Šuolinė reakcija: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio
Nemokami uždaviniai tema Šuolinė reakcija su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: pirmosios eilės sistemos, antrosios eilės parametrai, fizinės sistemos ir projektavimas.
Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
Neįkrautas kondensatorius C = 47 µF kraunamas iš 5 V šuolinio šaltinio per rezistorių R = 4,7 kΩ. Raskite kondensatoriaus įtampą vC, kai t = 220,9 ms.
Šuolis yra įėjimas, kuris ties t = 0 šoktelėja nuo 0 iki pastovios reikšmės ir joje lieka. Pagalvokite apie šildytuvo įjungimą arba akceleratoriaus nuspaudimą ir laikymą.
Šuolio atsakas parodo, kaip išėjimas seka. Jis negali šoktelėti iš karto: jis juda link naujos galutinės reikšmės y(∞) ir joje nusistovi.
Kreivė a kyla sklandžiai ir niekada neviršija. Tai pirmos eilės sistema, kaip RC grandinė ar šildoma talpykla.
Kreivė b viršija, kelis kartus svyruoja ir tada nusistovi. Tai nepakankamai slopinama antros eilės sistema, kaip automobilio pakaba ar masė ant spyruoklės.
Galutinė reikšmė gaunama iš nuolatinės srovės stiprinimo G(0): U dydžio šuolis nusistovi ties y(∞) = G(0)·U. Tai galutinės reikšmės teorema iš Laplace'o transformacijų.
Savikontrolė Sistema G(s) = 3/(2s + 1) gauna 4 dydžio šuolį. Kokia galutinė reikšmė y(∞)?
12
3
4
6
Atsakymas: 12. G(0) = 3/(0 + 1) = 3, taigi y(∞) = 3·4 = 12. Reikšmė 4 pamiršta stiprinimą, 3 pamiršta šuolio dydį, o 6 dalija iš 2 prie 2s, kuris ties s = 0 išnyksta.
2Pirmos eilės sistemos
Pirmos eilės sistema turi žemiau pateiktą standartinę formą. K yra statinis stiprinimas, o τ – laiko pastovioji sekundėmis.
G(s) = K/(τs + 1) y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)
Jei G(s) užrašyta kaip b/(s + a), skaitiklį ir vardiklį padalykite iš a. Tada K = b/a ir τ = 1/a.
Po 1τ išėjimas atlieka 63 % savo pokyčio, po 3τ – 95 %, po 5τ – daugiau nei 99 %.
Laikas, per kurį pasiekiama galutinės reikšmės dalis x: t = −τ·ln(1 − x). 90 % t = τ·ln 10 = 2,3τ.
10–90 % kilimo laikas yra tr = τ·ln 9 ≈ 2,2τ.
RC grandinei τ = R·C. Atkreipkite dėmesį, kad kΩ kartų µF duoda milisekundes.
Jei išmatuojate atsaką, τ galite rasti atgaline tvarka. Jei išėjimas laiku t pasiekė dalį x, tai τ = −t/ln(1 − x).
Išspręstas pavyzdys
G(s) = 10/(s + 5) ties t = 0 gauna 2 dydžio šuolį. Raskite galutinę reikšmę ir laiką, per kurį pasiekiama 90 % jos.
1
Standartinė forma
Skaitiklį ir vardiklį padalykite iš 5:
G(s) = 2/(0,2s + 1) ⇒ K = 2, τ = 0,2 s
2
Galutinė vertė
y(∞) = K·U = 2·2 = 4
3
Laikas iki 90 %
Išspręskite 1 − e−t/τ = 0,9, taigi e−t/τ = 0,1:
t = −τ·ln(0,1) = 0,2·2,303 = 0,461 s
Atsakymas
y(∞) = 4 ir išėjimas pasiekia 90 % po t ≈ 0,461 s.
Savikontrolė Kokia yra G(s) = 10/(s + 5) laiko pastovioji?
0,2 s
10 s
2 s
5 s
Atsakymas: 0,2 s. Užrašius kaip 2/(0,2s + 1), laiko pastovioji yra τ = 1/5 = 0,2 s. 5 s painioja τ su a, o 2 yra stiprinimas K, o ne laikas.
3Antros eilės sistemos
Antros eilės sistema turi kvadratinį vardiklį. Palyginkite jį su standartine forma:
G(s) = K/(s² + 2ζωns + ωn²)
Laisvasis narys yra ωn², taigi laisvųjų virpesių dažnis yra ωn = √(laisvasis narys), rad/s.
Koeficientas prie s yra 2ζωn, taigi slopinimo santykis yra ζ = (koeficientas prie s)/(2ωn).
Kai 0 < ζ < 1, atsakas viršija ir svyruoja. Mažesnis ζ reiškia didesnį viršijimą.
Vienetiniam šuoliui galutinė reikšmė yra G(0) = K/ωn². Atsako formą aprašo penki skaičiai:
ωd yra slopinamų virpesių dažnis: kaip greitai atsakas svyruoja.
tp yra maksimumo laikas, kai išėjimas didžiausias. %OS yra procentinis viršijimas virš galutinės reikšmės.
ts yra nusistovėjimo laikas, po kurio išėjimas lieka 2 % ribose nuo galutinės reikšmės.
Du poliai yra s = σ ± jωd, kai realioji dalis σ = −ζωn. Jų atstumas nuo pradžios taško yra ωn, o cos θ = ζ.
Savikontrolė Sistemos vardiklis yra s² + 4s + 25. Koks slopinimo santykis ζ?
0,08
0,4
0,8
2
Atsakymas: 0,4. ωn = √25 = 5, o 2ζωn = 4 duoda ζ = 4/(2·5) = 0,4. 0,8 pamiršta 2, 0,08 dalija iš ωn² vietoj ωn, o 2 yra ζωn.
4Metodas žingsnis po žingsnio
Nustatykite eilę: 1 laipsnio vardiklis reiškia pirmą eilę, 2 laipsnio – antrą eilę.
Pirma eilė: užrašykite G(s) kaip K/(τs + 1) ir nuskaitykite K ir τ.
Antra eilė: palyginkite vardiklį su s² + 2ζωns + ωn². Pirmiausia raskite ωn, tada ζ.
Raskite galutinę reikšmę y(∞) = G(0)·U.
Taikykite formulę tam, ko klausiama: y(t), laikui, tp, %OS, ts ar σ.
Patikrinkite vienetus: laikas sekundėmis, ω rad/s, o kampas e… ir π formulėse radianais.
5Išspręstas pavyzdys
Tai tipiškas vidutinio sunkumo klausimas. Išbandykite kiekvieną žingsnį, prieš jį atidarydami.
Išspręstas pavyzdys
G(s) = 16/(s² + 4s + 16) gauna vienetinį šuolį. Raskite ζ, ωn, procentinį viršijimą ir maksimumo laiką.
1
Savasis dažnis
Laisvasis narys yra ωn² = 16.
ωn = √16 = 4 rad/s
2
Slopinimo koeficientas
Koeficientas prie s yra 2ζωn = 4.
ζ = 4/(2·4) = 0,5
ζ yra tarp 0 ir 1, taigi atsakas viršija.
3
Procentinis viršijimas
ζπ/√(1 − ζ²) = 0,5·π/√0,75 = 1,814
%OS = 100·e−1,814 = 16,3%
4
Maksimumo laikas
ωd = 4·√(1 − 0,25) = 3,464 rad/s
tp = π/3,464 = 0,907 s
5
Patikrinkite atsakymą
Galutinė reikšmė yra G(0) = 16/16 = 1, taigi maksimumas yra apie 1,163. Ankstesnio skyriaus paveikslas naudoja tą pačią sistemą.
Nusistovėjimo laikas 4/(ζωn) = 4/2 = 2 s yra vėlesnis nei maksimumas, kaip ir turi būti.
Atsakymas
ωn = 4 rad/s, ζ = 0,5, %OS ≈ 16,3 % ir tp ≈ 0,907 s.
6Dažnos klaidos
Kilimas laikomas tiesiniu. Eksponentė pasiekia 90 % po 2,3τ, o ne po 0,9τ: naudokite t = −τ·ln(1 − x).
Vietoj ln(1 − x) naudojamas ln(x). Logaritmas imamas iš dar trūkstamos dalies.
Iš b/(s + a) nuskaitomas τ = a. Laiko pastovioji yra 1/a.
ωn² naudojamas kaip ωn. Ištraukite laisvojo nario kvadratinę šaknį.
Pamirštamas 2 formulėje 2ζωn arba tp = π/ωd naudojamas ωn vietoj ωd.
Viršijimas pateikiamas kaip trupmena (0,163), kai klausiama procentų (16,3 %).
Savikontrolė G(s) = 2/(s + 4) gauna šuolį. Kiek laiko išėjimui prireikia pasiekti 90 % galutinės reikšmės?
0,026 s
0,225 s
0,576 s
9,21 s
Atsakymas: 0,576 s. τ = 1/4 = 0,25 s ir t = −0,25·ln(0,1) = 0,576 s. 0,225 s kilimą laiko tiesiniu (0,9τ). 0,026 s naudoja ln(0,9) vietoj ln(0,1). 9,21 s naudoja a = 4 vietoj τ.
7Kaip atrodo egzamino uždaviniai
Lengvi: pirmos eilės sistemos. Randate y(∞), išėjimą duotu laiku, laiką iki tam tikro procento, τ pagal išmatuotą tašką arba RC grandinės įkrovimo laiką.
Vidutiniai: antros eilės parametrai. Iš G(s) = K/(s² + a₁s + a₀) randate ζ, ωn, %OS, tp, ts ar polių realiąją dalį σ.
Sunkūs: fizinės sistemos ir projektavimas. Masė–spyruoklė–slopintuvas ar RLC grandinė arba ζ ir ωn, apskaičiuoti atgal iš išmatuoto viršijimo ir maksimumo laiko.
Masei m, slopintuvui c ir spyruoklei k lygtis m·x″ + c·x′ + k·x = F duoda:
ωn = √(k/m) ζ = c/(2√(k·m)) x(∞) = F/k
Norėdami grįžti nuo viršijimo, išspręskite %OS formulę ζ atžvilgiu:
Pirmosios eilės sistema G(s) = 2/(2s + 1) gauna 2 dydžio šuolinį įėjimą, kai t = 0, pradėdama iš rimties. Raskite galutinę išėjimo vertę y(∞).
G(s) = 2/(2s + 1)U = 2
Raskite y(∞)
Rodyti užuominas
Galutinės vertės teorema: y(∞) = lim s·G(s)·U/s = G(0)·U.
G(0) yra nuolatinės srovės stiprinimas.
G(0) = 2.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Šuolinė reakcija: pirmosios eilės sistema G(s) = K/(τs + 1) į U dydžio šuolį atsako y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): po vienos laiko pastoviosios τ ji pasiekia 63,2 % galutinės vertės K·U, o po 4τ – 98 %. Antrosios eilės sistema G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) turi polius s = −ζωₙ ± jωd, kur ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Kai 0 < ζ < 1, šuolinė reakcija viršija galutinę vertę: procentinis viršijimas %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), pikų laikas tp = π/ωd, o 2 % nusistovėjimo laikas ts ≈ 4/(ζωₙ). Palyginkite vardiklį su s² + 2ζωₙs + ωₙ², kad nustatytumėte ωₙ ir ζ. Masės, spyruoklės ir slopintuvo sistemai ωₙ = √(k/m) ir ζ = c/(2√(km)); nuosekliajai RLC grandinei ωₙ = 1/√(LC) ir ζ = (R/2)·√(C/L).
Nuolatinės srovės stiprinimas
G(0) = 2
Galutinė vertė
y(∞) = G(0)·U = 2·2 = 4
Atsakymas
y(∞) = 4
Pavyzdys 2Vidutinis
Sistemos perdavimo funkcija G(s) = 213/(s² + 8s + 71), o jos įėjimas yra vienetinis šuolis. Raskite šuolinės reakcijos procentinį viršijimą %OS.
G(s) = 213/(s² + 8s + 71)
Raskite %OS(%)
Rodyti užuominas
Palyginkite vardiklį su s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ = √71 = 8,426 rad/s, ζ = 8/(2ωₙ).
ζ = 0,4747.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Šuolinė reakcija: pirmosios eilės sistema G(s) = K/(τs + 1) į U dydžio šuolį atsako y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): po vienos laiko pastoviosios τ ji pasiekia 63,2 % galutinės vertės K·U, o po 4τ – 98 %. Antrosios eilės sistema G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) turi polius s = −ζωₙ ± jωd, kur ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Kai 0 < ζ < 1, šuolinė reakcija viršija galutinę vertę: procentinis viršijimas %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), pikų laikas tp = π/ωd, o 2 % nusistovėjimo laikas ts ≈ 4/(ζωₙ). Palyginkite vardiklį su s² + 2ζωₙs + ωₙ², kad nustatytumėte ωₙ ir ζ. Masės, spyruoklės ir slopintuvo sistemai ωₙ = √(k/m) ir ζ = c/(2√(km)); nuosekliajai RLC grandinei ωₙ = 1/√(LC) ir ζ = (R/2)·√(C/L).
Palyginkite su standartine forma
Vardiklis turi atitikti s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 71 → ωₙ = 8,426 rad/s
2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·8,426) = 0,4747
Rezultatas
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1,694 = 18,37 %
Atsakymas
%OS = 18,37 %
Pavyzdys 3Sunkus
2,5 kg masė kabo ant 800 N/m spyruoklės su klampiuoju slopintuvu c = 9 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). Pusiausvyroje rimtyje staiga pridedama pastovi jėga F = 10 N. Raskite laiką tp, kai poslinkis didžiausias.
m = 2,5 kgk = 800 N/mc = 9 N·s/mF = 10 N
Raskite tp(s)
Rodyti užuominas
Padalykite iš m: x″ + (c/m)·x′ + (k/m)·x = F/m, taigi ωₙ = √(k/m) ir ζ = c/(2√(km)).
ωₙ = 17,89 rad/s, ζ = 0,1006.
Galutinis poslinkis yra F/k = 12,5 mm.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Šuolinė reakcija: pirmosios eilės sistema G(s) = K/(τs + 1) į U dydžio šuolį atsako y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): po vienos laiko pastoviosios τ ji pasiekia 63,2 % galutinės vertės K·U, o po 4τ – 98 %. Antrosios eilės sistema G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) turi polius s = −ζωₙ ± jωd, kur ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Kai 0 < ζ < 1, šuolinė reakcija viršija galutinę vertę: procentinis viršijimas %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), pikų laikas tp = π/ωd, o 2 % nusistovėjimo laikas ts ≈ 4/(ζωₙ). Palyginkite vardiklį su s² + 2ζωₙs + ωₙ², kad nustatytumėte ωₙ ir ζ. Masės, spyruoklės ir slopintuvo sistemai ωₙ = √(k/m) ir ζ = c/(2√(km)); nuosekliajai RLC grandinei ωₙ = 1/√(LC) ir ζ = (R/2)·√(C/L).
Savasis dažnis ir slopinimo koeficientas
ωₙ = √(k/m) = √(800/2,5) = 17,89 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 9/(2·√(800·2,5)) = 0,1006
Rezultatas
ωd = 17,8 rad/s
tp = π/ωd = 0,1765 s
Atsakymas
tp = 0,1765 s
Klausimai ir atsakymai
Šuolinė reakcija: kas tai?
Kreivė a kyla sklandžiai ir niekada neviršija. Tai pirmos eilės sistema, kaip RC grandinė ar šildoma talpykla.
Kreivė b viršija, kelis kartus svyruoja ir tada nusistovi. Tai nepakankamai slopinama antros eilės sistema, kaip automobilio pakaba ar masė ant spyruoklės.
Šuolinė reakcija: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
Šuolinė reakcija: pirmosios eilės sistema G(s) = K/(τs + 1) į U dydžio šuolį atsako y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): po vienos laiko pastoviosios τ ji pasiekia 63,2 % galutinės vertės K·U, o po 4τ – 98 %. Antrosios eilės sistema G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) turi polius s = −ζωₙ ± jωd, kur ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Kai 0 < ζ < 1, šuolinė reakcija viršija galutinę vertę: procentinis viršijimas %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), pikų laikas tp = π/ωd, o 2 % nusistovėjimo laikas ts ≈ 4/(ζωₙ). Palyginkite vardiklį su s² + 2ζωₙs + ωₙ², kad nustatytumėte ωₙ ir ζ. Masės, spyruoklės ir slopintuvo sistemai ωₙ = √(k/m) ir ζ = c/(2√(km)); nuosekliajai RLC grandinei ωₙ = 1/√(LC) ir ζ = (R/2)·√(C/L).
Šuolinė reakcija: kokios klaidos dažniausios?
Išėjimas nusistovi ties K·U, o ne ties U: nuolatinės srovės stiprinimas yra G(0) = 2.
Viršijimą išreikškite procentais: padauginkite iš 100.
Rodiklis yra −ζπ/√(1 − ζ²).
Šuolinė reakcija: ką lavinsite?
Lengvas: pirmosios eilės sistemos
Vidutinis: antrosios eilės parametrai
Sunkus: fizinės sistemos ir projektavimas
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Kaip vyksta praktika
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.