150/28,28 = 5,30, tai yra 14,5 dB.

Fazė yra −atan(4/3) − atan(4/4) = −53,1° − 45° = −98,1°.

Nuosekli RLC grandinė su išėjimu ant R yra juostinis filtras. Jis praleidžia dažnius arti rezonansinio dažnio ω₀ = 1/√(LC). Juostos plotis yra BW = R/L rad/s, o kokybės faktorius Q = ω₀/BW.

  1. Užrašykite G(s) arba H(jω). RC ar RL filtrui pirmiausia raskite ωc ir santykį x = ω/ωc.
  2. Kiekvienam daugikliui raskite jo modulį √(ω² + a²) ir kampą atan(ω/a).
  3. Modulius sudauginkite ir padalykite. Nulių kampus sudėkite, o polių atimkite; integratorius prideda −90°.
  4. Modulį paverskite dB pagal 20·log₁₀.
  5. Patikrinkite pagal tiesasluoksnį eskizą: tikslioji reikšmė turi būti arti jo ir vienoje ribinėje vietoje 3 dB žemiau.

5Išspręstas pavyzdys

Tai tipiškas vidutinio sunkumo klausimas. Išbandykite kiekvieną žingsnį, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

RC žemųjų dažnių filtro R = 10 kΩ ir C = 100 nF. Paduodama 480 Hz sinusoidė. Raskite stiprinimą |H| dB ir fazės poslinkį φ.

1

Lūžio dažnis

Naudokite bazinius vienetus: R = 10 000 Ω ir C = 0,0000001 F.

ωc = 1/(10 000·0,0000001) = 1000 rad/s
fc = 1000/(2π) = 159,2 Hz
2

Dažnių santykis

x = f/fc = 480/159,2 = 3,016

Įėjimas yra virš ribos, todėl tikėkitės ryškaus stiprinimo sumažėjimo.

3

Stiprinimas

|H| = 1/√(1 + 3,016²) = 1/3,177 = 0,315
20·log₁₀(0,315) = −10,0 dB
4

Fazė

Žemųjų dažnių filtras išėjimą priverčia atsilikti, todėl fazė neigiama.

φ = −atan(3,016) = −71,7°
5

Patikrinkite atsakymą

0−20−40dB−20 dB/dec−10,0 dB0,010,1110100ω/ωc​

Tiesė duoda −20·log₁₀(3,016) = −9,6 dB, arti tikslios −10,0 dB.

Atsakymas

|H| ≈ −10,0 dB ir φ ≈ −71,7°.

6Dažnos klaidos

  • Įtampos stiprinimui naudojamas 10·log₁₀. Signalų stiprinimui naudojamas 20·log₁₀.
  • Painiojami ω ir f. ωc = 1/(RC) yra rad/s; dalykite iš 2π, kad gautumėte Hz.
  • RL ribiniam dažniui naudojamas L/R. L/R yra laiko pastovioji; riba yra ωc = R/L.
  • Moduliai sudedami kaip ω + a. jω + a dydis yra √(ω² + a²).
  • Pamirštamas integratorius: 1/s duoda −20 dB/dekadą ir −90° esant bet kuriam dažniui.
  • Pateikiama tiesės reikšmė, kai klausiama tikslaus modulio.
Savikontrolė Koks G(s) = 400/((s + 2)(s + 5)) nuolatinės srovės stiprinimas dB?
  1. 16,0 dB
  2. 32,0 dB
  3. 40 dB
  4. 52,0 dB

Atsakymas: 32,0 dB. G(0) = 400/(2·5) = 40, o 20·log₁₀(40) = 32,0 dB. 16,0 dB naudoja 10·log₁₀. 40 yra santykis, o ne dB. 52,0 dB pamiršta vardiklyje įrašyti s = 0.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvi: filtrai ir asimptotės. RC ar RL filtro ribinis dažnis Hz arba rad/s, tiesiasluoksnės diagramos nuolydis juostoje arba nuolatinės srovės stiprinimas dB.
  • Vidutiniai: modulis ir fazė. Filtro stiprinimas dB ar fazė esant duotam dažniui, tikslus perdavimo funkcijos |G(jω)| ar ∠G(jω) arba RLC juostinio filtro f₀, BW ar Q.
  • Sunkūs: kontūro L(s) stabilumo atsargos, pavyzdžiui, 85/(s(s + 5)) ar K/(s(s + a)(s + b)).

Sunkiam lygiui reikia dviejų dažnių. Ties stiprinimo kirtimo dažniu ωc, |L(jω)| = 1 (0 dB). Ties fazės kirtimo dažniu ω180, ∠L(jω) = −180°.

PM = 180° + ∠L(jωc) GM = −20·log₁₀|L(jω180)|

L(s) = K/(s(s + a)(s + b)) fazės kirtimas yra ties ω180 = √(a·b). Kontūras stabilus, kai abi atsargos teigiamos.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
|H| (dB)0,11101001000−100−80−60−40−200ω (rad/s)

Raskite G(s) = 12/((s + 1)(s + 40)) žemųjų dažnių (nuolatinės srovės) stiprinimą decibelais, |G(0)| dB.

G(s) = 12/((s + 1)(s + 40))

Raskite |G(0)| (dB)

Rodyti užuominas
  1. Labai žemu dažniu s → 0.
  2. G(0) = 0,3.
  3. 20·log₁₀(0,3).
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Dažninė charakteristika: perdavimo funkcijoje įrašykite s = jω. Modulis decibelais yra 20·log₁₀|H(jω)|, o fazė yra skaitiklio dauginamųjų kampų suma minus vardiklio dauginamųjų kampų suma. Pirmos eilės RC ar RL filtras turi lūžio (−3 dB) dažnį ωc = 1/(RC) arba R/L, o fc = ωc/(2π); žemųjų dažnių filtras duoda |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) ir φ = −atan(ω/ωc). Asimptotiniame (tiesių atkarpų) Bode grafike kiekvienas polius sulenkia modulį žemyn 20 dB/dekadai ties savo lūžio dažniu, kiekvienas nulis sulenkia jį aukštyn 20 dB/dekadai, o integratorius 1/s visais dažniais duoda −20 dB/dekadai. Stiprinimo kirtimo dažnis ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fazės atsarga PM = 180° + ∠L(jωc). Fazės kirtimo dažnis ω180: ∠L(jω) = −180°; stiprinimo atsarga GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Uždaroji kilpa stabili, kai abi atsargos teigiamos.

Nuolatinės srovės stiprinimas

G(0) = 0,3

Decibelais

20·log₁₀(0,3) = −10,46 dB

Atsakymas

|G(0)| = −10,46 dB
Pavyzdys 2Vidutinis
vin​R = 1 kΩC = 1 nFvout​

Parodytas RC žemųjų dažnių filtras turi R = 1 kΩ, C = 1 nF. Taikoma sinusinė įvestis 1600 kHz. Raskite vout fazės poslinkį φ vin atžvilgiu laipsniais.

R = 1 kΩC = 1 nFf = 1600 kHz

Raskite φ (°)

Rodyti užuominas
  1. Pirmiausia raskite lūžio dažnį: fc = 159155 Hz.
  2. H(jω) = 1/(1 + jω/ωc)
  3. f/fc = 10,05.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Dažninė charakteristika: perdavimo funkcijoje įrašykite s = jω. Modulis decibelais yra 20·log₁₀|H(jω)|, o fazė yra skaitiklio dauginamųjų kampų suma minus vardiklio dauginamųjų kampų suma. Pirmos eilės RC ar RL filtras turi lūžio (−3 dB) dažnį ωc = 1/(RC) arba R/L, o fc = ωc/(2π); žemųjų dažnių filtras duoda |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) ir φ = −atan(ω/ωc). Asimptotiniame (tiesių atkarpų) Bode grafike kiekvienas polius sulenkia modulį žemyn 20 dB/dekadai ties savo lūžio dažniu, kiekvienas nulis sulenkia jį aukštyn 20 dB/dekadai, o integratorius 1/s visais dažniais duoda −20 dB/dekadai. Stiprinimo kirtimo dažnis ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fazės atsarga PM = 180° + ∠L(jωc). Fazės kirtimo dažnis ω180: ∠L(jω) = −180°; stiprinimo atsarga GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Uždaroji kilpa stabili, kai abi atsargos teigiamos.

Lūžio dažnis

ωc = 1/(RC) = 1/(1000·1 × 10⁻⁹) = 1000000 rad/s
fc = 159155 Hz → f/fc = 1,6 × 10⁶/159155 = 10,05

Fazė

φ = − atan(10,05) = −84,32°

Atsakymas

φ = −84,32°
Pavyzdys 3Sunkus
|H| (dB)0,10,111101010010010001000−60−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

Vienetinio grįžtamojo ryšio kilpos atvirosios kilpos perdavimo funkcija yra L(s) = 185/(s(s + 5)). Raskite fazės atsargą PM laipsniais.

L(s) = 185/(s(s + 5))

Raskite PM (°)

Rodyti užuominas
  1. |L(jω)| = 185/(ω·√(ω² + 25)) = 1 duoda ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0.
  2. Išspręskite kvadratinę lygtį x = ω² atžvilgiu: x = (−a² + √(a⁴ + 4K²))/2.
  3. ωc = 13,15 rad/s; ∠L = −90° − atan(ωc/5).
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Dažninė charakteristika: perdavimo funkcijoje įrašykite s = jω. Modulis decibelais yra 20·log₁₀|H(jω)|, o fazė yra skaitiklio dauginamųjų kampų suma minus vardiklio dauginamųjų kampų suma. Pirmos eilės RC ar RL filtras turi lūžio (−3 dB) dažnį ωc = 1/(RC) arba R/L, o fc = ωc/(2π); žemųjų dažnių filtras duoda |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) ir φ = −atan(ω/ωc). Asimptotiniame (tiesių atkarpų) Bode grafike kiekvienas polius sulenkia modulį žemyn 20 dB/dekadai ties savo lūžio dažniu, kiekvienas nulis sulenkia jį aukštyn 20 dB/dekadai, o integratorius 1/s visais dažniais duoda −20 dB/dekadai. Stiprinimo kirtimo dažnis ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fazės atsarga PM = 180° + ∠L(jωc). Fazės kirtimo dažnis ω180: ∠L(jω) = −180°; stiprinimo atsarga GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Uždaroji kilpa stabili, kai abi atsargos teigiamos.

Stiprinimo kirtimas

ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0
ω² = (−25 + √(625 + 4·34225))/2 = 172,9
ωc = 13,15 rad/s

Fazės atsarga

∠L(jωc) = −90° − atan(13,15/5) = −159,2°
PM = 180° + ∠L = 20,82°

Atsakymas

PM = 20,82°

Klausimai ir atsakymai

Bode grafikai ir atsargos: kas tai?

Paduokite sinusoidę į filtrą ar stiprintuvą, ir išeis to paties dažnio sinusoidė. Pasikeičia tik du dalykai: jos dydis ir laikas.

Abu priklauso nuo dažnio. Bode diagrama juos braižo prieš dažnį: stiprinimas decibelais viršuje, fazė apačioje. Dažnio ašis logaritminė, todėl kiekviena dekada (×10) užima tokį patį plotį.

Bode grafikai ir atsargos: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?

Dažninė charakteristika: perdavimo funkcijoje įrašykite s = jω. Modulis decibelais yra 20·log₁₀|H(jω)|, o fazė yra skaitiklio dauginamųjų kampų suma minus vardiklio dauginamųjų kampų suma. Pirmos eilės RC ar RL filtras turi lūžio (−3 dB) dažnį ωc = 1/(RC) arba R/L, o fc = ωc/(2π); žemųjų dažnių filtras duoda |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) ir φ = −atan(ω/ωc). Asimptotiniame (tiesių atkarpų) Bode grafike kiekvienas polius sulenkia modulį žemyn 20 dB/dekadai ties savo lūžio dažniu, kiekvienas nulis sulenkia jį aukštyn 20 dB/dekadai, o integratorius 1/s visais dažniais duoda −20 dB/dekadai. Stiprinimo kirtimo dažnis ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fazės atsarga PM = 180° + ∠L(jωc). Fazės kirtimo dažnis ω180: ∠L(jω) = −180°; stiprinimo atsarga GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Uždaroji kilpa stabili, kai abi atsargos teigiamos.

Bode grafikai ir atsargos: kokios klaidos dažniausios?
  • Tai stiprinimas santykiu. Perskaičiuokite: 20·log₁₀(0,3).
  • Įtampos ar signalo santykiui naudokite 20·log₁₀, o ne 10·log₁₀ (tai galiai).
  • Kiekviename dauginamajame padėkite s = 0: G(0) = 0,3, o ne 12.
Bode grafikai ir atsargos: ką lavinsite?
  • Lengvas: filtrai ir asimptotės
  • Vidutinis: modulis ir fazė
  • Sunkus: stabilumo atsargos

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiLaplaso transformacijos

Skaičiuoklės

Decibelų skaičiuoklė (dB, dBm ir garso lygiai)Bode diagramos skaičiuoklė (stiprinimo ir fazės atsarga)

Kursai su šia tema

Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinėsValdymo inžinerija 1Signalai ir sistemosValdymo inžinerija 2: grįžtamojo ryšio valdymo projektavimasFE Electrical and Computer egzamino praktika

Daugiau temų: Elektros inžinerija

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiSuperpozicijaTeveninas ir NortonasMazgų potencialų metodasKontūrų srovių metodasRC ir RL pereinamieji procesaiKintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiKintamosios srovės galia ir galios koeficientasLC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisTrifazė galiaTransformatoriaiNuolatinės srovės varikliaiOperacinių stiprintuvų grandinėsDiodai ir tranzistoriaiDC-DC keitikliaiSkaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiVitstouno tiltas ir tenzojutikliaiDuomenų kaupimas ir diskretizavimasLaplaso transformacijosStruktūrinės schemosŠuolinė reakcijaStabilumas: Rauso–Hurvico kriterijus ir šaknų geometrinė vietaNusistovėjusioji paklaida ir PID valdymasSąsūka ir LTI sistemos

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Bode grafikai ir atsargos su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Bode grafikai ir atsargosPraktikuokitės dabar: Bode grafikai ir atsargosKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.