RC ir RL pereinamieji procesai: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio
Nemokami uždaviniai tema RC ir RL pereinamieji procesai su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: RC įkrovimas, RL grandinė, kondensatorius su pradiniu krūviu.
Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
Kondensatorius neįkrautas, kai jungiklis užsidaro momentu t = 0. Raskite kondensatoriaus įtampą vC momentu t = 10 ms.
Kai uždarote jungiklį grandinėje, turinčioje tik rezistorius, kiekviena srovė iškart peršoka į naują reikšmę.
Kondensatorius ar induktyvumo ritė tai pakeičia. Jie kaupia energiją, o sukaupta energija negali pasikeisti per nulinį laiką. Todėl grandinė sklandžiai pereina iš senos būsenos į naują.
Šis sklandus pokytis vadinamas pereinamuoju procesu. Po kurio laiko grandinė nusistovi ir niekas nebesikeičia.
Įsivaizduokite kibiro pildymą pro siaurą žarną. Kibiras yra kondensatorius, siaura žarna – rezistorius. Lygis iš pradžių kyla greitai, paskui vis lėčiau, kai kibiras pildosi.
Savikontrolė Neįkrautas kondensatorius per rezistorių prijungiamas prie 12 V šaltinio. Kokia kondensatoriaus įtampa tuoj po jungiklio uždarymo?
0 V
12 V
4,4 V
6 V
Atsakymas: 0 V. Kondensatoriaus įtampa negali peršokti. Prieš pat uždarant jungiklį ji buvo 0 V, taigi ir tuoj po to yra 0 V. 12 V ji pasiekia tik po ilgo laiko.
2Kondensatoriai ir induktyvumo ritės pradžioje ir pabaigoje
Kiekvienam elementui reikia tik dviejų taisyklių: kas negali peršokti ir kaip jis elgiasi, kai viskas nusistovi.
Kondensatorius: jo įtampa vC negali peršokti. Ilgai po komutavimo srovė į jį netekėja, todėl jis veikia kaip atvira grandinė (tarpas).
Induktyvumo ritė: jos srovė iL negali peršokti. Ilgai po komutavimo ant jos nėra įtampos, todėl ji veikia kaip trumpasis jungimas (laidas).
Reikšmė tuoj po komutavimo yra pradinė reikšmė, x(0). Reikšmė po nusistovėjimo yra galutinė reikšmė, x(∞).
Kondensatoriui, kraunamam iš šaltinio Vs: vC(0) = 0 ir vC(∞) = Vs. Induktyvumo ritei: i(0) = 0 ir i(∞) = Vs/R.
Savikontrolė 12 V šaltinis maitina 20 Ω rezistorių, nuosekliai sujungtą su induktyvumo rite. Kokia srovė teka ilgai po jungiklio uždarymo?
0 A
0,6 A
1,67 A
240 A
Atsakymas: 0,6 A. Nusistovėjus induktyvumo ritė yra paprastas laidas, todėl srovę riboja tik rezistorius: 12/20 = 0,6 A. 0 A yra reikšmė tuoj po komutavimo, o ne pabaigoje.
3Laiko pastovioji
Pokyčio greitį nustato vienas skaičius, laiko pastovioji τ (tau).
τ = R·C τ = L/R
Vienetai: kΩ padauginus iš µF gaunamos milisekundės. mH padalijus iš Ω taip pat gaunamos milisekundės.
Kiekviena įtampa ir srovė tarp pradinės ir galutinės reikšmės seka ta pačia eksponentine kreive:
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Po 1τ pokytis įvykęs 63 %. Po 2τ – 86 %, po 3τ – 95 %.
Po maždaug 5τ grandinė praktiškai nusistovi.
Kraunamam kondensatoriui, pradedančiam nuo 0 V, formulė tampa:
vC(t) = Vs·(1 − e−t/τ)
Savikontrolė Kokia 4,7 kΩ rezistoriaus su 10 µF kondensatoriumi laiko pastovioji?
0,47 ms
2,13 ms
47 ms
47 s
Atsakymas: 47 ms. τ = R·C = 4,7 kΩ · 10 µF = 47 ms, nes kΩ padauginus iš µF gaunamos milisekundės. Dalijant vietoj dauginimo gaunama 2,13 ms.
4Metodas žingsnis po žingsnio
Raskite pradinę reikšmę x(0) tuoj po komutavimo. Naudokite taisyklę: vC ir iL negali peršokti.
Raskite galutinę reikšmę x(∞). Kondensatorių pakeiskite tarpu, o induktyvumo ritę laidu ir išspręskite nuolatinės srovės grandinę.
Raskite laiko pastoviąją: τ = R·C arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią mato kondensatorius ar induktyvumo ritė.
Įrašykite tris reikšmes į x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Įrašykite laiką t tuo pačiu vienetu kaip τ ir apskaičiuokite.
Jei klausiama laiko, tą pačią formulę išspręskite t atžvilgiu. Jums prireiks natūrinio logaritmo ln.
5Išspręstas pavyzdys
Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.
Išspręstas pavyzdys
Kondensatorius neįkrautas, kai jungiklis uždaromas ties t = 0. Raskite laiko pastoviąją ir kondensatoriaus įtampą vC ties t = 100 ms.
1
Panagrinėkite grandinę
Jungiklis per R = 10 kΩ prijungia Vs = 10 V prie kondensatoriaus. C = 10 µF.
2
Pradinė ir galutinė reikšmė
Kondensatorius neįkrautas, o jo įtampa negali peršokti, todėl vC(0) = 0 V.
Ilgai po to srovė netekėja, todėl ant R įtampos nėra. Visi 10 V yra ant C.
vC(0) = 0 V, vC(∞) = 10 V
3
Laiko konstanta
τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms
4
Įtampa ties t = 100 ms
Čia t yra lygiai viena laiko pastovioji, todėl t/τ = 1.
vC = 10·(1 − e−1) = 10·(1 − 0,368) = 6,32 V
5
Patikrinkite atsakymą
Po vienos laiko pastoviosios kondensatorius turėtų būti įkrautas 63 %. 63 % nuo 10 V yra 6,3 V, taigi atsakymas atitinka.
Jis taip pat mažesnis už 10 V šaltinį, kaip ir turi būti kraunamam kondensatoriui.
Atsakymas
τ = 100 ms ir vC = 6,32 V ties t = 100 ms.
6Dažnos klaidos
Naudojama krovimo formulė Vs·(1 − e−t/τ), kai kondensatorius jau turi įtampą. Naudokite bendrą formulę su x(0).
Painiojami vienetai: kΩ padauginus iš µF gaunamos milisekundės, o ne sekundės. Laikykite t ir τ tuo pačiu vienetu.
Atsakoma Vs·e−t/τ. Tai dar trūkstama dalis (arba rezistoriaus įtampa), o ne kondensatoriaus įtampa.
Naudojama netinkama varža τ. Naudokite varžą, kurią mato kondensatorius ar induktyvumo ritė.
Savikontrolė Kondensatorius turi 4 V, kai jungiamas prie 10 V šaltinio. Kokia vC po vienos laiko pastoviosios? (e−1 ≈ 0,368)
10,32 V
2,21 V
6,32 V
7,79 V
Atsakymas: 7,79 V. vC = 10 + (4 − 10)·0,368 = 7,79 V. Vien krovimo formulė duoda 6,32 V, o tai nepaiso pradinių 4 V. 2,21 V yra dar trūkstama dalis.
7Kaip atrodo egzamino uždaviniai
Lengvi: RC krovimas nuo 0 V, kaip pavyzdyje. Randate τ arba kondensatoriaus įtampą duotu laiku.
Vidutiniai: RL grandinė, kurios induktyvumo ritės srovė prasideda nuo 0. Randate i(t) = (Vs/R)·(1 − e−t/τ), ritės įtampą vL = Vs·e−t/τ arba laiką, per kurį pasiekiamas tam tikras galutinės srovės procentas.
Sunkūs: kondensatorius, kuris jau turi įtampą. Randate vC duotu laiku arba laiką duotai įtampai pasiekti.
Laikui rasti pertvarkykite bendrą formulę:
t = τ·ln[(x(0) − x(∞)) / (x(t) − x(∞))]
Kai τ = L/R, mH padalijus iš Ω gaunama ms. Taigi 50 mH ritės su 10 Ω τ = 5 ms.
Kondensatorius įkrautas iki 5 V. Momentu t = 0 jungiklis užsidaro ir kondensatorius išsikrauna per R. Raskite kondensatoriaus įtampą vC momentu t = 50 ms.
vC(0) = 5 VR = 1 kΩC = 68 µFt = 50 ms
Raskite vC(V)
Rodyti užuominas
Pirmos eilės RC grandinės laiko konstanta τ = RC. Kai R kΩ ir C µF, τ gaunama ms.
Be šaltinio kondensatoriaus įtampa slopsta link nulio: vC(t) = vC(0)·e−t/τ.
τ = 68 ms.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.
Laiko konstanta
kΩ kart µF duoda milisekundes.
τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms
Išsikrovimo kreivė
Kondensatoriaus įtampa pradeda nuo sukauptos vertės ir slopsta link 0 V.
vC(t) = 5·e−50/68 = 2,397 V
Atsakymas
vC = 2,397 V
Pavyzdys 2Vidutinis
Kol jungiklis neužsidarė momentu t = 0, rite srovė neteka. Po kiek laiko nuo jungiklio užsidarymo srovė pasiekia 75% galutinės vertės? Raskite t.
Vs = 6 VR = 50 ΩL = 150 mH
Raskite t(ms)
Rodyti užuominas
RL grandinei τ = L/R. Kai L mH ir R Ω, τ gaunama ms.
Iškart po jungiklio užsidarymo ritės srovė dar lygi nuliui; ilgai po to ritė veikia kaip trumpasis jungimas, todėl i(∞) = Vs/R.
τ = 3 ms, i(∞) = 0,12 A.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.
Laiko konstanta ir galutinė srovė
Ilgai po jungiklio užsidarymo ritė elgiasi kaip trumpasis jungimas, todėl galutinę srovę lemia tik R.
τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0,12 A
Išreiškite laiką
0,75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)
t = −3·ln(0,25) = 4,159 ms
Atsakymas
t = 4,159 ms
Pavyzdys 3Sunkus
Prieš pat jungiklio užsidarymą momentu t = 0 kondensatoriaus įtampa yra 18 V su pažymėtu poliškumu. Per kiek laiko vC pasieks 8,4 V? Raskite t.
Vs = 6 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 18 V
Raskite t(ms)
Rodyti užuominas
Naudokite bendrąjį pirmos eilės sprendinį x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Čia x(0) – sukaupta kondensatoriaus įtampa, o x(∞) – šaltinio įtampa, nes nusistovėjus per kondensatorių srovė neteka.
τ = 100 ms.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.
Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta
Kondensatoriaus įtampa negali pasikeisti šuoliu, todėl ji pradeda nuo sukauptos vertės ir artėja prie šaltinio įtampos.
t = τ·ln((18 − 6)/(8,4 − 6)) = 100·ln(5) = 160,9 ms
Atsakymas
t = 160,9 ms
Klausimai ir atsakymai
RC ir RL pereinamieji procesai: kas tai?
Kai uždarote jungiklį grandinėje, turinčioje tik rezistorius, kiekviena srovė iškart peršoka į naują reikšmę.
Šis sklandus pokytis vadinamas pereinamuoju procesu. Po kurio laiko grandinė nusistovi ir niekas nebesikeičia.
RC ir RL pereinamieji procesai: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
RC ir RL pereinamieji procesai: kokios klaidos dažniausios?
Iškrovimo grandinei naudojama įkrovimo formulė.
Supainiojami vienetai: kΩ kart µF duoda ms, o ne s.
Laiko konstantoje naudojama netinkama varža.
RC ir RL pereinamieji procesai: ką lavinsite?
Lengvas: RC įkrovimas
Vidutinis: RL grandinė
Sunkus: kondensatorius su pradiniu krūviu
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Kaip vyksta praktika
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.