Matematinė analizė 2: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Sekos ir eilutės

Aritmetinė seka: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrinė seka: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Begalinė geometrinė eilutė: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p eilutė: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergavimo spindulys: R = lim |c_k/c_k+1|
Teiloro polinomas: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maklorino eilutė: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagranžo paklaidos įvertis: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodas

Nustatykite tipą: aritmetinė (pastovus skirtumas), geometrinė (pastovus daugiklis), standartinė eilutė, laipsninė eilutė arba Teiloro polinomas.
Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Dalinės išvestinės: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradientas: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Išvestinė pagal kryptį: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Liečiamoji plokštuma: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Grandinės taisyklė: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Antros eilės išvestinių testas: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dvilypis integralas: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Polinės koordinatės: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metodas

Dalinei išvestinei kitą kintamąjį laikykite konstanta ir naudokite vieno kintamojo taisykles.
Gradiento uždaviniuose taške apskaičiuokite ∇f = (f_x, f_y); stačiausiam nuolydžiui naudokite |∇f|, o išvestinei pagal kryptį – ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u.
Ekstremumams kartu išspręskite f_x = 0 ir f_y = 0, tada kiekvieną tašką klasifikuokite pagal D = f_xx·f_yy − f_xy².
Dvilypiam integralui nubraižykite sritį, pasirinkite tvarką (arba polines koordinates skrituliams), kad vidinės ribos būtų ribojančios kreivės, ir integruokite pirmiausia vidų.

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Uždaviniai

1.IntegralaiVidutinis

Sritis po y = x nuo x = 0 iki x = 1 sukama apie x ašį. Raskite kūno (kūgio) tūrį V.

y = x0 ≤ x ≤ 1

V =

2.IntegralaiSunkus

Sritis tarp tiesės y = 3x ir parabolės y = 2x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.

y = 3xy = 2x²

V =

3.Sekos ir eilutėsVidutinis

Raskite sumą S = Σ_k=1^∞ 3/(k(k + 3)).

a_k = 3/(k(k + 3))

S =

4.Sekos ir eilutėsSunkus

Naudokite 3 laipsnio f(x) = 1/(1 − x) Maklorino polinomą f(−0,4) apytiksliai rasti. Pateikite P₃(−0,4).

f(x) = 1/(1 − x)n = 3x = −0,4

P₃(−0.4) =

5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasVidutinis

z = 2x³e^2y, kai x = t − 2 ir y = 2t² − 2. Sudėtinės funkcijos taisykle raskite dz/dt, kai t = −1.

z = 2x³e^2yx = t − 2y = 2t² − 2t = −1

dz/dt =

6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasSunkus

Raskite f(x, y) = x³ + y³ + 6xy kritinius taškus, juos klasifikuokite ir nurodykite f reikšmę f_max lokaliajame maksimume.

f(x, y) = x³ + y³ + 6xy

f_max =

7.Diferencialinės lygtysVidutinis

Išspręskite y″ + 3y′ + 2y = 0, kai y(0) = 2 ir y′(0) = 1. Raskite y(2).

y″ + 3y′ + 2y = 0y(0) = 2y′(0) = 1

y(2) =

8.Diferencialinės lygtysSunkus

Sistema tenkina y″ + 3y′ + 27,25y = 272,5, kai t ≥ 0, pradedant iš rimties: y(0) = 0, y′(0) = 0. Raskite y(1,5); kampai radianais.

y″ + 3y′ + 27,25y = 272,5y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

3Tirpalai

1.Integralai

Atsakymas: V = 1,047

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Skritulių metodas

V = π∫₀¹ 1x² dx

Integruokite

V = π·1·1³/3 = 1,047

Atsakymas

V = 1,047

Patikra: kūgio, kurio spindulys 1 ir aukštis 1, tūris (1/3)πr²h = 1,047.

2.Integralai

Atsakymas: V = 12,72

Susikirtimo taškai

3x = 2x² → x = 0, x = 1,5

Žiedų metodas

V = π∫₀^1,5 ((3x)² − (2x²)²) dx

Integruokite

V = π(9·1,5³/3 − 4·1,5⁵/5) = π·4,05 = 12,72

Atsakymas

V = 12,72

3.Sekos ir eilutės

Atsakymas: S = 1,833

Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σc_k(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |c_k/c_k+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.

Paprastosios trupmenos

3/(k(k + 3)) = (3/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Atšaukti

S = (3/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 1,833

Atsakymas

S = 1,833

4.Sekos ir eilutės

Atsakymas: P₃(−0.4) = 0,696

Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.

Maklorino polinomas

P₃(x) = 1 + x + x² + x³

Įstatykite

P₃(−0,4) = 1 − 0,4 + 0,16 − 0,064 = 0,696

Atsakymas

P₃(−0,4) = 0,696

Tiksli reikšmė yra f(−0,4) = 0,714286; paklaida 0,0182857 mažėja, kai imama daugiau narių arba taškas arčiau 0.

5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Atsakymas: dz/dt = 486

Gradientas: ∇f = (f_x, f_y) nukreiptas stačiausio kilimo kryptimi, o |∇f| yra didžiausias kitimo greitis. Išvestinė kryptimi v yra D_uf = ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u = v/|v|. Liečiamoji plokštuma taške (a, b) yra z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); ji duoda tiesinę f aproksimaciją šalia to taško. Sudėtinės funkcijos taisyklė: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Taškas ir greičiai

x(−1) = −3, y(−1) = 0

dx/dt = 1, dy/dt = 4t = −4

Dalinės išvestinės

f_x = 6x²e^2y = 54

f_y = 4x³e^2y = −108

Grandinės taisyklė

dz/dt = 54·1 + (−108)·(−4) = 486

Atsakymas

dz/dt = 486

6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Atsakymas: f_max = 8

Kritiniai taškai ir dvilypiai integralai: kritiniame taške f_x = f_y = 0. Antros eilės išvestinių testas su D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 ir f_xx > 0 yra lokalusis minimumas, D > 0 ir f_xx < 0 – lokalusis maksimumas, D < 0 – balno taškas, o D = 0 nieko nenusprendžia. Dvilypiam integralui bendrojoje srityje vidinėmis ribomis imkite sritį ribojančias kreives; skritulių ir išpjovų atveju naudokite polines koordinates, x = r cos θ, y = r sin θ ir dA = r dr dθ (nepamirškite daugiklio r).

Kritiniai taškai

Kartu išspręskite f_x = 0 ir f_y = 0.

f_x = 3x² + 6y = 0

f_y = 3y² + 6x = 0

(0, 0), (−2, −2)

Antros eilės išvestinių testas

(0, 0): f_xx = 0, f_yy = 0, f_xy = 6, D = −36 → balno taškas

(−2, −2): f_xx = −12, f_yy = −12, f_xy = 6, D = 108 → lokalusis maksimumas

Reikšmė ekstremume

f(−2, −2) = 8

Atsakymas

f_max = 8

7.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(2) = 0,6217

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Charakteristinės šaknys

(r + 1)(r + 2) = 0 → r = −1, −2

Konstantos pagal pradines vertes

A + B = 2, −1A − 2B = 1

A = 5, B = −3

Apskaičiuokite

y(2) = 5·e⁻² + (−3)·e⁻⁴ = 0,6217

Atsakymas

y(2) = 0,6217

8.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1.5) = 9,338

Nusistovėjusi vertė ir šaknys

y_ss = 10, r = −1,5 ± 5j

Konstantos pagal pradines vertes

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −1,5A + 5B = 0 → B = −3

Apskaičiuokite

y(1,5) = 10·(1 − e^−2,25(cos 7,5 + 0,3·sin 7,5)) = 9,338

Atsakymas

y(1,5) = 9,338

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2