Matematinė analizė 2: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Sekos ir eilutės

Aritmetinė seka: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrinė seka: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Begalinė geometrinė eilutė: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p eilutė: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergavimo spindulys: R = lim |c_k/c_k+1|
Teiloro polinomas: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maklorino eilutė: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagranžo paklaidos įvertis: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodas

Nustatykite tipą: aritmetinė (pastovus skirtumas), geometrinė (pastovus daugiklis), standartinė eilutė, laipsninė eilutė arba Teiloro polinomas.
Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Dalinės išvestinės: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradientas: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Išvestinė pagal kryptį: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Liečiamoji plokštuma: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Grandinės taisyklė: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Antros eilės išvestinių testas: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dvilypis integralas: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Polinės koordinatės: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metodas

Dalinei išvestinei kitą kintamąjį laikykite konstanta ir naudokite vieno kintamojo taisykles.
Gradiento uždaviniuose taške apskaičiuokite ∇f = (f_x, f_y); stačiausiam nuolydžiui naudokite |∇f|, o išvestinei pagal kryptį – ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u.
Ekstremumams kartu išspręskite f_x = 0 ir f_y = 0, tada kiekvieną tašką klasifikuokite pagal D = f_xx·f_yy − f_xy².
Dvilypiam integralui nubraižykite sritį, pasirinkite tvarką (arba polines koordinates skrituliams), kad vidinės ribos būtų ribojančios kreivės, ir integruokite pirmiausia vidų.

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Uždaviniai

1.IntegralaiVidutinis

Sritis po y = 2x nuo x = 0 iki x = 1 sukama apie x ašį. Raskite kūno (kūgio) tūrį V.

y = 2x0 ≤ x ≤ 1

V =

2.IntegralaiSunkus

Sritis tarp tiesės y = 6x ir parabolės y = 3x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.

y = 6xy = 3x²

V =

3.Sekos ir eilutėsVidutinis

Raskite laipsninės eilutės Σ_k=1^∞ k!·xᵏ/kᵏ konvergavimo spindulį R.

Σ k!·xᵏ/kᵏx₀ = 0

R =

4.Sekos ir eilutėsSunkus

Naudokite 3 laipsnio f(x) = eˣ Maklorino polinomą f(2) apytiksliai rasti. Pateikite P₃(2).

f(x) = eˣn = 3x = 2

P₃(2) =

5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasVidutinis

Kai f(x, y) = −2x³y² + 2x² + 4y² + 4xy, raskite didžiausią f kitimo greitį taške (2, 1), t. y. |∇f|.

f(x, y) = −2x³y² + 2x² + 4y² + 4xyP = (2, 1)

|∇f| =

6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasSunkus

f(x, y) = x³ + y³ − 9xy turi kritinį tašką (3, 3). Apskaičiuokite jame diskriminantą D = f_xxf_yy − f_xy².

f(x, y) = x³ + y³ − 9xyP = (3, 3)

D =

7.Diferencialinės lygtysVidutinis

420 °C kalta plieno detalė paliekama aušti 23 °C dirbtuvėje. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kai k = 0,05 min⁻¹, raskite temperatūrą T po 60 min.

T₀ = 420 °CT_a = 23 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 60 min

T = °C

8.Diferencialinės lygtysSunkus

Išspręskite y′ + 2y = 3e^−t su y(0) = 1. Raskite y(2).

y′ + 2y = 3e^−ty(0) = 1

y(2) =

3Tirpalai

1.Integralai

Atsakymas: V = 4,189

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Skritulių metodas

V = π∫₀¹ 4x² dx

Integruokite

V = π·4·1³/3 = 4,189

Atsakymas

V = 4,189

Patikra: kūgio, kurio spindulys 2 ir aukštis 1, tūris (1/3)πr²h = 4,189.

2.Integralai

Atsakymas: V = 120,6

Susikirtimo taškai

6x = 3x² → x = 0, x = 2

Žiedų metodas

V = π∫₀² ((6x)² − (3x²)²) dx

Integruokite

V = π(36·2³/3 − 9·2⁵/5) = π·38,4 = 120,6

Atsakymas

V = 120,6

3.Sekos ir eilutės

Atsakymas: R = 2,718

Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σc_k(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |c_k/c_k+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.

Koeficientai

c_k/c_k+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e

Spindulys

R = 2,718

Atsakymas

R = 2,718

D’Alambero kriterijus nieko nesako apie du galinius taškus; juos reikia tikrinti atskirai.

4.Sekos ir eilutės

Atsakymas: P₃(2) = 6,333

Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.

Maklorino polinomas

P₃(x) = 1 + x + 0,5x² + 0,1667x³

Įstatykite

P₃(2) = 1 + 2 + 2 + 1,333333 = 6,333

Atsakymas

P₃(2) = 6,333

Tiksli reikšmė yra f(2) = 7,389056; paklaida 1,055723 mažėja, kai imama daugiau narių arba taškas arčiau 0.

5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Atsakymas: |∇f| = 20

Gradientas: ∇f = (f_x, f_y) nukreiptas stačiausio kilimo kryptimi, o |∇f| yra didžiausias kitimo greitis. Išvestinė kryptimi v yra D_uf = ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u = v/|v|. Liečiamoji plokštuma taške (a, b) yra z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); ji duoda tiesinę f aproksimaciją šalia to taško. Sudėtinės funkcijos taisyklė: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Dalinės išvestinės

f_x = −6x²y² + 4x + 4y → f_x(2, 1) = −12

f_y = −4x³y + 8y + 4x → f_y(2, 1) = −16

Gradiento ilgis

|∇f| = √((−12)² + (−16)²) = 20

Atsakymas

|∇f| = 20

6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Atsakymas: D = 243

Kritiniai taškai ir dvilypiai integralai: kritiniame taške f_x = f_y = 0. Antros eilės išvestinių testas su D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 ir f_xx > 0 yra lokalusis minimumas, D > 0 ir f_xx < 0 – lokalusis maksimumas, D < 0 – balno taškas, o D = 0 nieko nenusprendžia. Dvilypiam integralui bendrojoje srityje vidinėmis ribomis imkite sritį ribojančias kreives; skritulių ir išpjovų atveju naudokite polines koordinates, x = r cos θ, y = r sin θ ir dA = r dr dθ (nepamirškite daugiklio r).

Antros eilės išvestinės

f_xx = 18, f_yy = 18, f_xy = −9

Diskriminantas

D = 18·18 − (−9)² = 243

→ lokalusis minimumas

Atsakymas

D = 243

7.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: T = 42,77 °C

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Aušimo dėsnio sprendinys

T(t) = 23 + 397·e^−0,05t

Įstatykite t

T(60) = 23 + 397·0,04979 = 42,77 °C

Atsakymas

T = 42,77 °C

8.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(2) = 0,3694

Integruojantysis daugiklis

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 3e^t

Bendrasis sprendinys

y = 3/1·e^−t + C·e^−2t = 3·e^−t + C·e^−2t

Pradinė sąlyga

1 = 3 + C → C = −2

Apskaičiuokite

y(2) = 3·0,1353 + (−2)·0,01832 = 0,3694

Atsakymas

y(2) = 0,3694

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2