Matematinė analizė 2: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Sekos ir eilutės

Aritmetinė seka: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrinė seka: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Begalinė geometrinė eilutė: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p eilutė: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergavimo spindulys: R = lim |c_k/c_k+1|
Teiloro polinomas: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maklorino eilutė: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagranžo paklaidos įvertis: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodas

Nustatykite tipą: aritmetinė (pastovus skirtumas), geometrinė (pastovus daugiklis), standartinė eilutė, laipsninė eilutė arba Teiloro polinomas.
Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Dalinės išvestinės: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradientas: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Išvestinė pagal kryptį: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Liečiamoji plokštuma: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Grandinės taisyklė: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Antros eilės išvestinių testas: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dvilypis integralas: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Polinės koordinatės: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metodas

Dalinei išvestinei kitą kintamąjį laikykite konstanta ir naudokite vieno kintamojo taisykles.
Gradiento uždaviniuose taške apskaičiuokite ∇f = (f_x, f_y); stačiausiam nuolydžiui naudokite |∇f|, o išvestinei pagal kryptį – ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u.
Ekstremumams kartu išspręskite f_x = 0 ir f_y = 0, tada kiekvieną tašką klasifikuokite pagal D = f_xx·f_yy − f_xy².
Dvilypiam integralui nubraižykite sritį, pasirinkite tvarką (arba polines koordinates skrituliams), kad vidinės ribos būtų ribojančios kreivės, ir integruokite pirmiausia vidų.

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Uždaviniai

1.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₁³ x·ln x dx.

∫₁³ x ln x dx

I =

2.IntegralaiSunkus

Raskite srities, apribotos y = 2x² ir y = 4x, plotą A.

y = 2x²y = 4x

A =

3.Sekos ir eilutėsVidutinis

Taikykite Koši šaknies kriterijų eilutei Σ_k=1^∞ ((2k + 1)/(5k + 3))ᵏ. Raskite L = lim |a_k|^1/k.

a_k = ((2k + 1)/(5k + 3))ᵏ

L =

4.Sekos ir eilutėsSunkus

f(x) = sin x taške x = 1,5 aproksimuojama n laipsnio Maklorino polinomu. Naudodami Lagranžo įvertį M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! su M = 1, raskite mažiausią laipsnį n, garantuojantį paklaidą, mažesnę nei 0,0005.

f(x) = sin xx = 1,5M = 1ε = 0,0005

n =

5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasVidutinis

Kai f(x, y) = 2y·e^xy, raskite išvestinę kryptimi D_uf taške (1, 2) vektoriaus v = (3, −1) kryptimi.

f(x, y) = 2y·e^xyP = (1, 2)v = (3, −1)

D_uf =

6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasSunkus

Raskite f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y kritinius taškus, juos klasifikuokite ir nurodykite f reikšmę f_min lokaliajame minimume.

f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y

f_min =

7.Diferencialinės lygtysVidutinis

Išspręskite y″ + 4y′ + 3y = 0, kai y(0) = 3 ir y′(0) = 2. Raskite y(2).

y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 3y′(0) = 2

y(2) =

8.Diferencialinės lygtysSunkus

Sistema tenkina y″ + 2y′ + 5y = 5, kai t ≥ 0, pradedant iš rimties: y(0) = 0, y′(0) = 0. Raskite jos šuolinio atsako didžiausią vertę y_max.

y″ + 2y′ + 5y = 5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3Tirpalai

1.Integralai

Atsakymas: I = 2,944

Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.

Pasirinkite u ir dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Pirmykštė funkcija

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Ribos

(4,5·ln 3 − 2,25) − (0 − 0,25) = 2,944

Atsakymas

I = 2,944

2.Integralai

Atsakymas: A = 2,667

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Susikirtimo taškai

2x² = 4x → x = 0, x = 2

Integruokite viršutinę minus apatinę

A = [2x² − 0,6667x³]₀² = 2,667

Atsakymas

A = 2,667

3.Sekos ir eilutės

Atsakymas: L = 0,4

Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σc_k(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |c_k/c_k+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.

Narių šaknis

|a_k|^1/k = (2k + 1)/(5k + 3) → 2/5

Išvada

L = 0,4 < 1

Atsakymas

L = 0,4

L < 1, todėl eilutė konverguoja.

4.Sekos ir eilutės

Atsakymas: n = 8

Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.

Įverčiai didėjant n

n = 7: 0,0006356 ≥ 0,0005

n = 8: 0,0001059 < 0,0005

Mažiausias laipsnis

n = 8

Atsakymas

n = 8

5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Atsakymas: D_uf = 42,06

Gradientas: ∇f = (f_x, f_y) nukreiptas stačiausio kilimo kryptimi, o |∇f| yra didžiausias kitimo greitis. Išvestinė kryptimi v yra D_uf = ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u = v/|v|. Liečiamoji plokštuma taške (a, b) yra z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); ji duoda tiesinę f aproksimaciją šalia to taško. Sudėtinės funkcijos taisyklė: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Gradientas taške

f_x = 2y²e^xy → f_x(1, 2) = 59,11

f_y = 2e^xy(1 + xy) → f_y(1, 2) = 44,33

Vienetinis vektorius

|v| = √(3² + (−1)²) = 3,162

u = (0,9487, −0,3162)

Skaliarinė sandauga

D_uf = 59,11·0,9487 + 44,33·(−0,3162) = 42,06

Atsakymas

D_uf = 42,06

6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Atsakymas: f_min = −6

Kritiniai taškai ir dvilypiai integralai: kritiniame taške f_x = f_y = 0. Antros eilės išvestinių testas su D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 ir f_xx > 0 yra lokalusis minimumas, D > 0 ir f_xx < 0 – lokalusis maksimumas, D < 0 – balno taškas, o D = 0 nieko nenusprendžia. Dvilypiam integralui bendrojoje srityje vidinėmis ribomis imkite sritį ribojančias kreives; skritulių ir išpjovų atveju naudokite polines koordinates, x = r cos θ, y = r sin θ ir dA = r dr dθ (nepamirškite daugiklio r).

Kritiniai taškai

Kartu išspręskite f_x = 0 ir f_y = 0.

f_x = (3x² − 3) = 0

f_y = (2y − 4) = 0

(1, 2), (−1, 2)

Antros eilės išvestinių testas

(1, 2): f_xx = 6, f_yy = 2, f_xy = 0, D = 12 → lokalusis minimumas

(−1, 2): f_xx = −6, f_yy = 2, f_xy = 0, D = −12 → balno taškas

Reikšmė ekstremume

f(1, 2) = −6

Atsakymas

f_min = −6

7.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(2) = 0,7381

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Charakteristinės šaknys

(r + 1)(r + 3) = 0 → r = −1, −3

Konstantos pagal pradines vertes

A + B = 3, −1A − 3B = 2

A = 5,5, B = −2,5

Apskaičiuokite

y(2) = 5,5·e⁻² + (−2,5)·e⁻⁶ = 0,7381

Atsakymas

y(2) = 0,7381

8.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y_max = 1,208

Nusistovėjusi vertė ir šaknys

y_ss = 1, r = −1 ± 2j

Konstantos pagal pradines vertes

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1A + 2B = 0 → B = −0,5

Smailė

t = π/2 = 1,571

y_max = 1·(1 + e^−1·π/2) = 1,208

Atsakymas

y_max = 1,208

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2