Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Dalinės išvestinės
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradientas
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Išvestinė pagal kryptį
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Liečiamoji plokštuma
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Grandinės taisyklė
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Antros eilės išvestinių testas
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dvilypis integralas
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Polinės koordinatės
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Metodas
Dalinei išvestinei kitą kintamąjį laikykite konstanta ir naudokite vieno kintamojo taisykles.
Gradiento uždaviniuose taške apskaičiuokite ∇f = (fx, fy); stačiausiam nuolydžiui naudokite |∇f|, o išvestinei pagal kryptį – ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u.
Ekstremumams kartu išspręskite fx = 0 ir fy = 0, tada kiekvieną tašką klasifikuokite pagal D = fxx·fyy − fxy².
Dvilypiam integralui nubraižykite sritį, pasirinkite tvarką (arba polines koordinates skrituliams), kad vidinės ribos būtų ribojančios kreivės, ir integruokite pirmiausia vidų.
Diferencialinės lygtys
Eksponentinis augimas / mažėjimas
dy/dt = ky → y = y0ekt
Pusėjimo trukmė
k = ln 2 / t½
Niutono aušimo dėsnis
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integruojantysis daugiklis
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Maišymo talpa
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Uždaviniai
1.IntegralaiVidutinis
Apskaičiuokite I = ∫₀π/2 x·cos x dx (x radianais).
∫₀π/2 x·cos x dx
I =
2.IntegralaiSunkus
Sritis tarp tiesės y = 2x ir parabolės y = 0,5x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.
y = 2xy = 0,5x²
V =
3.Sekos ir eilutėsVidutinis
Raskite sumą S = Σk=1∞ 4/(k(k + 3)).
ak = 4/(k(k + 3))
S =
4.Sekos ir eilutėsSunkus
f(x) = sin x aproksimuojama 4 laipsnio Maklorino polinomu taške x = 0,5. Naudodami Lagranžo paklaidos įvertį M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! su M = 1, raskite didžiausią galimą paklaidą |R₄|.
Kai f(x, y) = 5x²y² − 2x³ − 3y³ + 4xy, raskite stačiausio kilimo kryptį taške (−2, −1) kaip kampą θ nuo teigiamos x ašies, laipsniais tarp −180° ir 180°.
Raskite f(x, y) = x³ − 27x + y² + 4y kritinius taškus, juos klasifikuokite ir nurodykite f reikšmę fmin lokaliajame minimume.
f(x, y) = x³ − 27x + y² + 4y
fmin =
7.Diferencialinės lygtysVidutinis
Išspręskite y″ + 7y′ + 12y = 0, kai y(0) = 1 ir y′(0) = 0. Raskite y(1).
y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(1) =
8.Diferencialinės lygtysSunkus
Išspręskite y″ + 3y′ + 6,25y = 0, kai y(0) = 1 ir y′(0) = 0 (paleista iš rimties). Raskite y(0,75); kampai radianais.
y″ + 3y′ + 6,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.75) =
3Tirpalai
1.Integralai
Atsakymas: I = 0,5708
Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.
Pasirinkite u ir dv
u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x
Pirmykštė funkcija
∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x
Ribos
(π/2·sin π/2 + cos π/2) − (0 + 1) = 0,5708
Atsakymas
I = 0,5708
2.Integralai
Atsakymas: V = 107,2
Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.
Susikirtimo taškai
2x = 0,5x² → x = 0, x = 4
Žiedų metodas
V = π∫₀4 ((2x)² − (0,5x²)²) dx
Integruokite
V = π(4·4³/3 − 0,25·4⁵/5) = π·34,13 = 107,2
Atsakymas
V = 107,2
3.Sekos ir eilutės
Atsakymas: S = 2,444
Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |ak+1/ak|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |ak|1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σck(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |ck/ck+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.
Paprastosios trupmenos
4/(k(k + 3)) = (4/3)·(1/k − 1/(k + 3))
Atšaukti
S = (4/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 2,444
Atsakymas
S = 2,444
4.Sekos ir eilutės
Atsakymas: |R₄| = 0,0002604
Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.
Gradientas: ∇f = (fx, fy) nukreiptas stačiausio kilimo kryptimi, o |∇f| yra didžiausias kitimo greitis. Išvestinė kryptimi v yra Duf = ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u = v/|v|. Liečiamoji plokštuma taške (a, b) yra z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ji duoda tiesinę f aproksimaciją šalia to taško. Sudėtinės funkcijos taisyklė: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Dalinės išvestinės
fx = 10xy² − 6x² + 4y → fx(−2, −1) = −48
fy = 10x²y − 9y² + 4x → fy(−2, −1) = −57
Kryptis
θ = atan2(−57, −48) = −130,1°
Atsakymas
θ = −130,1°
6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Atsakymas: fmin = −58
Kritiniai taškai ir dvilypiai integralai: kritiniame taške fx = fy = 0. Antros eilės išvestinių testas su D = fxxfyy − fxy²: D > 0 ir fxx > 0 yra lokalusis minimumas, D > 0 ir fxx < 0 – lokalusis maksimumas, D < 0 – balno taškas, o D = 0 nieko nenusprendžia. Dvilypiam integralui bendrojoje srityje vidinėmis ribomis imkite sritį ribojančias kreives; skritulių ir išpjovų atveju naudokite polines koordinates, x = r cos θ, y = r sin θ ir dA = r dr dθ (nepamirškite daugiklio r).
(−3, −2): fxx = −18, fyy = 2, fxy = 0, D = −36 → balno taškas
Reikšmė ekstremume
f(3, −2) = −58
Atsakymas
fmin = −58
7.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: y(1) = 0,1442
Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = ert: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·er₁t + B·er₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·ert (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.
Charakteristinės šaknys
(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4
Konstantos pagal pradines vertes
A + B = 1, −3A − 4B = 0
A = 4, B = −3
Apskaičiuokite
y(1) = 4·e−3 + (−3)·e−4 = 0,1442
Atsakymas
y(1) = 0,1442
8.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: y(0.75) = 0,2658
Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = ert: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·er₁t + B·er₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·ert (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.