Laplaso transformacijos: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio
Nemokami uždaviniai tema Laplaso transformacijos su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: transformacijų poros ir vertės teoremos, atvirkštinė transformacija paprastosiomis trupmenomis, Diferencialinės lygtys ir perdavimo funkcijos.
Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
Signalo f(t) Laplaso vaizdas yra F(s) = 22/(s(s² + 8s + 10)). Naudodami galutinės vertės teoremą raskite vertę f(∞), prie kurios nusistovi f(t).
Grandines, variklius ir talpyklas aprašo diferencialinės lygtys: išėjimas priklauso nuo savo kitimo spartos. Tokias lygtis tiesiogiai spręsti lėta.
Laplace'o transformacija tokią problemą paverčia algebra. Kiekvieną laiko funkciją f(t) pakeičiate naujo kintamojo s funkcija F(s).
Problemą išsprendžiate įprasta algebra su s, o tada rezultatą išverčiate atgal į laiką. Tas paskutinis žingsnis yra atvirkštinė transformacija.
F(s) = ℒ{f(t)} = ∫₀∞ f(t)·e−st dt
Šio integralo jums retai prireikia. Praktikoje transformacijų poras ieškote lentelėje, kaip žodžių žodyne tarp dviejų kalbų.
Paveiksle rodomi trys dažni signalai: pastovi 1 (šuolis), mažėjanti eksponentė ir sinusoidė. Po kiekvienu pateikta jo transformacija.
Savikontrolė Kokia yra pastovaus signalo f(t) = 5 Laplace'o transformacija?
1/(5s)
5/s
5
5s
Atsakymas: 5/s. Pastovus daugiklis lieka priekyje, o ℒ{1} = 1/s. Taigi ℒ{5} = 5/s. Atsakymas 5 pamiršta, kad pastovios transformacija visada turi daugiklį 1/s.
2Transformacijų porų lentelė
Išmokite šias penkias poras. Kartu su dviem taisyklėmis jos apima beveik kiekvieną egzamino uždavinį.
1 ↔ 1/s e−at ↔ 1/(s + a) t·e−at ↔ 1/(s + a)² sin ωt ↔ ω/(s² + ω²) cos ωt ↔ s/(s² + ω²)
Tiesiškumas: konstantos lieka priekyje, o suma transformuojama nariais. Taigi 3/(s + 2) ↔ 3·e−2t.
Postūmis: pakeitus s į s + a, laiko funkcija dauginama iš e−at. Taigi (s + 2)/((s + 2)² + 9) ↔ e−2t·cos 3t.
Stebėkite sinuso porą: skaitiklis turi būti pats ω. Kai 12/(s² + 9), ω = 3, todėl rašykite 12 = 4·3. Rezultatas yra 4·sin 3t.
sin ωt ir cos ωt kampas ωt yra radianais. Prieš skaičiuodami nustatykite skaičiuotuvą į radianus.
Išspręstas pavyzdys
Raskite f(t), kai F(s) = 6/(s + 3) + 2/s, ir apskaičiuokite f(0,5).
1
Suporuokite kiekvieną narį su pora
6/(s + 3) turi formą 1/(s + a), kai a = 3, padaugintą iš 6. Narys 2/s yra konstanta 2.
6/(s + 3) ↔ 6·e−3t 2/s ↔ 2
2
Užrašykite f(t)
Sudėkite dvi dalis (tiesiškumas):
f(t) = 6·e−3t + 2
3
Apskaičiuokite ties t = 0,5
f(0,5) = 6·e−1,5 + 2 = 6·0,2231 + 2 = 3,34
Atsakymas
f(t) = 6·e−3t + 2, taigi f(0,5) ≈ 3,34.
Savikontrolė Kokia yra 8/(s² + 16) atvirkštinė transformacija?
2·cos 4t
2·sin 4t
8·sin 16t
8·sin 4t
Atsakymas: 2·sin 4t. ω² = 16, taigi ω = 4. Porai skaitiklyje reikia 4: 8 = 2·4, tai duoda 2·sin 4t. 8·sin 4t pamiršta dalyti iš ω. Kosinusas priklauso s skaitiklyje.
3Pradinė ir galutinė reikšmės be inversijos
Kartais reikia žinoti tik, kur f(t) prasideda ar kur baigiasi. Dvi teoremos tai duoda tiesiai iš F(s).
f(0⁺) = lims→∞ s·F(s) f(∞) = lims→0 s·F(s)
Pradinė reikšmė (s → ∞): labai dideliam s svarbus tik didžiausias s laipsnis skaitiklyje ir vardiklyje.
Galutinė reikšmė (s → 0): suprastinkite daugiklį s, tada visuose likusiuose daugikliuose, įskaitant nulius, įrašykite s = 0.
Galutinės reikšmės teorema veikia tik jei f(t) tikrai nusistovi: visi s·F(s) poliai turi turėti neigiamą realiąją dalį.
Galutinė reikšmė: kai F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)), gaunate s·F(s) = 12/((s + 2)(s + 3)). Ties s = 0 tai yra 12/6 = 2, taigi f(∞) = 2.
Pradinė reikšmė: kai F(s) = (3s + 10)/(s² + 5s + 6), gaunate s·F(s) = (3s² + 10s)/(s² + 5s + 6). Dideliam s tai elgiasi kaip 3s²/s², taigi f(0⁺) = 3.
Pradiniam nuolydžiui f′(0⁺) naudokite išvestinės transformaciją ℒ{f′} = s·F(s) − f(0⁺). Tada jai taikykite pradinės reikšmės teoremą:
f′(0⁺) = lims→∞ s·[s·F(s) − f(0⁺)]
Tai pačiai F(s): s·F(s) − 3 = (−5s − 18)/(s² + 5s + 6). Padauginkite iš s ir leiskite s → ∞. Didžiausi laipsniai duoda −5s²/s², taigi f′(0⁺) = −5.
Savikontrolė F(s) = 10(s + 2)/(s(s + 4)(s + 5)). Prie kokios reikšmės nusistovi f(t)?
0,5
0
1
20
Atsakymas: 1. s·F(s) = 10(s + 2)/((s + 4)(s + 5)), kas ties s = 0 yra 20/20 = 1. Praleidus nulio daugiklį (s + 2) gaunama 0,5. Reikšmė 0 yra riba s → ∞, tai yra pradinė reikšmė.
4Dalinės trupmenos žingsnis po žingsnio
Dauguma F(s) lentelėje tokios, kokios yra, nėra. Jas suskaidote į paprastas trupmenas, kurios yra. Tai vadinama dalinėmis trupmenomis.
Kiekviena vardiklio šaknis yra polius. Paprastas polius ties s = −a duoda vieną narį A/(s + a), kuris laike tampa A·e−at.
F(s) = A/(s + a) + B/(s + b) ⇒ f(t) = A·e−at + B·e−bt
Uždengimo taisyklė randa kiekvieną koeficientą. Norėdami rasti A, uždenkite daugiklį (s + a) F(s) išraiškoje ir viskame, kas lieka, įrašykite s = −a.
Pavyzdys: F(s) = (s + 7)/((s + 1)(s + 4)). Tada A = (−1 + 7)/(−1 + 4) = 6/3 = 2 ir B = (−4 + 7)/(−4 + 1) = −1. Taigi f(t) = 2e−t − e−4t.
Poliaus padėtis nurodo formą. Realusis polius ties −3 duoda grynąjį mažėjimą e−3t. Kompleksinė pora −1 ± j2 duoda mažėjančius virpesius, e−t kartų sin 2t arba cos 2t.
Pasikartojantis polius (s + a)²: užrašykite A/(s + a) + B/(s + a)². Antrasis narys duoda B·t·e−at. Taigi (s + 4)/(s + 1)² = 1/(s + 1) + 3/(s + 1)² ↔ e−t + 3t·e−t.
Išskaidykite vardiklį daugikliais ir surašykite polius. Kvadratiniam daugianariui raskite šaknis arba išskirkite pilną kvadratą.
Užrašykite po vieną trupmeną kiekvienam poliui: A/s, B/(s + a) ir taip toliau. Pasikartojantis polius gauna ir kvadratinį narį.
Kiekvieną koeficientą raskite pagal uždengimo taisyklę. Išlaikykite likusių daugiklių ženklus.
Kiekvieną narį grąžinkite į laiką pagal lentelę.
Įrašykite laiką t (sinusui ir kosinusui radianais). Patikrinkite f(0⁺) ir f(∞) pagal reikšmių teoremas.
Savikontrolė F(s) = (s + 5)/((s + 1)(s + 3)) = A/(s + 1) + B/(s + 3). Kiek yra A?
2
4
−1
−2
Atsakymas: 2. Uždenkite (s + 1) ir likusioje dalyje įrašykite s = −1: (−1 + 5)/(−1 + 3) = 4/2 = 2. Reikšmė −1 yra B. 4 gaunama pamiršus padalyti iš likusio daugiklio, o −2 – apvertus likusio daugiklio ženklą: 4/(−2) vietoj 4/2.
5Išspręstas pavyzdys
Tai tipiškas vidutinio sunkumo klausimas. Išbandykite kiekvieną žingsnį patys, prieš jį atidarydami.
Išspręstas pavyzdys
Raskite f(t), kai F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)), dalinėmis trupmenomis ir apskaičiuokite f(0,5).
1
Sudarykite trupmenas
Vardiklis jau išskaidytas. Poliai yra s = 0, s = −2 ir s = −3, visi paprasti.
F(s) = A/s + B/(s + 2) + C/(s + 3)
2
Uždengimas A
Uždenkite daugiklį s ir likusiame įrašykite s = 0:
A = 12/((0 + 2)(0 + 3)) = 12/6 = 2
3
Uždengimas B ir C
Uždenkite (s + 2) ir įrašykite s = −2. Tada uždenkite (s + 3) ir įrašykite s = −3. Išlaikykite kiekvieną ženklą.
B = 12/((−2)(−2 + 3)) = 12/(−2) = −6
C = 12/((−3)(−3 + 2)) = 12/3 = 4
4
Atgal į laiką
Kiekvienas narys yra lentelės pora: 2/s ↔ 2, o B/(s + a) ↔ B·e−at.
Ties t = 0: 2 − 6 + 4 = 0. Pradinės reikšmės teorema sutampa, nes dideliam s s·F(s) → 0.
Kai t → ∞, lieka tik 2. Galutinės reikšmės teorema taip pat duoda 12/(2·3) = 2.
Atsakymas
f(t) = 2 − 6e−2t + 4e−3t, taigi f(0,5) ≈ 0,685.
6Dažnos klaidos
Painiojamos teoremos: s → ∞ duoda pradinę reikšmę f(0⁺), o s → 0 duoda galutinę reikšmę f(∞).
Pamirštamas daugiklis s išraiškoje s·F(s) arba praleidžiamas nulio daugiklis, pavyzdžiui, (s + 2), kai įrašomas s = 0.
Ženklo klaidos uždengimo taisyklėje: ties s = −3 daugiklis (s + 2) lygus −1, o ne 5.
Naudojama sinuso pora nedalijant iš ω: ω/(s² + ω²) skaitiklyje reikia ω.
sin ωt arba cos ωt skaičiuojamas skaičiuotuvu laipsniais. Kampas ωt yra radianais.
Galutinės reikšmės teorema naudojama, kai f(t) niekada nenusistovi, pavyzdžiui, F(s) = 1/(s² + 4), kuri yra gryna sinusoidė.
Savikontrolė F(s) = 6/((s + 1)(s + 3)). Pagal uždengimo taisyklę, koks e−3t koeficientas B?
3
6
−2
−3
Atsakymas: −3. Uždenkite (s + 3) ir likusiame įrašykite s = −3: 6/(−3 + 1) = 6/(−2) = −3. Teigiamas 3 yra ženklo klaida (tai e−t koeficientas A). −2 dalija iš poliaus reikšmės, o ne iš likusio daugiklio.
7Kaip atrodo egzamino uždaviniai
Lengvi: lentelės poros ir reikšmių teoremos. Invertuojate konstantą, eksponentę, t·e−at, sinusą ar kosinusą ir apskaičiuojate jį arba randate f(0⁺), f(∞) ar pradinį nuolydį f′(0⁺).
Vidutiniai: atvirkštinės transformacijos dalinėmis trupmenomis. Randate vieną koeficientą A, invertuojate tris paprastus polius s(s + a)(s + b), pasikartojantį polių arba kompleksinius polius išskirdami pilną kvadratą.
Sunkūs: diferencialinės lygtys ir perdavimo funkcijos, pavyzdžiui, y″ + 7y′ + 6y = 15·u(t) su duotomis pradinėmis reikšmėmis. Randate y duotu laiku.
Sunkiam lygiui kiekvieną išvestinę transformuokite kartu su jos pradinėmis sąlygomis:
ℒ{y′} = s·Y − y(0) ℒ{y″} = s²·Y − s·y(0) − y′(0)
Tada išspręskite algebrinę lygtį Y(s) atžvilgiu ir invertuokite ją dalinėmis trupmenomis, kaip išspręstame pavyzdyje.
Signalo f(t) Laplaso vaizdas yra F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23)). Naudodami galutinės vertės teoremą raskite vertę f(∞), prie kurios nusistovi f(t).
F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))
Raskite f(∞)
Rodyti užuominas
Galutinės vertės teorema: f(∞) = lim s·F(s), kai s → 0.
Pirmiausia patikrinkite, ar visi s·F(s) poliai yra kairiojoje pusplokštumėje, kad f(t) tikrai nusistovėtų.
s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Laplaso transformacija: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt išvestines paverčia daugyba iš s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standartinės poros: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), o postūmis s → s + σ laiko funkciją padaugina iš e−σt. Norėdami atlikti racionaliosios F(s) atvirkštinę transformaciją, išskaidykite ją į paprastąsias trupmenas: paprastojo poliaus p reziduumas yra A = [(s − p)·F(s)] ties s = p. Galutinės vertės teorema: f(∞) = lims→0 s·F(s), galioja tik tada, kai visi s·F(s) poliai yra kairiojoje pusplokštumėje. Pradinės vertės teorema: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Patikrinkite, ar teorema taikoma
Teorema galioja tik tada, kai f(t) nusistovi; polius ant menamosios ašies arba dešiniojoje pusplokštumėje duotų neteisingą atsakymą.
Uždengimo taisyklė: A = [(s + 6)·F(s)] ties s = −6.
Ties s = −6: skaitiklis 16, kitas daugiklis 2.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio
Laplaso transformacija: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt išvestines paverčia daugyba iš s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standartinės poros: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), o postūmis s → s + σ laiko funkciją padaugina iš e−σt. Norėdami atlikti racionaliosios F(s) atvirkštinę transformaciją, išskaidykite ją į paprastąsias trupmenas: paprastojo poliaus p reziduumas yra A = [(s − p)·F(s)] ties s = p. Galutinės vertės teorema: f(∞) = lims→0 s·F(s), galioja tik tada, kai visi s·F(s) poliai yra kairiojoje pusplokštumėje. Pradinės vertės teorema: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Išskaidykite vardiklį dauginamaisiais
s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)
Uždengimo taisyklė
Padauginkite iš (s + 6) ir įrašykite s = −6: B narys išnyksta.
A = (s + 22)/(s + 8) |s = −6 = 16/2 = 8
Atsakymas
A = 8
(B = −7, taigi f(t) = 8·e−6t − 7·e−8t)
Pavyzdys 3Sunkus
Sistema tenkina y″ + 7y′ + 10y = 30·u(t), kai y(0) = 5 ir y′(0) = 0. Ties t = 0 pridedamas šuolinis įėjimas u(t) = 5. Laplaso transformacija raskite y(0,6).
Laplaso transformacija: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt išvestines paverčia daugyba iš s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standartinės poros: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), o postūmis s → s + σ laiko funkciją padaugina iš e−σt. Norėdami atlikti racionaliosios F(s) atvirkštinę transformaciją, išskaidykite ją į paprastąsias trupmenas: paprastojo poliaus p reziduumas yra A = [(s − p)·F(s)] ties s = p. Galutinės vertės teorema: f(∞) = lims→0 s·F(s), galioja tik tada, kai visi s·F(s) poliai yra kairiojoje pusplokštumėje. Pradinės vertės teorema: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Transformuokite lygtį
(s² + 7s + 10)·Y(s) = 5s + 35 + 150/s
Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5))
Paprastosios trupmenos
A = 150/(2·5) = 15
B = 100/((−2)·3) = −16,67
C = 100/((−5)·(−3)) = 6,667
Rezultatas
y(t) = 15 − 16,67·e−2t + 6,667·e−5t
y(0,6) = 10,31
Atsakymas
y(0,6) = 10,31
Patikra: y(0) = A + B + C = 5.
Klausimai ir atsakymai
Laplaso transformacijos: kas tai?
Grandines, variklius ir talpyklas aprašo diferencialinės lygtys: išėjimas priklauso nuo savo kitimo spartos. Tokias lygtis tiesiogiai spręsti lėta.
Problemą išsprendžiate įprasta algebra su s, o tada rezultatą išverčiate atgal į laiką. Tas paskutinis žingsnis yra atvirkštinė transformacija.
Laplaso transformacijos: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
Laplaso transformacija: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt išvestines paverčia daugyba iš s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standartinės poros: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), o postūmis s → s + σ laiko funkciją padaugina iš e−σt. Norėdami atlikti racionaliosios F(s) atvirkštinę transformaciją, išskaidykite ją į paprastąsias trupmenas: paprastojo poliaus p reziduumas yra A = [(s − p)·F(s)] ties s = p. Galutinės vertės teorema: f(∞) = lims→0 s·F(s), galioja tik tada, kai visi s·F(s) poliai yra kairiojoje pusplokštumėje. Pradinės vertės teorema: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Laplaso transformacijos: kokios klaidos dažniausios?
Ties s = 0 daugiklis s² + 2s + 23 lygus laisvajam nariui 23.
Imkite ribą s → 0, o ne s = 1.
Tai B, e−8t koeficientas. A priklauso poliui s = −6.
Sunkus: Diferencialinės lygtys ir perdavimo funkcijos
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Kaip vyksta praktika
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.