Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Dalinės išvestinės
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradientas
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Išvestinė pagal kryptį
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Liečiamoji plokštuma
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Grandinės taisyklė
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Antros eilės išvestinių testas
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dvilypis integralas
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Polinės koordinatės
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Metodas
Dalinei išvestinei kitą kintamąjį laikykite konstanta ir naudokite vieno kintamojo taisykles.
Gradiento uždaviniuose taške apskaičiuokite ∇f = (fx, fy); stačiausiam nuolydžiui naudokite |∇f|, o išvestinei pagal kryptį – ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u.
Ekstremumams kartu išspręskite fx = 0 ir fy = 0, tada kiekvieną tašką klasifikuokite pagal D = fxx·fyy − fxy².
Dvilypiam integralui nubraižykite sritį, pasirinkite tvarką (arba polines koordinates skrituliams), kad vidinės ribos būtų ribojančios kreivės, ir integruokite pirmiausia vidų.
Diferencialinės lygtys
Eksponentinis augimas / mažėjimas
dy/dt = ky → y = y0ekt
Pusėjimo trukmė
k = ln 2 / t½
Niutono aušimo dėsnis
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integruojantysis daugiklis
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Maišymo talpa
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Uždaviniai
1.IntegralaiVidutinis
Apskaičiuokite I = ∫15 3/x dx.
f(x) = 3/x[1, 5]
I =
2.IntegralaiSunkus
Raskite srities, apribotos y = x2 ir y = 2x, plotą A.
y = x2y = 2x
A =
3.Sekos ir eilutėsVidutinis
Lygiai viena iš keturių eilučių diverguoja. Spustelėkite ją.
Integralo I = ∫01,5 ∫x1,5 sin(y²) dy dx šia tvarka apskaičiuoti negalima. Pakeiskite integravimo tvarką ir apskaičiuokite jį.
f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 1,5
I =
7.Diferencialinės lygtysVidutinis
Išspręskite y″ + 8y′ + 16y = 0, kai y(0) = 2 ir y′(0) = 2. Raskite y(1).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 2y′(0) = 2
y(1) =
8.Diferencialinės lygtysSunkus
Išspręskite y″ + 4y′ + 13y = 0, kai y(0) = 3 ir y′(0) = 0 (paleista iš rimties). Raskite y(1); kampai radianais.
y″ + 4y′ + 13y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(1) =
3Tirpalai
1.Integralai
Atsakymas: I = 4,828
Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.
Pirmykštė funkcija
F(x) = 3·ln x
Įstatykite rėžius
I = 3·(ln 5 − ln 1) = 3·ln 5 = 4,828
Atsakymas
I = 4,828
2.Integralai
Atsakymas: A = 1,333
Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.
Susikirtimo taškai
x2 = 2x → x = 0, x = 2
Integruokite viršutinę minus apatinę
A = [x2 − 0,3333x3]02 = 1,333
Atsakymas
A = 1,333
3.Sekos ir eilutės
Atsakymas: A: Σ 1/k
Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |ak+1/ak|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |ak|1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σck(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |ck/ck+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.
D: Σ 1/(k² + 6) → Mažesnė už 1/k², konverguojančią p eilutę: konverguoja pagal palyginimo kriterijų.
Atsakymas
A: Σ 1/k
Atsakymas
A: Σ 1/k
4.Sekos ir eilutės
Atsakymas: P₃(1.2) = 0,232
Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.
Maklorino polinomas
P₃(x) = 1 − x + 0,5x² − 0,1667x³
Įstatykite
P₃(1,2) = 1 − 1,2 + 0,72 − 0,288 = 0,232
Atsakymas
P₃(1,2) = 0,232
Tiksli reikšmė yra f(1,2) = 0,301194; paklaida 0,0691942 mažėja, kai imama daugiau narių arba taškas arčiau 0.
5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Atsakymas: Duf = −30,36
Gradientas: ∇f = (fx, fy) nukreiptas stačiausio kilimo kryptimi, o |∇f| yra didžiausias kitimo greitis. Išvestinė kryptimi v yra Duf = ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u = v/|v|. Liečiamoji plokštuma taške (a, b) yra z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ji duoda tiesinę f aproksimaciją šalia to taško. Sudėtinės funkcijos taisyklė: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Gradientas taške
fx = −3y² − 3x² − 2y → fx(1, 3) = −36
fy = −6xy − 2x → fy(1, 3) = −20
Vienetinis vektorius
|v| = √(1² + 3²) = 3,162
u = (0,3162, 0,9487)
Skaliarinė sandauga
Duf = (−36)·0,3162 + (−20)·0,9487 = −30,36
Atsakymas
Duf = −30,36
6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Atsakymas: I = 0,8141
Kritiniai taškai ir dvilypiai integralai: kritiniame taške fx = fy = 0. Antros eilės išvestinių testas su D = fxxfyy − fxy²: D > 0 ir fxx > 0 yra lokalusis minimumas, D > 0 ir fxx < 0 – lokalusis maksimumas, D < 0 – balno taškas, o D = 0 nieko nenusprendžia. Dvilypiam integralui bendrojoje srityje vidinėmis ribomis imkite sritį ribojančias kreives; skritulių ir išpjovų atveju naudokite polines koordinates, x = r cos θ, y = r sin θ ir dA = r dr dθ (nepamirškite daugiklio r).
Sritis
0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1,5
Pakeista tvarka
I = ∫01,5 ∫0y sin(y²) dx dy = ∫01,5 y·sin(y²) dy
Keitinys u = y²
I = [−cos(y²)/2]01,5 = 0,8141
Atsakymas
I = 0,8141
7.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: y(1) = 0,2198
Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = ert: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·er₁t + B·er₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·ert (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.
Dviguba šaknis
(r + 4)² = 0 → r = −4
Konstantos
A = y(0) = 2
y′(0) = B − 4A → B = 2 + 8 = 10
Apskaičiuokite
y(1) = (2 + 10·1)·e−4 = 0,2198
Atsakymas
y(1) = 0,2198
8.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: y(1) = −0,3637
Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = ert: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·er₁t + B·er₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·ert (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.