Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Dalinės išvestinės
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradientas
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Išvestinė pagal kryptį
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Liečiamoji plokštuma
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Grandinės taisyklė
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Antros eilės išvestinių testas
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dvilypis integralas
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Polinės koordinatės
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Metodas
Dalinei išvestinei kitą kintamąjį laikykite konstanta ir naudokite vieno kintamojo taisykles.
Gradiento uždaviniuose taške apskaičiuokite ∇f = (fx, fy); stačiausiam nuolydžiui naudokite |∇f|, o išvestinei pagal kryptį – ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u.
Ekstremumams kartu išspręskite fx = 0 ir fy = 0, tada kiekvieną tašką klasifikuokite pagal D = fxx·fyy − fxy².
Dvilypiam integralui nubraižykite sritį, pasirinkite tvarką (arba polines koordinates skrituliams), kad vidinės ribos būtų ribojančios kreivės, ir integruokite pirmiausia vidų.
Diferencialinės lygtys
Eksponentinis augimas / mažėjimas
dy/dt = ky → y = y0ekt
Pusėjimo trukmė
k = ln 2 / t½
Niutono aušimo dėsnis
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integruojantysis daugiklis
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Maišymo talpa
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Uždaviniai
1.IntegralaiVidutinis
Apskaičiuokite I = ∫02 e−0,5x dx.
f(x) = e−0,5x[0, 2]
I =
2.IntegralaiSunkus
Apskaičiuokite I = ∫₀2,5 x²·eˣ dx.
∫₀2,5 x²eˣ dx
I =
3.Sekos ir eilutėsVidutinis
Lygiai viena iš keturių eilučių konverguoja. Spustelėkite ją.
A: Σ (1/3)ᵏB: Σ (3/2)ᵏC: Σ (3k + 1)/(k + 2)D: Σ ln k / k
1A: Σ (1/3)ᵏ
2B: Σ (3/2)ᵏ
3C: Σ (3k + 1)/(k + 2)
4D: Σ ln k / k
4.Sekos ir eilutėsSunkus
Atpažinkite eilutę ir raskite jos sumą: S = Σk=0∞ (−1)ᵏ·0,82k+1/(2k + 1)!.
f(x, y) = −x² + 2xy − 2y² + 4x − 10y turi kritinį tašką (−1, −3). Apskaičiuokite jame diskriminantą D = fxxfyy − fxy².
f(x, y) = −x² + 2xy − 2y² + 4x − 10yP = (−1, −3)
D =
7.Diferencialinės lygtysVidutinis
Išspręskite y″ + 4y′ + 3y = 0, kai y(0) = 1 ir y′(0) = 0. Raskite y(1,5).
y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(1.5) =
8.Diferencialinės lygtysSunkus
Išspręskite y″ + 3y′ + 18,25y = 0, kai y(0) = 5 ir y′(0) = 0 (paleista iš rimties). Raskite y(1); kampai radianais.
y″ + 3y′ + 18,25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1) =
3Tirpalai
1.Integralai
Atsakymas: I = 1,264
Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.
Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.
Pirmasis ciklas
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
Antrasis ciklas
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
Ribos
12,18·(3,25) − 1·2 = 37,59
Atsakymas
I = 37,59
3.Sekos ir eilutės
Atsakymas: A: Σ (1/3)ᵏ
Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |ak+1/ak|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |ak|1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σck(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |ck/ck+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.
Patikrinkite kiekvieną eilutę
A: Σ (1/3)ᵏ → Geometrinė, kai r = 1/3, |r| < 1: konverguoja.
B: Σ (3/2)ᵏ → Geometrinė, kai r = 3/2 > 1: nariai auga, todėl diverguoja.
C: Σ (3k + 1)/(k + 2) → Nariai artėja prie 3, o ne prie 0: diverguoja pagal būtinąją sąlygą.
D: Σ ln k / k → Didesnė už 1/k, kai k ≥ 3: diverguoja pagal palyginimą su harmonine eilute.
Atsakymas
A: Σ (1/3)ᵏ
Atsakymas
A: Σ (1/3)ᵏ
4.Sekos ir eilutės
Atsakymas: S = 0,7174
Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.
Standartinės eilutės
Σ (−1)ᵏx2k+1/(2k + 1)! = sin x
Įstatykite
x = 0,8
S = sin 0,8 = 0,7174
Atsakymas
S = 0,7174
5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Atsakymas: Duf = −2,124
Gradientas: ∇f = (fx, fy) nukreiptas stačiausio kilimo kryptimi, o |∇f| yra didžiausias kitimo greitis. Išvestinė kryptimi v yra Duf = ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u = v/|v|. Liečiamoji plokštuma taške (a, b) yra z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ji duoda tiesinę f aproksimaciją šalia to taško. Sudėtinės funkcijos taisyklė: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Gradientas taške
fx = −9 cos(−3x − y) → fx(1, 2) = −2,553
fy = −3 cos(−3x − y) → fy(1, 2) = −0,851
Vienetinis vektorius
|v| = √(2² + 3²) = 3,606
u = (0,5547, 0,8321)
Skaliarinė sandauga
Duf = (−2,553)·0,5547 + (−0,851)·0,8321 = −2,124
Atsakymas
Duf = −2,124
6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Atsakymas: D = 4
Kritiniai taškai ir dvilypiai integralai: kritiniame taške fx = fy = 0. Antros eilės išvestinių testas su D = fxxfyy − fxy²: D > 0 ir fxx > 0 yra lokalusis minimumas, D > 0 ir fxx < 0 – lokalusis maksimumas, D < 0 – balno taškas, o D = 0 nieko nenusprendžia. Dvilypiam integralui bendrojoje srityje vidinėmis ribomis imkite sritį ribojančias kreives; skritulių ir išpjovų atveju naudokite polines koordinates, x = r cos θ, y = r sin θ ir dA = r dr dθ (nepamirškite daugiklio r).
Antros eilės išvestinės
fxx = −2, fyy = −4, fxy = 2
Diskriminantas
D = (−2)·(−4) − 2² = 4
→ lokalusis maksimumas
Atsakymas
D = 4
7.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: y(1.5) = 0,3291
Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = ert: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·er₁t + B·er₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·ert (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.
Charakteristinės šaknys
(r + 1)(r + 3) = 0 → r = −1, −3
Konstantos pagal pradines vertes
A + B = 1, −1A − 3B = 0
A = 1,5, B = −0,5
Apskaičiuokite
y(1,5) = 1,5·e−1,5 + (−0,5)·e−4,5 = 0,3291
Atsakymas
y(1,5) = 0,3291
8.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: y(1) = −1,046
Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = ert: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·er₁t + B·er₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·ert (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.