Nusistovėjusioji paklaida ir PID valdymas: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Nusistovėjusioji paklaida ir PID valdymas su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: sistemos tipas ir paklaidos konstantos, nusistovėjusiosios paklaidos ir stiprinimas, P, PI ir PD projektavimas.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
R(s)+10(s + 3)s(s + 1)(s + 4)C(s)−

Vienetinio grįžtamojo ryšio kontūro atvirojo kontūro perdavimo funkcija yra G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4)). Raskite greičio paklaidos konstantą Kv.

G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4))
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Nusistovėjusioji paklaida ir PID valdymasPraktikuokitės dabar: Nusistovėjusioji paklaida ir PID valdymasKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvassistemos tipas ir paklaidos konstantos
  2. Vidutinisnusistovėjusiosios paklaidos ir stiprinimas
  3. SunkusP, PI ir PD projektavimas

Kaip spręsti uždavinius tema Nusistovėjusioji paklaida ir PID valdymas

  1. Suskaičiuokite atvirojo kontūro C(s)·G(s) polius ties s = 0: tai yra sistemos tipas.
  2. Apskaičiuokite įėjimui tinkančią paklaidos konstantą: Kp šuoliui, Kv rampai, Ka parabolei.
  3. Taikykite ess = A/(1 + Kp), A/Kv arba A/Ka arba išspręskite jį reikiamam stiprinimui.
  4. Slopinimo ar greičio reikalavimui užrašykite uždarojo kontūro charakteristinį daugianarį ir sulyginkite jį su s² + 2ζω_n·s + ω_n².

Dažnos klaidos

  • Šuoliui naudoti A/Kp vietoj A/(1 + Kp).
  • Sulyginant koeficientus pamiršti objekto stiprinimą: kontūro stiprinimas yra K, padaugintas iš objekto stiprinimo.
  • Skaičiuojant sistemos tipą nepaisyti reguliatoriaus integratoriaus.
  • Tikėtis, kad vien proporcinis stiprinimas panaikins šuolio paklaidą 0 tipo kontūre.

Pagrindinės formulės

Sistemos tipas
G(s) polių ties s = 0 skaičius
Paklaidos konstantos
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
Šuolis A
ess = A/(1 + Kp)
Rampa A·t
ess = A/Kv
Parabolė A·t²/2
ess = A/Ka
PID reguliatorius
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
Antrosios eilės tikslas
s² + 2ζωns + ωn²
Viršijimas ir laiko rodikliai
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)

Išmokite Nusistovėjusioji paklaida ir PID valdymas nuo nulio

Prieš tai: Struktūrinės schemos, Šuolinė reakcija

1Komandos sekimas

Grįžtamojo ryšio kontūras lygina komandą r su išėjimu y ir veikia pagal paklaidą e = r − y. Idealiu atveju išėjimas galiausiai tiksliai pasiekia komandą.

Dažnai taip nebūna. Pasibaigus pereinamajam procesui gali likti skirtumas: nusistovėjusioji paklaida ess.

tyress​

Kokia didelė ess, priklauso nuo įėjimo tipo (šuolis, rampa ar parabolė) ir nuo to, kiek integratorių yra kontūre.

Savikontrolė Vienetinio grįžtamojo ryšio kontūras gauna r = 1, o jo išėjimas nusistovi ties y = 0,95. Kokia nusistovėjusioji paklaida?
  1. 0,05
  2. 0,95
  3. 1,95
  4. −0,05

Atsakymas: 0,05. ess = r − y = 1 − 0,95 = 0,05. Pats išėjimas yra 0,95, o ženklas teigiamas, nes išėjimas lieka žemiau komandos.

2Sistemos tipas ir paklaidos konstantos

Sistemos tipas yra atvirojo kontūro G(s) polių ties s = 0 skaičius, t. y. integratorių skaičius. G(s) = 10/(s(s + 5)) turi vieną, taigi tai 1 tipas.

Trys paklaidos konstantos apibendrina G(s) labai žemais dažniais (s → 0):

Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s)

Pagal galutinės reikšmės teoremą jos duoda paklaidą kiekvienam įėjimui:

šuolis A: A/(1 + Kp) rampa A·t: A/Kv parabolė A·t²/2: A/Ka
  • 0 tipas: baigtinė šuolio paklaida, begalinė rampos paklaida.
  • 1 tipas: nulinė šuolio paklaida, baigtinė rampos paklaida.
  • 2 tipas: nulinė šuolio ir rampos paklaida, baigtinė parabolės paklaida.
Savikontrolė Kam lygi G(s) = 10/(s(s + 5)) greičio paklaidos konstanta Kv?
  1. 0,5
  2. 10
  3. 2
  4. ∞

Atsakymas: 2. s·G(s) = 10/(s + 5), o tai yra 10/5 = 2, kai s = 0. Reikšmė 0,5 yra rampos paklaida 1/Kv, o ne konstanta.

3Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Užrašykite atvirąjį kontūrą: reguliatorius, padaugintas iš objekto, C(s)·G(s).
  2. Suskaičiuokite jo polius ties s = 0 ir gausite sistemos tipą.
  3. Pasirinkite įėjimui tinkančią paklaidos konstantą: Kp šuoliui, Kv rampai, Ka parabolei.
  4. Apskaičiuokite ribą: suprastinkite daugiklius s, tada į likusius įrašykite s = 0.
  5. Taikykite paklaidos formulę arba išspręskite ją stiprinimui, duodančiam reikiamą paklaidą.

Slopinimo ar greičio reikalavimui užrašykite uždarojo kontūro charakteristinį daugianarį ir sulyginkite jį su s² + 2ζωns + ωn².

4Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Vienetinio grįžtamojo ryšio kontūro G(s) = K/(s(s + 4)). Jis turi sekti rampą r(t) = 2t su 0,1 nusistovėjusiąja paklaida. Raskite K ir gautą slopinimo koeficientą.

1

Raskite sistemos tipą

r+eK1/(s(s + 4))y−

G(s) turi vieną polių ties s = 0, taigi kontūras yra 1 tipo: rampa duoda baigtinę paklaidą.

2

Greičio konstanta

Kv = lim s·G(s) = K/4
3

Reikiama Kv

Rampos nuolydis yra A = 2, taigi ess = 2/Kv = 0,1.

Kv = 2/0,1 = 20
4

Stiprinimas

K = 4·Kv = 80
5

Patikrinkite slopinimą

Charakteristinis daugianaris yra s² + 4s + 80, taigi ωn = √80 = 8,94 rad/s ir ζ = 4/(2·8,94) = 0,22.

Paklaidos reikalavimas įvykdytas, bet šuolio atsakas viršija maždaug 49 %. Dėl tokio kompromiso reguliatoriai yra daugiau nei vienas stiprinimas.

Atsakymas

K = 80, o tai duoda ζ = 0,22.

5P, PI ir PID reguliatoriai

PID reguliatorius derina tris veiksmus pagal paklaidą:

C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
  • Proporcinis (Kp): greitesnis kontūras ir mažesnė 0 tipo objekto paklaida, bet šuolio paklaida niekada nepasiekia nulio.
  • Integralinis (Ki/s): prideda polių ties s = 0, todėl tipas padidėja vienetu ir šuolis seka be paklaidos.
  • Diferencialinis (Kd·s): prideda slopinimo ir sumažina viršijimą.

Stiprinimams parinkti sulyginkite koeficientus. PI reguliatorius objektui G(s) = 2/(s + 3) duoda charakteristinį daugianarį s² + (3 + 2Kp)s + 2Ki. Kai ωn = 5 rad/s ir ζ = 0,8, tikslas yra s² + 8s + 25:

3 + 2Kp = 8 → Kp = 2,5, 2Ki = 25 → Ki = 12,5
Savikontrolė Į 0 tipo kontūro reguliatorių pridedamas integratorius. Kas atsitinka su nusistovėjusiąja paklaida vienetiniam šuoliui?
  1. Ji padidėja
  2. Ji sumažėja, bet nėra nulinė
  3. Ji tampa begaline
  4. Ji tampa nuline

Atsakymas: Ji tampa nuline. Integratorius kontūrą padaro 1 tipo, todėl Kp begalinis ir A/(1 + Kp) = 0. Vien didesnis proporcinis stiprinimas paklaidą tik sumažintų.

6Dažnos klaidos

  • Šuoliui naudoti A/Kp vietoj A/(1 + Kp).
  • Sulyginant koeficientus pamiršti objekto stiprinimą: kontūro stiprinimas yra reguliatoriaus stiprinimas, padaugintas iš objekto stiprinimo.
  • Skaičiuoti tik objekto integratorius ir praleisti PI reguliatoriaus integratorių.
  • Skaičiuojant Kv praleisti nulius: daugiklis (s + 3) ties s = 0 yra lygus 3.
Savikontrolė 5 dydžio šuolis paduodamas į 0 tipo kontūrą, kurio Kp = 9. Kokia nusistovėjusioji paklaida?
  1. 0,1
  2. 0,556
  3. 0,5
  4. 4,5

Atsakymas: 0,5. ess = 5/(1 + 9) = 0,5. Dalijant tik iš Kp gaunama 0,556, praleidus šuolio dydį – 0,1, o 4,5 yra galutinis išėjimas.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengva: sistemos tipas ir paklaidos konstantos. Randate perdavimo funkcijos tipą, Kp, Kv ar Ka, šuolio paklaidą arba kontūro su P valdymu galutinį išėjimą.
  • Vidutinė: nusistovėjusiosios paklaidos ir stiprinimas. Randate rampos, parabolės ar šuolio su rampa paklaidą arba stiprinimą, duodantį reikiamą paklaidą.
  • Sunki: P, PI ir PD projektavimas. Parenkate K slopinimo koeficientui, randate viršijimą, piko laiką ar nusistovėjimo trukmę duotam K, parenkate PI ar PD stiprinimus sulygindami koeficientus arba randate rampos paklaidą su PI reguliatoriumi.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
R(s)+2(s + 2)s²(s + 2)C(s)−

Vienetinio grįžtamojo ryšio kontūro atvirojo kontūro perdavimo funkcija yra G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2)). Raskite pagreičio paklaidos konstantą Ka.

G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2))

Raskite Ka

Rodyti užuominas
  1. K_a = lim s²·G(s), kai s → 0.
  2. s² sutrumpina dvigubą polių koordinačių pradžioje.
  3. Ka = 2·2/2.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Nusistovėjusioji paklaida: vienetinio grįžtamojo ryšio kontūre, kurio atvirojo kontūro perdavimo funkcija yra G(s), paklaida yra E(s) = R(s)/(1 + G(s)), o pagal galutinės reikšmės teoremą ess = lims→0 s·E(s). Sistemos tipas yra G(s) polių ties s = 0 skaičius. Paklaidos konstantos yra Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) ir Ka = lim s²·G(s), visos kai s → 0. A dydžio šuolis duoda ess = A/(1 + Kp), rampa A·t duoda A/Kv, o parabolė A·t²/2 duoda A/Ka. 0 tipo kontūras šuolį seka su baigtine paklaida, 1 tipo kontūras seka jį tiksliai, o rampą – su baigtine paklaida.

Pagreičio konstanta

s²·G(s) = 2(s + 2)/(s + 2)
Ka = 2·2/2 = 2

Atsakymas

Ka = 2
Pavyzdys 2Vidutinis
R(s)+K(s + 2)(s + 5)C(s)−

Vienetinio grįžtamojo ryšio kontūre G(s) = K/((s + 2)(s + 5)). Raskite stiprinimą K, su kuriuo šuolio įėjimo nusistovėjusioji paklaida yra 2 %.

G(s) = K/((s + 2)(s + 5))ess = 2 %

Raskite K

Rodyti užuominas
  1. Vienetiniam šuoliui e_ss = 1/(1 + K_p).
  2. Kp = G(0) = K/10.
  3. 1/(1 + K/10) = 0,02.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Nusistovėjusioji paklaida: vienetinio grįžtamojo ryšio kontūre, kurio atvirojo kontūro perdavimo funkcija yra G(s), paklaida yra E(s) = R(s)/(1 + G(s)), o pagal galutinės reikšmės teoremą ess = lims→0 s·E(s). Sistemos tipas yra G(s) polių ties s = 0 skaičius. Paklaidos konstantos yra Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) ir Ka = lim s²·G(s), visos kai s → 0. A dydžio šuolis duoda ess = A/(1 + Kp), rampa A·t duoda A/Kv, o parabolė A·t²/2 duoda A/Ka. 0 tipo kontūras šuolį seka su baigtine paklaida, 1 tipo kontūras seka jį tiksliai, o rampą – su baigtine paklaida.

Reikiama paklaidos konstanta

1/(1 + Kp) = 0,02 → Kp = 49

Stiprinimas

K/10 = 49 → K = 490

Atsakymas

K = 490

Patikrinkite ir uždarojo kontūro stabilumą: šiam antrosios eilės kontūrui stabilus bet koks K > 0.

Pavyzdys 3Sunkus
R(s)+K = 85s(s + 2)C(s)−

Proporcinis reguliatorius K = 8 valdo objektą G(s) = 5/(s(s + 2)) vienetinio grįžtamojo ryšio kontūre. Raskite šuolinės reakcijos 2 % nusistovėjimo laiką ts, naudodami ts ≈ 4/(ζωₙ).

G(s) = 5/(s(s + 2))K = 8

Raskite ts (s)

Rodyti užuominas
  1. Charakteristinis daugianaris yra s² + 2s + 40.
  2. ζωₙ yra pusė s koeficiento: 2/2 = 1.
  3. ts ≈ 4/(ζωₙ).
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

P, PI ir PID valdymas: reguliatorius C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s veikia pagal paklaidą. Proporcinis stiprinimas pagreitina kontūrą ir sumažina 0 tipo objekto paklaidą, bet niekada jos nepanaikina. Integralinis narys prideda polių ties s = 0: sistemos tipas padidėja vienetu, o šuolis seka be paklaidos. Diferencialinis narys prideda slopinimo. Norėdami parinkti stiprinimus, užrašykite uždarojo kontūro charakteristinį daugianarį ir palyginkite jį su s² + 2ζωns + ωn². Tuomet %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, kur ωd = ωn√(1 − ζ²), o ts ≈ 4/(ζωn).

Charakteristinis daugianaris

s(s + 2) + 8·5 = s² + 2s + 40

ωₙ ir ζ

ωₙ = √40 = 6,325 rad/s
ζ = 2/(2·6,325) = 0,1581

Nusistovėjimo laikas

ζωₙ = 2/2 = 1
ts ≈ 4/1 = 4 s

Atsakymas

ts = 4 s

Nusistovėjimo trukmė čia nuo K nepriklauso: didinant K atsakas tik greičiau svyruoja.

Klausimai ir atsakymai

Nusistovėjusioji paklaida ir PID valdymas: kas tai?

Grįžtamojo ryšio kontūras lygina komandą r su išėjimu y ir veikia pagal paklaidą e = r − y. Idealiu atveju išėjimas galiausiai tiksliai pasiekia komandą.

Dažnai taip nebūna. Pasibaigus pereinamajam procesui gali likti skirtumas: nusistovėjusioji paklaida ess.

Nusistovėjusioji paklaida ir PID valdymas: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
  1. Suskaičiuokite atvirojo kontūro C(s)·G(s) polius ties s = 0: tai yra sistemos tipas.
  2. Apskaičiuokite įėjimui tinkančią paklaidos konstantą: Kp šuoliui, Kv rampai, Ka parabolei.
  3. Taikykite ess = A/(1 + Kp), A/Kv arba A/Ka arba išspręskite jį reikiamam stiprinimui.
  4. Slopinimo ar greičio reikalavimui užrašykite uždarojo kontūro charakteristinį daugianarį ir sulyginkite jį su s² + 2ζω_n·s + ω_n².
Nusistovėjusioji paklaida ir PID valdymas: kokios klaidos dažniausios?
  • Šuoliui naudoti A/Kp vietoj A/(1 + Kp).
  • Sulyginant koeficientus pamiršti objekto stiprinimą: kontūro stiprinimas yra K, padaugintas iš objekto stiprinimo.
  • Skaičiuojant sistemos tipą nepaisyti reguliatoriaus integratoriaus.
  • Tikėtis, kad vien proporcinis stiprinimas panaikins šuolio paklaidą 0 tipo kontūre.
Nusistovėjusioji paklaida ir PID valdymas: ką lavinsite?
  • Lengvas: sistemos tipas ir paklaidos konstantos
  • Vidutinis: nusistovėjusiosios paklaidos ir stiprinimas
  • Sunkus: P, PI ir PD projektavimas

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Struktūrinės schemosŠuolinė reakcija

Kursai su šia tema

Valdymo inžinerija 1Valdymo inžinerija 2: grįžtamojo ryšio valdymo projektavimasMechatroninės sistemosFE Electrical and Computer egzamino praktikaFE Mechanical egzamino praktika

Daugiau temų: Elektros inžinerija

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiSuperpozicijaTeveninas ir NortonasMazgų potencialų metodasKontūrų srovių metodasRC ir RL pereinamieji procesaiKintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiKintamosios srovės galia ir galios koeficientasLC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisTrifazė galiaTransformatoriaiNuolatinės srovės varikliaiOperacinių stiprintuvų grandinėsDiodai ir tranzistoriaiDC-DC keitikliaiSkaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiVitstouno tiltas ir tenzojutikliaiDuomenų kaupimas ir diskretizavimasLaplaso transformacijosStruktūrinės schemosŠuolinė reakcijaBode grafikai ir atsargosStabilumas: Rauso–Hurvico kriterijus ir šaknų geometrinė vietaSąsūka ir LTI sistemos

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Nusistovėjusioji paklaida ir PID valdymas su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Nusistovėjusioji paklaida ir PID valdymasPraktikuokitės dabar: Nusistovėjusioji paklaida ir PID valdymasKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.