Matematinė analizė 2: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Sekos ir eilutės

Aritmetinė seka: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrinė seka: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Begalinė geometrinė eilutė: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p eilutė: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergavimo spindulys: R = lim |c_k/c_k+1|
Teiloro polinomas: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maklorino eilutė: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagranžo paklaidos įvertis: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodas

Nustatykite tipą: aritmetinė (pastovus skirtumas), geometrinė (pastovus daugiklis), standartinė eilutė, laipsninė eilutė arba Teiloro polinomas.
Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Dalinės išvestinės: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradientas: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Išvestinė pagal kryptį: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Liečiamoji plokštuma: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Grandinės taisyklė: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Antros eilės išvestinių testas: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dvilypis integralas: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Polinės koordinatės: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metodas

Dalinei išvestinei kitą kintamąjį laikykite konstanta ir naudokite vieno kintamojo taisykles.
Gradiento uždaviniuose taške apskaičiuokite ∇f = (f_x, f_y); stačiausiam nuolydžiui naudokite |∇f|, o išvestinei pagal kryptį – ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u.
Ekstremumams kartu išspręskite f_x = 0 ir f_y = 0, tada kiekvieną tašką klasifikuokite pagal D = f_xx·f_yy − f_xy².
Dvilypiam integralui nubraižykite sritį, pasirinkite tvarką (arba polines koordinates skrituliams), kad vidinės ribos būtų ribojančios kreivės, ir integruokite pirmiausia vidų.

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Uždaviniai

1.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₂¹⁰ 5/x dx.

f(x) = 5/x[2, 10]

I =

2.IntegralaiSunkus

Apskaičiuokite I = ∫₀³ x²·eˣ dx.

∫₀³ x²eˣ dx

I =

3.Sekos ir eilutėsVidutinis

Raskite sumą S = Σ_k=1^∞ 6/(k(k + 4)).

a_k = 6/(k(k + 4))

S =

4.Sekos ir eilutėsSunkus

f(x) = ln(1 + x) aproksimuojama 3 laipsnio Maklorino polinomu taške x = 0,2. Naudodami Lagranžo paklaidos įvertį M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! su M = 3! = 6, raskite didžiausią galimą paklaidą |R₃|.

f(x) = ln(1 + x)n = 3x = 0,2M = 6

|R₃| =

5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasVidutinis

Naudokite f(x, y) = 2 sin(−3x − 3y) liečiamąją plokštumą taške (2, 0,5) f(2,2, 0,4) apytiksliai rasti. Pateikite tiesinę aproksimaciją L.

f(x, y) = 2 sin(−3x − 3y)(a, b) = (2, 0,5)(x, y) = (2,2, 0,4)

L =

6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasSunkus

Pažymėti taškai yra f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy kritiniai taškai. Spustelėkite balno tašką.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy

1A (1, 1)
2B (0, 0)
3C (−1, −1)

7.Diferencialinės lygtysVidutinis

Išspręskite y″ + 8y′ + 16y = 0, kai y(0) = 3 ir y′(0) = 0. Raskite y(1,5).

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(1.5) =

8.Diferencialinės lygtysSunkus

Sistema tenkina y″ + 4y′ + 8y = 40, kai t ≥ 0, pradedant iš rimties: y(0) = 0, y′(0) = 0. Raskite y(1,5); kampai radianais.

y″ + 4y′ + 8y = 40y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

3Tirpalai

1.Integralai

Atsakymas: I = 8,047

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = 5·ln x

Įstatykite rėžius

I = 5·(ln 10 − ln 2) = 5·ln 5 = 8,047

Atsakymas

I = 8,047

2.Integralai

Atsakymas: I = 98,43

Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.

Pirmasis ciklas

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Antrasis ciklas

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Ribos

20,09·(5) − 1·2 = 98,43

Atsakymas

I = 98,43

3.Sekos ir eilutės

Atsakymas: S = 3,125

Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σc_k(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |c_k/c_k+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.

Paprastosios trupmenos

6/(k(k + 4)) = (6/4)·(1/k − 1/(k + 4))

Atšaukti

S = (6/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 3,125

Atsakymas

S = 3,125

4.Sekos ir eilutės

Atsakymas: |R₃| = 0,0004

Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.

Išvestinės įvertis

M = 3! = 6

Lagranžo įvertis

|R₃| ≤ 6·0,2⁴/4! = 0,0004

Atsakymas

|R₃| = 0,0004

Tikroji paklaida mažesnė: |f(0,2) − P₃(0,2)| = 0,0003451.

5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Atsakymas: L = −2,084

Gradientas: ∇f = (f_x, f_y) nukreiptas stačiausio kilimo kryptimi, o |∇f| yra didžiausias kitimo greitis. Išvestinė kryptimi v yra D_uf = ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u = v/|v|. Liečiamoji plokštuma taške (a, b) yra z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); ji duoda tiesinę f aproksimaciją šalia to taško. Sudėtinės funkcijos taisyklė: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Reikšmė ir nuolydžiai taške

f(2, 0,5) = −1,876

f_x = −6 cos(−3x − 3y) → f_x(2, 0,5) = −2,08

f_y = −6 cos(−3x − 3y) → f_y(2, 0,5) = −2,08

Liečiamoji plokštuma

z = −1,876 − 2,08(x − 2) − 2,08(y − 0,5)

z = −2,08x − 2,08y + 3,324

Tiesinė aproksimacija

L = −1,876 + (−2,08)·0,2 + (−2,08)·(−0,1) = −2,084

Atsakymas

L = −2,084

Tiksli reikšmė yra f = −1,997087; plokštuma artima, nes žingsnis mažas.

6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Atsakymas: B (0, 0)

Kritiniai taškai ir dvilypiai integralai: kritiniame taške f_x = f_y = 0. Antros eilės išvestinių testas su D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 ir f_xx > 0 yra lokalusis minimumas, D > 0 ir f_xx < 0 – lokalusis maksimumas, D < 0 – balno taškas, o D = 0 nieko nenusprendžia. Dvilypiam integralui bendrojoje srityje vidinėmis ribomis imkite sritį ribojančias kreives; skritulių ir išpjovų atveju naudokite polines koordinates, x = r cos θ, y = r sin θ ir dA = r dr dθ (nepamirškite daugiklio r).

Kritiniai taškai

Kartu išspręskite f_x = 0 ir f_y = 0.

f_x = 4x³ − 4y = 0

f_y = 4y³ − 4x = 0

(0, 0), (1, 1), (−1, −1)

Antros eilės išvestinių testas

(0, 0): f_xx = 0, f_yy = 0, f_xy = −4, D = −16 → balno taškas

(1, 1): f_xx = 12, f_yy = 12, f_xy = −4, D = 128 → lokalusis minimumas

(−1, −1): f_xx = 12, f_yy = 12, f_xy = −4, D = 128 → lokalusis minimumas

Taškas

B (0, 0): balno taškas

Atsakymas

B (0, 0)

7.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1.5) = 0,05205

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Dviguba šaknis

(r + 4)² = 0 → r = −4

Konstantos

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 4A → B = 0 + 12 = 12

Apskaičiuokite

y(1,5) = (3 + 12·1,5)·e⁻⁶ = 0,05205

Atsakymas

y(1,5) = 0,05205

8.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1.5) = 5,211

Nusistovėjusi vertė ir šaknys

y_ss = 5, r = −2 ± 2j

Konstantos pagal pradines vertes

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −2A + 2B = 0 → B = −5

Apskaičiuokite

y(1,5) = 5·(1 − e⁻³(cos 3 + 1·sin 3)) = 5,211

Atsakymas

y(1,5) = 5,211

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2