Matematinė analizė 2: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Sekos ir eilutės

Aritmetinė seka: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrinė seka: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Begalinė geometrinė eilutė: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p eilutė: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergavimo spindulys: R = lim |c_k/c_k+1|
Teiloro polinomas: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maklorino eilutė: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagranžo paklaidos įvertis: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodas

Nustatykite tipą: aritmetinė (pastovus skirtumas), geometrinė (pastovus daugiklis), standartinė eilutė, laipsninė eilutė arba Teiloro polinomas.
Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Dalinės išvestinės: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradientas: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Išvestinė pagal kryptį: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Liečiamoji plokštuma: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Grandinės taisyklė: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Antros eilės išvestinių testas: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dvilypis integralas: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Polinės koordinatės: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metodas

Dalinei išvestinei kitą kintamąjį laikykite konstanta ir naudokite vieno kintamojo taisykles.
Gradiento uždaviniuose taške apskaičiuokite ∇f = (f_x, f_y); stačiausiam nuolydžiui naudokite |∇f|, o išvestinei pagal kryptį – ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u.
Ekstremumams kartu išspręskite f_x = 0 ir f_y = 0, tada kiekvieną tašką klasifikuokite pagal D = f_xx·f_yy − f_xy².
Dvilypiam integralui nubraižykite sritį, pasirinkite tvarką (arba polines koordinates skrituliams), kad vidinės ribos būtų ribojančios kreivės, ir integruokite pirmiausia vidų.

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Uždaviniai

1.IntegralaiVidutinis

Sritis po y = 3x nuo x = 0 iki x = 2 sukama apie x ašį. Raskite kūno (kūgio) tūrį V.

y = 3x0 ≤ x ≤ 2

V =

2.IntegralaiSunkus

Sritis tarp tiesės y = 4x ir parabolės y = 3x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.

y = 4xy = 3x²

V =

3.Sekos ir eilutėsVidutinis

Taikykite Koši šaknies kriterijų eilutei Σ_k=1^∞ ((4k + 2)/(5k + 5))ᵏ. Raskite L = lim |a_k|^1/k.

a_k = ((4k + 2)/(5k + 5))ᵏ

L =

4.Sekos ir eilutėsSunkus

f(x) = eˣ aproksimuojama 4 laipsnio Maklorino polinomu taške x = 0,3. Naudodami Lagranžo paklaidos įvertį M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! su M = e^0,3 = 1,35, raskite didžiausią galimą paklaidą |R₄|.

f(x) = eˣn = 4x = 0,3M = 1,35

|R₄| =

5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasVidutinis

z = 3y·e^2xy, kai x = −2t ir y = −2t² + 2. Sudėtinės funkcijos taisykle raskite dz/dt, kai t = 1.

z = 3y·e^2xyx = −2ty = −2t² + 2t = 1

dz/dt =

6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasSunkus

Naudodami polines koordinates apskaičiuokite I = ∬_R √(x² + y²) dA, kur R yra skritulio x² + y² ≤ 2,25 ketvirtis pirmajame ketvirtyje.

f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 1,50 ≤ θ ≤ π/2

I =

7.Diferencialinės lygtysVidutinis

Išspręskite y″ + 3y′ + 2y = 0, kai y(0) = 1 ir y′(0) = 2. Raskite y(1,5).

y″ + 3y′ + 2y = 0y(0) = 1y′(0) = 2

y(1.5) =

8.Diferencialinės lygtysSunkus

Išspręskite y″ + 3y′ + 18,25y = 0, kai y(0) = 10 ir y′(0) = 0 (paleista iš rimties). Raskite y(1); kampai radianais.

y″ + 3y′ + 18,25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0

y(1) =

3Tirpalai

1.Integralai

Atsakymas: V = 75,4

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Skritulių metodas

V = π∫₀² 9x² dx

Integruokite

V = π·9·2³/3 = 75,4

Atsakymas

V = 75,4

Patikra: kūgio, kurio spindulys 6 ir aukštis 2, tūris (1/3)πr²h = 75,4.

2.Integralai

Atsakymas: V = 15,89

Susikirtimo taškai

4x = 3x² → x = 0, x = 1,333

Žiedų metodas

V = π∫₀^1,333 ((4x)² − (3x²)²) dx

Integruokite

V = π(16·1,333³/3 − 9·1,333⁵/5) = π·5,057 = 15,89

Atsakymas

V = 15,89

3.Sekos ir eilutės

Atsakymas: L = 0,8

Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σc_k(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |c_k/c_k+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.

Narių šaknis

|a_k|^1/k = (4k + 2)/(5k + 5) → 4/5

Išvada

L = 0,8 < 1

Atsakymas

L = 0,8

L < 1, todėl eilutė konverguoja.

4.Sekos ir eilutės

Atsakymas: |R₄| = 2,733 × 10⁻⁵

Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.

Išvestinės įvertis

M = e^0,3 = 1,35

Lagranžo įvertis

|R₄| ≤ 1,35·0,3⁵/5! = 2,733 × 10⁻⁵

Atsakymas

|R₄| = 2,733 × 10⁻⁵

Tikroji paklaida mažesnė: |f(0,3) − P₄(0,3)| = 2,131 × 10⁻⁵.

5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Atsakymas: dz/dt = −12

Gradientas: ∇f = (f_x, f_y) nukreiptas stačiausio kilimo kryptimi, o |∇f| yra didžiausias kitimo greitis. Išvestinė kryptimi v yra D_uf = ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u = v/|v|. Liečiamoji plokštuma taške (a, b) yra z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); ji duoda tiesinę f aproksimaciją šalia to taško. Sudėtinės funkcijos taisyklė: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Taškas ir greičiai

x(1) = −2, y(1) = 0

dx/dt = −2, dy/dt = −4t = −4

Dalinės išvestinės

f_x = 6y²e^2xy = 0

f_y = 3e^2xy(1 + 2xy) = 3

Grandinės taisyklė

dz/dt = 0·(−2) + 3·(−4) = −12

Atsakymas

dz/dt = −12

6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Atsakymas: I = 1,767

Kritiniai taškai ir dvilypiai integralai: kritiniame taške f_x = f_y = 0. Antros eilės išvestinių testas su D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 ir f_xx > 0 yra lokalusis minimumas, D > 0 ir f_xx < 0 – lokalusis maksimumas, D < 0 – balno taškas, o D = 0 nieko nenusprendžia. Dvilypiam integralui bendrojoje srityje vidinėmis ribomis imkite sritį ribojančias kreives; skritulių ir išpjovų atveju naudokite polines koordinates, x = r cos θ, y = r sin θ ir dA = r dr dθ (nepamirškite daugiklio r).

Polinė forma

I = ∫₀^π/2 ∫₀^1,5 r·r dr dθ

Integruokite

∫ r·r dr = [r³/3]

I = 1,767

Atsakymas

I = 1,767

7.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1.5) = 0,7432

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Charakteristinės šaknys

(r + 1)(r + 2) = 0 → r = −1, −2

Konstantos pagal pradines vertes

A + B = 1, −1A − 2B = 2

A = 4, B = −3

Apskaičiuokite

y(1,5) = 4·e^−1,5 + (−3)·e⁻³ = 0,7432

Atsakymas

y(1,5) = 0,7432

8.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1) = −2,092

Kompleksinės šaknys

r = −1,5 ± 4j

Konstantos

A = 10, B = 1,5·10/4 = 3,75

Apskaičiuokite

y(1) = e^−1,5(10·cos 4 + 3,75·sin 4) = −2,092

Atsakymas

y(1) = −2,092

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2