Stabilumas: Rauso–Hurvico kriterijus ir šaknų geometrinė vieta: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Stabilumas: Rauso–Hurvico kriterijus ir šaknų geometrinė vieta su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: Rauso lentelė ir polių skaičius, K reikšmių intervalas stabilumui, šaknų geometrinė vieta.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
s⁴16−2s³416s²??s¹?s⁰?

Grįžtamojo ryšio sistemos charakteristinis daugianaris yra Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2. Sudarykite Rauso lentelę ir raskite, kiek Q(s) šaknų N yra dešiniojoje pusplokštumėje.

Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2

Tikslus atsakymas: sveikasis skaičius, be apvalinimo.

Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Stabilumas: Rauso–Hurvico kriterijus ir šaknų geometrinė vietaPraktikuokitės dabar: Stabilumas: Rauso–Hurvico kriterijus ir šaknų geometrinė vietaKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. LengvasRauso lentelė ir polių skaičius
  2. VidutinisK reikšmių intervalas stabilumui
  3. Sunkusšaknų geometrinė vieta

Kaip spręsti uždavinius tema Stabilumas: Rauso–Hurvico kriterijus ir šaknų geometrinė vieta

  1. Užrašykite uždarojo kontūro charakteristinį daugianarį: lygties 1 + K·G(s) = 0 vardiklį, išskleistą.
  2. Koeficientus pakaitomis surašykite į pirmąsias dvi Rauso lentelės eilutes ir sudarykite likusias eilutes.
  3. Suskaičiuokite pirmojo stulpelio ženklo kaitas: kiekviena yra vienas polius dešiniojoje pusplokštumėje. Kai lentelėje yra K, reikalaukite, kad kiekvienas pirmojo stulpelio elementas liktų teigiamas.
  4. Šaknų geometrinei vietai pažymėkite polius ir nulius, realiosios ašies ruožus, asimptotes iš centroido ir lūžio taškus, kur dK/ds = 0. Stiprinimui taške naudokite K = 1/|G(s)|.

Dažnos klaidos

  • Daryti išvadą, kad sistema stabili, nes visi koeficientai teigiami; kubiniam ar aukštesnės eilės daugianariui to nepakanka.
  • Pamiršti objekto laisvąjį narį pridėjus K: kai trys poliai nutolę nuo koordinačių pradžios, s⁰ elementas yra abc + K.
  • Dviejų polių vidurio tašką laikyti atsiskyrimo tašku, kai šalia yra trečiasis polius ar nulis.
  • Centroido formulėje naudoti polių padėtis be ženklų.

Pagrindinės formulės

Stabilumas
visos charakteristinio daugianario šaknys kairiojoje pusplokštumėje
Rauso lentelė, kubinio daugianario s¹ elementas
b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
Šaknys dešiniojoje pusplokštumėje
ženklo kaitų skaičius pirmajame stulpelyje
Kubinis daugianaris s³ + a₂s² + a₁s + a₀
stabilus, kai visi a > 0 ir a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b))
Kmax = ab(a + b), ω = √(ab)
Charakteringoji lygtis
1 + K·G(s) = 0
Asimptotės
σa = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
Atsiskyrimo ir susijungimo taškai
dK/ds = 0
Modulio sąlyga
K = 1/|G(s)|
Išėjimo kampas
θd = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

Išmokite Stabilumas: Rauso–Hurvico kriterijus ir šaknų geometrinė vieta nuo nulio

Prieš tai: Laplaso transformacijos, Struktūrinės schemos

1Ką reiškia stabilumas

Sistema yra stabili, kai kiekvienas aprėžtas įėjimas duoda aprėžtą išėjimą. Po trikdžio stabili sistema nusistovi; nestabili nuskuba šalin arba svyruoja didėjančia amplitude.

Elgesį lemia uždarojo kontūro poliai: jo charakteristinio daugianario šaknys. Polius ties s = p prideda prie atsako narį ept.

ReIm−2−1 + j2−1 − j2+1Re < 0Re > 0
  • Polius su neigiama realiąja dalimi (kairioji pusplokštumė) duoda narį, kuris užgęsta.
  • Polius su teigiama realiąja dalimi (dešinioji pusplokštumė) duoda narį, kuris auga neribotai.
  • Taigi sistema stabili tik tada, kai visi poliai yra kairiojoje pusplokštumėje.
Savikontrolė Uždarasis kontūras turi polius ties −3, −1 + j2, −1 − j2 ir +0,5. Ar jis stabilus?
  1. Ne, nes kompleksiniai poliai visada daro sistemą nestabilią
  2. Ne, polius ties +0,5 daro jį nestabilų
  3. Taip, nes kompleksiniai poliai turi neigiamas realiąsias dalis
  4. Taip, nes trys iš keturių polių yra kairiojoje pusplokštumėje

Atsakymas: Ne, polius ties +0,5 daro jį nestabilų. Pakanka vieno polio dešiniojoje pusplokštumėje: jo narys e0,5t auga. Kompleksiniai poliai kairiojoje pusplokštumėje yra tinkami; jie duoda gęstančius svyravimus.

2Rauso lentelė

Kubiniam ar aukštesnės eilės daugianariui šaknis rankomis rasti sunku. Rauso–Hurvico kriterijus parodo, kiek šaknų yra dešiniojoje pusplokštumėje, jų neieškant.

Koeficientus pakaitomis surašykite į pirmąsias dvi eilutes. Daugianariui s³ + a₂s² + a₁s + a₀:

s³: 1, a1 s²: a2, a0

Kiekviena nauja eilutė sudaroma iš dviejų aukščiau esančių eilučių. Kubiniam daugianariui s¹ elementas yra:

b1 = (a2·a1 − 1·a0)/a2, s⁰: a0

Ženklo kaitų skaičius pirmajame stulpelyje lygus šaknų skaičiui dešiniojoje pusplokštumėje.

Pavyzdys: s³ + 2s² + 3s + 10. Pirmasis stulpelis yra 1, 2, (2·3 − 10)/2 = −2, 10. Ženklai +, +, −, +: dvi kaitos, taigi du poliai yra dešiniojoje pusplokštumėje.

Savikontrolė Daugianariui s³ + 4s² + 5s + 2 koks yra pirmasis s¹ eilutės elementas?
  1. 18
  2. 4,5
  3. 5
  4. −4,5

Atsakymas: 4,5. b₁ = (4·5 − 1·2)/4 = 18/4 = 4,5. Pamiršus dalyti iš 4 gaunama 18; sukeitus sandaugas – −4,5.

3Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Užrašykite uždarojo kontūro charakteristinę lygtį 1 + K·G(s) = 0 ir išskleiskite ją į daugianarį.
  2. Į pirmąsias dvi Rauso lentelės eilutes įrašykite koeficientus.
  3. Sudarykite likusias eilutes; jei K atsiranda, palikite jį simboliu.
  4. Suskaičiuokite pirmojo stulpelio ženklo kaitas arba pareikalaukite, kad kiekvienas pirmojo stulpelio elementas būtų teigiamas, ir raskite leistiną K intervalą.
  5. Ties ribiniu stiprinimu s¹ eilutė lygi nuliui. Tuomet s² eilutė duoda pagalbinę lygtį a·s² + b = 0, kurios šaknys ±jω rodo svyravimų dažnį.

Greitas kubinio daugianario s³ + a₂s² + a₁s + a₀ testas: jis stabilus tada ir tik tada, kai visi koeficientai teigiami ir a₂·a₁ > a₀.

4Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Žemiau pavaizduoto kontūro L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)). Su kokiais stiprinimais K uždarasis kontūras stabilus ir kokiu dažniu jis svyruoja ties riba?

1

Pažiūrėkite į kontūrą

R+K1/(s(s + 2)(s + 4))C−

Charakteristinė lygtis yra 1 + L(s) = 0, taigi s(s + 2)(s + 4) + K = 0.

2

Išskleiskite

s³ + 6s² + 8s + K = 0
3

Sudarykite Rauso lentelę

s³: 1, 8 s²: 6, K s¹: (48 − K)/6 s⁰: K

Elementas s¹ eilutėje yra (6·8 − 1·K)/6.

4

Pirmąjį stulpelį išlaikykite teigiamą

Iš s⁰ eilutės: K > 0. Iš s¹ eilutės: 48 − K > 0, taigi K < 48.

5

Dažnis ties riba

Kai K = 48, s¹ eilutė lygi nuliui. s² eilutė duoda 6s² + 48 = 0, taigi s² = −8.

ω = √8 = 2,83 rad/s
6

Patikrinkite atsakymą

Kai K = 48, daugianaris yra s³ + 6s² + 8s + 48 = (s + 6)(s² + 8). Jo šaknys yra −6 ir ±j2,83, kaip ir tikėtasi.

Atsakymas

Kontūras stabilus, kai 0 < K < 48; kai K = 48, jis svyruoja ω = 2,83 rad/s dažniu.

5Šaknų geometrinė vieta

Šaknų geometrinė vieta rodo, kaip uždarojo kontūro poliai juda, kai K kinta nuo 0 iki ∞. Ji prasideda atvirojo kontūro poliuose (×) ir baigiasi atvirojo kontūro nuliuose (○) arba begalybėje.

  • Realiosios ašies taškas priklauso geometrinei vietai, kai realiųjų polių ir nulių skaičius į dešinę nuo jo yra nelyginis.
  • n − m šakų, einančių į begalybę, seka asimptotes kampais (2q + 1)·180°/(n − m).
  • Asimptotės išeina iš centroido σa = (Σ polių − Σ nulių)/(n − m).
  • Šakos palieka realiąją ašį arba prie jos prisijungia ten, kur dK/ds = 0, o ant ašies K = −1/G(s).
  • Stiprinimas bet kuriame geometrinės vietos taške s yra K = 1/|G(s)|, atstumų iki polių sandauga, padalyta iš atstumų iki nulių sandaugos.

Kontūrui L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)) centroidas yra (0 − 2 − 4)/3 = −2, o asimptotės išeina 60°, 180° ir 300° kampais.

ReIm0−2−460°

Atsiskyrimo taškas tarp 0 ir −2 gaunamas iš dK/ds = 0: 3s² + 12s + 8 = 0, taigi s = −0,845.

Savikontrolė Kontūrui L(s) = K/((s + 1)(s + 5)) kur dvi šakos palieka realiąją ašį?
  1. s = −1
  2. s = −2,5
  3. s = −3
  4. s = −6

Atsakymas: s = −3. Kai yra du realieji poliai ir nėra nulių, K = −(s + 1)(s + 5) didžiausias lygiai per vidurį tarp jų: dK/ds = −(2s + 6) = 0 duoda s = −3.

6Dažnos klaidos

  • Sistemos laikymas stabilia, nes visi jos koeficientai teigiami. Kubiniam ar aukštesnės eilės daugianariui reikia ir Rauso testo.
  • Objekto laisvojo nario pamiršimas: K/((s + a)(s + b)(s + c)) atveju s⁰ koeficientas yra abc + K, o ne K.
  • Dviejų polių vidurio taško laikymas atsiskyrimo tašku, kai trečiasis polius ar nulis traukia geometrinę vietą.
  • Ženklų praleidimas centroide: daugiklis (s + 4) yra polius ties s = −4.
Savikontrolė Ar s³ + s² + 2s + 8 = 0 yra stabili charakteristinė lygtis?
  1. Ne: a₂·a₁ = 2 yra mažesnis už a₀ = 8
  2. Ne: kubinis daugianaris niekada nėra stabilus
  3. Taip: koeficientai nekeičia ženklo
  4. Taip: visi koeficientai teigiami

Atsakymas: Ne: a₂·a₁ = 2 yra mažesnis už a₀ = 8. Elementas s¹ eilutėje yra (1·2 − 8)/1 = −6, taigi pirmajame stulpelyje 1, 1, −6, 8 ženklas keičiasi du kartus: du poliai yra dešiniojoje pusplokštumėje. Teigiamų koeficientų nepakanka.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengva: Rauso lentelė ir polių skaičius. Skaičiuojate kubinio ar ketvirtosios eilės daugianario polius dešiniojoje pusplokštumėje, randate vieną lentelės elementą, uždarojo kontūro polių pirmosios eilės objektui arba stiprinimą, kuriam esant jis yra duotame taške.
  • Vidutinė: K intervalas. Randate didžiausią stabilų stiprinimą, svyravimų dažnį esant tam stiprinimui, mažiausią stiprinimą, stabilizuojantį nestabilų objektą, arba kiek stiprinimą galima padidinti.
  • Sunki: šaknų geometrinė vieta. Randate asimptočių centroidą, menamosios ašies kirtimą, atsiskyrimo ir susijungimo taškus, išėjimo kampą iš kompleksinio polio arba stiprinimą duotame taške ar slopinimo koeficientui.

Stiprinimui, atitinkančiam slopinimo koeficientą, užrašykite charakteristinį daugianarį ir palyginkite jį su s² + 2ζωns + ωn².

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
R(s)+K1s + 10C(s)−

Proporcinis stiprinimas K valdo objektą G(s) = 1/(s + 10) vienetinio grįžtamojo ryšio kontūre. Raskite stiprinimą K, kuriam esant uždarojo kontūro polius yra ties s = −10,5.

G(s) = 1/(s + 10)p = −10,5

Raskite K

Rodyti užuominas
  1. Uždarojo kontūro polius yra lygties s + 10 + 1K = 0 šaknis.
  2. Į šią lygtį įrašykite s = −10,5.
  3. 1K = 10,5 − 10.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Rauso–Hurvico kriterijus: tiesinė sistema yra stabili, kai visos jos charakteristinio daugianario šaknys yra kairiojoje s plokštumos pusėje. Koeficientus pakaitomis surašykite į pirmąsias dvi Rauso lentelės eilutes. Kiekvienas naujos eilutės elementas apskaičiuojamas iš dviejų aukščiau esančių eilučių; kubiniam daugianariui a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ elementas s¹ eilutėje yra b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Ženklo kaitų skaičius pirmajame stulpelyje lygus šaknų skaičiui dešiniojoje pusplokštumėje. Kai koeficientuose yra stiprinimas K, visi pirmojo stulpelio elementai turi likti teigiami: stiprinimas, kuriam esant s¹ eilutės elementas lygus nuliui, yra stabilumo riba, o s² eilutė tuomet duoda nuolatinių svyravimų dažnį.

Charakteringoji lygtis

s + 10 + 1K = 0

Reikalingas stiprinimas

−10,5 + 10 + 1K = 0 → K = (10,5 − 10)/1 = 0,5

Atsakymas

K = 0,5
Pavyzdys 2Vidutinis
R(s)+Ks + 2(s − 4)(s + 1)C(s)−

Objektas G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1)) turi nestabilų polių ties s = 4. Proporcinis stiprinimas K uždaro aplink jį vienetinio grįžtamojo ryšio kontūrą. Raskite mažiausią stiprinimą Kmin, su kuriuo uždarasis kontūras tampa stabilus.

G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1))

Raskite Kmin

Rodyti užuominas
  1. Charakteristinis daugianaris yra (s − 4)(s + 1) + K(s + 2).
  2. s² + (-3 + K)s + (2K − 4).
  3. Antrosios eilės daugianaris yra stabilus, kai abu koeficientai teigiami.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Rauso–Hurvico kriterijus: tiesinė sistema yra stabili, kai visos jos charakteristinio daugianario šaknys yra kairiojoje s plokštumos pusėje. Koeficientus pakaitomis surašykite į pirmąsias dvi Rauso lentelės eilutes. Kiekvienas naujos eilutės elementas apskaičiuojamas iš dviejų aukščiau esančių eilučių; kubiniam daugianariui a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ elementas s¹ eilutėje yra b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Ženklo kaitų skaičius pirmajame stulpelyje lygus šaknų skaičiui dešiniojoje pusplokštumėje. Kai koeficientuose yra stiprinimas K, visi pirmojo stulpelio elementai turi likti teigiami: stiprinimas, kuriam esant s¹ eilutės elementas lygus nuliui, yra stabilumo riba, o s² eilutė tuomet duoda nuolatinių svyravimų dažnį.

Charakteristinis daugianaris

(s − 4)(s + 1) + K(s + 2) = s² + (-3 + K)s + (2K − 4)

Sąlygos

Daugianariui s² + c₁s + c₀ visos šaknys yra kairiojoje pusplokštumėje tada ir tik tada, kai c₁ > 0 ir c₀ > 0.

-3 + K > 0 → K > 3
2K − 4 > 0 → K > 2
Kmin = 3

Atsakymas

Kmin = 3
Pavyzdys 3Sunkus
ReIm−2−4−6−8−10−12j2

Kontūro L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10)) šaknų geometrinė vieta palieka realiąją ašį tarp s = 0 ir s = −4. Raskite atsiskyrimo tašką sb.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10))

Raskite sb

Rodyti užuominas
  1. Realiojoje ašyje K = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s).
  2. Prilyginkite dK/ds = 0: 3s² + 28s + 40 = 0.
  3. Pasirinkite šaknį, esančią tarp 0 ir −4.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Šaknų geometrinė vieta: stiprinimui K didėjant nuo 0 iki ∞, uždarojo kontūro poliai, t. y. lygties 1 + K·G(s) = 0 šaknys, juda iš atvirojo kontūro polių į atvirojo kontūro nulius arba į begalybę. Realiosios ašies taškas priklauso geometrinei vietai, kai realiųjų polių ir nulių skaičius į dešinę nuo jo yra nelyginis. n − m šakų, einančių į begalybę, seka asimptotes kampais (2q + 1)·180°/(n − m), kurios išeina iš centroido σₐ = (Σ polių − Σ nulių)/(n − m). Šakos palieka realiąją ašį arba prie jos prisijungia ten, kur dK/ds = 0. Kampo sąlyga ∠G(s) = 180° nustato formą, o modulio sąlyga K = 1/|G(s)| duoda stiprinimą bet kuriame geometrinės vietos taške.

Stiprinimas išilgai realiosios ašies

K(s) = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s)

Stacionarieji taškai

dK/ds = −(3s² + 28s + 40) = 0
s = (−28 ± √(784 − 480))/6 = −1,761, −7,573

Pasirinkite geometrinės vietos tašką

Geometrinė vieta yra realiojoje ašyje tarp 0 ir −4; kita šaknis jai nepriklauso.

sb = −1,761

Atsakymas

sb = −1,761

Klausimai ir atsakymai

Stabilumas: Rauso–Hurvico kriterijus ir šaknų geometrinė vieta: kas tai?

Sistema yra stabili, kai kiekvienas aprėžtas įėjimas duoda aprėžtą išėjimą. Po trikdžio stabili sistema nusistovi; nestabili nuskuba šalin arba svyruoja didėjančia amplitude.

Elgesį lemia uždarojo kontūro poliai: jo charakteristinio daugianario šaknys. Polius ties s = p prideda prie atsako narį ept.

Stabilumas: Rauso–Hurvico kriterijus ir šaknų geometrinė vieta: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
  1. Užrašykite uždarojo kontūro charakteristinį daugianarį: lygties 1 + K·G(s) = 0 vardiklį, išskleistą.
  2. Koeficientus pakaitomis surašykite į pirmąsias dvi Rauso lentelės eilutes ir sudarykite likusias eilutes.
  3. Suskaičiuokite pirmojo stulpelio ženklo kaitas: kiekviena yra vienas polius dešiniojoje pusplokštumėje. Kai lentelėje yra K, reikalaukite, kad kiekvienas pirmojo stulpelio elementas liktų teigiamas.
  4. Šaknų geometrinei vietai pažymėkite polius ir nulius, realiosios ašies ruožus, asimptotes iš centroido ir lūžio taškus, kur dK/ds = 0. Stiprinimui taške naudokite K = 1/|G(s)|.
Stabilumas: Rauso–Hurvico kriterijus ir šaknų geometrinė vieta: kokios klaidos dažniausios?
  • Daryti išvadą, kad sistema stabili, nes visi koeficientai teigiami; kubiniam ar aukštesnės eilės daugianariui to nepakanka.
  • Pamiršti objekto laisvąjį narį pridėjus K: kai trys poliai nutolę nuo koordinačių pradžios, s⁰ elementas yra abc + K.
  • Dviejų polių vidurio tašką laikyti atsiskyrimo tašku, kai šalia yra trečiasis polius ar nulis.
  • Centroido formulėje naudoti polių padėtis be ženklų.
Stabilumas: Rauso–Hurvico kriterijus ir šaknų geometrinė vieta: ką lavinsite?
  • Lengvas: Rauso lentelė ir polių skaičius
  • Vidutinis: K reikšmių intervalas stabilumui
  • Sunkus: šaknų geometrinė vieta

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Laplaso transformacijosStruktūrinės schemos

Skaičiuoklės

Rauso ir Hurvico stabilumo kriterijaus skaičiuoklė

Kursai su šia tema

Valdymo inžinerija 1Valdymo inžinerija 2: grįžtamojo ryšio valdymo projektavimasFE Electrical and Computer egzamino praktika

Daugiau temų: Elektros inžinerija

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiSuperpozicijaTeveninas ir NortonasMazgų potencialų metodasKontūrų srovių metodasRC ir RL pereinamieji procesaiKintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiKintamosios srovės galia ir galios koeficientasLC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisTrifazė galiaTransformatoriaiNuolatinės srovės varikliaiOperacinių stiprintuvų grandinėsDiodai ir tranzistoriaiDC-DC keitikliaiSkaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiVitstouno tiltas ir tenzojutikliaiDuomenų kaupimas ir diskretizavimasLaplaso transformacijosStruktūrinės schemosŠuolinė reakcijaBode grafikai ir atsargosNusistovėjusioji paklaida ir PID valdymasSąsūka ir LTI sistemos

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Stabilumas: Rauso–Hurvico kriterijus ir šaknų geometrinė vieta su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Stabilumas: Rauso–Hurvico kriterijus ir šaknų geometrinė vietaPraktikuokitės dabar: Stabilumas: Rauso–Hurvico kriterijus ir šaknų geometrinė vietaKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.