Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio
Nemokami uždaviniai tema Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: elementai, teisingumo lentelės ir vėlinimai, Būlio algebra, Karno žemėlapiai ir multiplekseriai, nesvarbios reikšmės, trigeriai ir skaitikliai.
Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
NAND ir NOR yra universalieji elementai: bet kurią loginę funkciją galima sudaryti vien iš vieno iš jų. Koks mažiausias 2 įėjimų NAND elementų skaičius N reikalingas parodytai NOT funkcijai sudaryti?
F = A′
Tikslus atsakymas: sveikasis skaičius, be apvalinimo.
Lengvaselementai, teisingumo lentelės ir vėlinimai
VidutinisBūlio algebra, Karno žemėlapiai ir multiplekseriai
Sunkusnesvarbios reikšmės, trigeriai ir skaitikliai
Kaip spręsti uždavinius tema Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai
Grandinei dirbkite nuo įėjimų iki išėjimo po vieną elementą ir užrašykite reikšmę ant kiekvieno laido arba užrašykite išraišką ir užpildykite teisingumo lentelę.
Supaprastindami įrašykite vienetus (o nesvarbias reikšmes kaip X) į Karno žemėlapį su Grejaus kodo eilutėmis ir stulpeliais: 00, 01, 11, 10.
Vienetus padenkite kuo mažiau ir kuo didesnių 1, 2, 4, 8 ar 16 langelių grupių, apsisukančių per kraštus; kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys iš kintamųjų, kurie joje nesikeičia. POS formai grupuokite nulius.
Trigeriams ir skaitikliams skaitykite įėjimus kiekvienu aktyviu taktiniu frontu, užrašykite būseną po kiekvieno fronto ir atminkite, kad n bitų skaitiklis apsisuka po 2ⁿ būsenų.
Dažnos klaidos
Karno žemėlapio eilės tvarka 00, 01, 10, 11, o ne Grejaus kodas 00, 01, 11, 10.
Pamiršti, kad grupės gali apsisukti per kraštus, arba daryti 3 ar 6 langelių grupes.
Dengti nesvarbias reikšmes, kurios nepadidina grupės.
Pamiršti skaitiklio apsisukimą arba skaityti Q₃Q₂Q₁Q₀ netinkama tvarka.
Pagrindinės formulės
Pagrindiniai elementai
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Būlio taisyklės
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgano dėsniai
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Karno žemėlapio tvarka
00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ langelių grupė
netenka k kintamųjų
4 į 1 multiplekseris
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
Trigeriai
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Skaitikliai
n bitų: 2ⁿ būsenų; mod-N: mažiausias n, kad 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
Nuosekliojo veikimo (ripple) skaitiklis
fmax = 1/(n·tpd)
Žiediniai ir Johnsono skaitikliai
n ir 2n būsenų
Išmokite Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai nuo nulio
Skaitmeninės grandinės veikia su dviem reikšmėmis: 0 (žema įtampa, klaidinga) ir 1 (aukšta įtampa, teisinga). Loginis elementas turi vieną ar daugiau įėjimų ir vieną išėjimą.
AND duoda 1 tik tada, kai visi įėjimai lygūs 1. Žymima A·B arba AB.
OR duoda 1, kai bent vienas įėjimas lygus 1. Žymima A + B.
NOT invertuoja: 0 tampa 1, o 1 tampa 0. Žymima A′ (arba brūkšniu virš A).
NAND ir NOR yra AND ir OR, po kurių eina NOT; mažas apskritimas simbolyje reiškia „invertuota“.
XOR (A ⊕ B) duoda 1, kai įėjimai skiriasi.
Teisingumo lentelėje išvardytas išėjimas kiekvienam įėjimų deriniui: 2ⁿ eilučių, kai įėjimų n. Eilutė ABC = 101 yra penktoji eilutė, vadinama mintermu m₅.
Savikontrolė A = 1 ir B = 0. Ką duoda NAND elementas?
0
1
Nieko: NAND reikia, kad abu įėjimai būtų 1
Priklauso nuo ankstesnio išėjimo
Atsakymas: 1. A ir B AND yra 0, o NAND jį invertuoja į 1. NAND yra 0 tik tada, kai visi jo įėjimai lygūs 1.
2Būlio algebra
Loginės išraiškos paklūsta taisyklėms, panašioms į įprastos algebros, ir keletui savų. Naudingiausios iš jų:
X + X′ = 1 X·X′ = 0 X + X = X X + X·Y = X
X·Y + X·Y′ = X De Morgano dėsniai: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Jungimo taisyklė X·Y + X·Y′ = X yra supaprastinimo esmė: du nariai, besiskiriantys vienu kintamuoju, susijungia, ir tas kintamasis išnyksta.
Sandaugų suma (SOP) yra AND narių OR, pavyzdžiui, F = AB′ + C. Sumų sandauga (POS) yra OR narių AND, pavyzdžiui, F = (A + B)(B′ + C). Kiekvienas sandaugos narys sudarytas iš literalų: kintamųjų su brūkšneliu arba be jo.
3Karno žemėlapiai
Karno žemėlapis yra teisingumo lentelė, nubraižyta kaip tinklelis, kuriame gretimi langeliai skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Todėl eilutės ir stulpeliai eina 00, 01, 11, 10 (Grejaus kodas), o ne dvejetaine tvarka.
Įrašykite 1 kiekvieno mintermo langelyje; mažas skaičius langelyje yra jo mintermo numeris.
Apveskite 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampiais aplink vienetus. Grupės gali apsisukti per kraštus: kairysis ir dešinysis stulpeliai yra kaimynai, taip pat viršutinė ir apatinė eilutės.
Kiekvieną grupę darykite kuo didesnę ir naudokite kuo mažiau grupių, kol bus padengtas kiekvienas vienetas.
Skaitykite kiekvieną grupę kaip sandaugos narį: palikite tik kintamuosius, kurie grupės viduje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų.
Aukščiau pateiktame žemėlapyje keturi vienetai sudaro vieną grupę. Joje A kinta ir C kinta, tik B = 1 išlieka, todėl F = B.
X pažymėti langeliai yra nesvarbios reikšmės: įėjimų deriniai, kurie niekada nepasitaiko. Naudokite X kaip 1, kai tai padidina grupę, o kitais atvejais ignoruokite. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.
Savikontrolė Kiek literalų duoda 4 langelių grupė 4 kintamųjų žemėlapyje?
1
2
3
4
Atsakymas: 2. Keturi langeliai yra 2², todėl grupės viduje du kintamieji keičiasi ir iškrenta. Iš keturių kintamųjų lieka du.
4Išspręstas pavyzdys
Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.
Išspręstas pavyzdys
Raskite minimalią F(A, B, C) = Σm(0, 2, 4, 5, 6) SOP formą ir suskaičiuokite jos literalus.
1
Užpildykite žemėlapį
Eilutės A = 0, 1; stulpeliai BC = 00, 01, 11, 10. Vienetai rašomi į m0, m2 (0 eilutė, stulpeliai 00 ir 10) bei m4, m5, m6 (1 eilutė, stulpeliai 00, 01 ir 10).
2
Didžiausia grupė
Stulpeliai BC = 00 ir BC = 10 yra kaimynai per kraštą. Kartu juose yra m0, m2, m4 ir m6: keturių langelių grupė. Pastovus tik C = 0, todėl ši grupė yra C′.
3
Padenkite paskutinį vienetą
m5 (A = 1, BC = 01) dar nepadengtas. Sujunkite jį su kaimynu m4: šioje poroje A = 1 ir B = 0 išlieka pastovūs, taigi narys yra AB′.
4
Perskaitykite atsakymą
F = C′ + AB′
Trys literalai dviejuose nariuose. Grupuojant vien m5, gautume AB′C – ilgesnį narį: grupes visada darykite kuo didesnes, net jei jos persidengia.
Atsakymas
F = C′ + AB′, 3 literalai.
5Trigeriai ir skaitikliai
Loginiai elementai reaguoja į įėjimus iš karto. Trigeris (angl. flip-flop) saugo vieną bitą ir keičiasi tik aktyviu taktinio signalo frontu (dažniausiai kylančiuoju).
D trigeris: Q tampa D kiekvienu taktinio signalo frontu (Q⁺ = D).
T trigeris: perjungia, kai T = 1, ir išlaiko, kai T = 0.
JK trigeris: JK = 00 išlaiko, 01 nustato į 0, 10 nustato į 1, 11 perjungia.
Perjungiantis trigeris keičiasi kiekvienu kylančiuoju frontu, todėl jo išėjimo dažnis yra perpus mažesnis už taktinį. Sujungus n tokių trigerių, gaunamas n bitų dvejetainis skaitiklis su 2ⁿ būsenų. Mod-N skaitiklis skaičiuoja 0, 1, …, N − 1 ir grįžta į 0; jam reikia mažiausio n, kad 2ⁿ ≥ N, o paskutinis jo išėjimas veikia fclk/N dažniu.
Nuosekliajame (ripple) skaitiklyje kiekvieną pakopą taktuoja ankstesnė, todėl vėlinimai sumuojasi: taktinio signalo periodas turi būti ne trumpesnis nei n·tpd. Postūmio registro skaitikliai naudoja mažiau būsenų: n trigerių žiedinis skaitiklis turi n būsenų, Johnsono skaitiklis – 2n.
Savikontrolė 4 bitų dvejetainis didėjantis skaitiklis rodo 13. Ką jis rodys po dar 5 taktinių impulsų?
18
2
3
8
Atsakymas: 2. 4 bitų skaitiklis turi 16 būsenų ir iš 15 grįžta į 0: 13 + 5 = 18, o 18 mod 16 = 2. Užrašius 18 pamirštamas apsisukimas.
6Dažnos klaidos
Karno žemėlapio stulpelių užrašymas kaip 00, 01, 10, 11. Tvarka yra Grejaus kodo: 00, 01, 11, 10.
Pamiršti, kad grupės apsisuka per žemėlapio kraštus.
Daryti 3 ar 6 langelių grupes. Grupes sudaro 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių.
Dengti nesvarbią reikšmę, kuri nepadeda: X dengti nebūtina.
Skaityti grupę paliekant kintamuosius, kurie keičiasi. Palikite tik tuos, kurie išlieka pastovūs.
Pamiršti, kad skaitiklis apsisuka: n bitų skaitiklis skaičiuoja moduliu 2ⁿ.
7Kaip atrodo egzamino uždaviniai
Lengvas: apskaičiuokite loginių elementų grandinės išėjimą pagal duotus įėjimus, suskaičiuokite teisingumo lentelės vienetus, įrašykite mintermą į Karno žemėlapį, raskite NAND elementų skaičių funkcijai arba didžiausią sklidimo vėlinimą.
Vidutinis: supaprastinkite išraišką, raskite minimalią SOP arba POS formą Karno žemėlapiu, funkciją, sudarytą su multiplekseriu, arba pavienį žemėlapio vienetą.
Sunkus: žemėlapiai su nesvarbiomis reikšmėmis, esminiai pagrindiniai implikantai, trigerių laiko diagramos, skaitikliai po daugelio impulsų, trigerių skaičius ar išėjimo dažnis ir postūmio registrai.
Patikrinkite supaprastintą išraišką išbandydami vieną ar dvi teisingumo lentelės eilutes: pradinė ir supaprastinta forma turi duoti tą patį išėjimą.
NAND ir NOR yra universalieji elementai: bet kurią loginę funkciją galima sudaryti vien iš vieno iš jų. Koks mažiausias 2 įėjimų NAND elementų skaičius N reikalingas parodytai AND funkcijai sudaryti?
F = A·B
Raskite N
Rodyti užuominas
NAND elementas su sujungtais abiem įėjimais yra inverteris.
AND = NAND, po kurio eina inverteris; OR = invertuotų įėjimų NAND (De Morgano dėsnis).
Suskaičiuokite kiekvieną elementą, įskaitant naudojamus kaip inverterius.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Loginiai elementai: kiekvienas įėjimas ir išėjimas yra 0 arba 1. AND duoda 1 tik tada, kai visi įėjimai lygūs 1; OR duoda 1, kai bent vienas įėjimas lygus 1; NOT invertuoja. NAND ir NOR yra AND ir OR, po kurių eina NOT, o XOR duoda 1, kai įėjimai skiriasi. Grandinę nagrinėkite nuo įėjimų iki išėjimo, po vieną elementą. Teisingumo lentelėje išvardytas išėjimas visiems 2ⁿ įėjimų deriniams; eilutės numeris yra įėjimų dvejetainė reikšmė, todėl eilutė ABC = 101 yra minterma m₅.
Sudarykite iš NAND elementų
De Morgano dėsnis: A + B = (A′·B′)′, todėl OR yra invertuotų įėjimų NAND.
F = A·B = NOT(NAND(A, B))
Suskaičiuokite elementus
N = 2
Atsakymas
N = 2
Pavyzdys 2Vidutinis
Šiame Karno žemėlapyje lygiai vienas vienetas neturi gretimo vieneto, todėl minimalioje SOP formoje lieka vieno langelio grupe (pilna keturių literalų minterma). Kaimynai per žemėlapio kraštus skaičiuojami. Spustelėkite tą langelį.
F = Σm(0, 3, 4, 10, 13, 14, 15)
1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10
Rodyti užuominas
Gretimi langeliai skiriasi tiksliai vienu kintamuoju.
Kairiausias ir dešiniausias stulpeliai yra kaimynai, taip pat viršutinė ir apatinė eilutės.
Patikrinkite keturis kiekvieno vieneto kaimynus (viršuje, apačioje, kairėje, dešinėje, su apsisukimu).
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Karno žemėlapiai: langeliai išdėstyti Grejaus kodu (00, 01, 11, 10), todėl gretimi langeliai, įskaitant esančius per kraštus, skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Sugrupuokite vienetus į 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampius, kuo didesnius ir kuo mažiau, kol bus padengtas kiekvienas vienetas. Kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys: kintamieji, kurie joje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų. Nesvarbias reikšmes (X) galima naudoti grupėms didinti, bet jų dengti nebūtina. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.
Kiekvieno vieneto kaimynai
Vienetas su gretimu vienetu gali įeiti į dviejų ar daugiau langelių grupę.
m3: m2, m1, m7, m11 → 0
Izoliuotas vienetas
m3 = A′B′CD → AB = 00, CD = 11
Atsakymas
AB = 00, CD = 11
Pavyzdys 3Sunkus
Sinchroninis mod-12 skaitiklis skaičiuoja 0, 1, …, 11 ir tada grįžta į 0. Jis pradeda nuo 8. Kokį skaičių Q (dešimtainiu pavidalu) jis rodo po 36 taktinių impulsų?
Q0 = 836N = 12
Raskite Q
Rodyti užuominas
Skaitiklis turi 12 būsenų ir kartojasi po 12 impulsų.
Po k impulsų skaičius yra (8 + k) mod 12.
36 mod 12 = 0.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Trigeriai ir skaitikliai: trigeris keičiasi tik aktyviu taktinio signalo frontu. D nukopijuoja savo įėjimą (Q⁺ = D); T perjungia, kai T = 1; JK išlaiko esant 00, nustato į 0 esant 01, nustato į 1 esant 10 ir perjungia esant 11. n bitų dvejetainis skaitiklis turi 2ⁿ būsenų ir skaičiuoja moduliu 2ⁿ; mod-N skaitiklis skaičiuoja 0, 1, …, N − 1 ir grįžta į 0, jam reikia mažiausiai n trigerių, kad 2ⁿ ≥ N. Kiekviena nuosekliojo (ripple) skaitiklio pakopa perpus sumažina dažnį, todėl paskutinis mod-N skaitiklio išėjimas veikia fclk/N dažniu. n trigerių Johnsono skaitiklis turi 2n būsenų, žiedinis – n.
Pilni ciklai
Kas 12 impulsų skaitiklis grįžta į tą pačią būseną.
36 = 3·12 + 0
Skaičius po likusių impulsų
Q = (8 + 0) mod 12 = 8
Q = 1000₂
Atsakymas
Q = 8
Klausimai ir atsakymai
Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai: kas tai?
Skaitmeninės grandinės veikia su dviem reikšmėmis: 0 (žema įtampa, klaidinga) ir 1 (aukšta įtampa, teisinga). Loginis elementas turi vieną ar daugiau įėjimų ir vieną išėjimą.
Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
Grandinei dirbkite nuo įėjimų iki išėjimo po vieną elementą ir užrašykite reikšmę ant kiekvieno laido arba užrašykite išraišką ir užpildykite teisingumo lentelę.
Supaprastindami įrašykite vienetus (o nesvarbias reikšmes kaip X) į Karno žemėlapį su Grejaus kodo eilutėmis ir stulpeliais: 00, 01, 11, 10.
Vienetus padenkite kuo mažiau ir kuo didesnių 1, 2, 4, 8 ar 16 langelių grupių, apsisukančių per kraštus; kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys iš kintamųjų, kurie joje nesikeičia. POS formai grupuokite nulius.
Trigeriams ir skaitikliams skaitykite įėjimus kiekvienu aktyviu taktiniu frontu, užrašykite būseną po kiekvieno fronto ir atminkite, kad n bitų skaitiklis apsisuka po 2ⁿ būsenų.
Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai: kokios klaidos dažniausios?
Karno žemėlapio eilės tvarka 00, 01, 10, 11, o ne Grejaus kodas 00, 01, 11, 10.
Pamiršti, kad grupės gali apsisukti per kraštus, arba daryti 3 ar 6 langelių grupes.
Dengti nesvarbias reikšmes, kurios nepadidina grupės.
Pamiršti skaitiklio apsisukimą arba skaityti Q₃Q₂Q₁Q₀ netinkama tvarka.
Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai: ką lavinsite?
Lengvas: elementai, teisingumo lentelės ir vėlinimai
Vidutinis: Būlio algebra, Karno žemėlapiai ir multiplekseriai
Sunkus: nesvarbios reikšmės, trigeriai ir skaitikliai
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Kaip vyksta praktika
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.