Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Dalinės išvestinės
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradientas
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Išvestinė pagal kryptį
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Liečiamoji plokštuma
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Grandinės taisyklė
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Antros eilės išvestinių testas
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dvilypis integralas
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Polinės koordinatės
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Metodas
Dalinei išvestinei kitą kintamąjį laikykite konstanta ir naudokite vieno kintamojo taisykles.
Gradiento uždaviniuose taške apskaičiuokite ∇f = (fx, fy); stačiausiam nuolydžiui naudokite |∇f|, o išvestinei pagal kryptį – ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u.
Ekstremumams kartu išspręskite fx = 0 ir fy = 0, tada kiekvieną tašką klasifikuokite pagal D = fxx·fyy − fxy².
Dvilypiam integralui nubraižykite sritį, pasirinkite tvarką (arba polines koordinates skrituliams), kad vidinės ribos būtų ribojančios kreivės, ir integruokite pirmiausia vidų.
Diferencialinės lygtys
Eksponentinis augimas / mažėjimas
dy/dt = ky → y = y0ekt
Pusėjimo trukmė
k = ln 2 / t½
Niutono aušimo dėsnis
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integruojantysis daugiklis
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Maišymo talpa
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Uždaviniai
1.IntegralaiVidutinis
Apskaičiuokite I = ∫₁4 x·ln x dx.
∫₁4 x ln x dx
I =
2.IntegralaiSunkus
Raskite srities tarp parabolės y = 9 − x² ir x ašies plotą A.
y = 9 − x²
A =
3.Sekos ir eilutėsVidutinis
Raskite laipsninės eilutės Σk=1∞ (x + 1)ᵏ/(k²·(1/2)ᵏ) konvergavimo spindulį R.
Σ (x + 1)ᵏ/(k²·(1/2)ᵏ)x₀ = −1
R =
4.Sekos ir eilutėsSunkus
f(x) = cos x aproksimuojama 4 laipsnio Maklorino polinomu taške x = 0,3. Naudodami Lagranžo paklaidos įvertį M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! su M = 1, raskite didžiausią galimą paklaidą |R₄|.
Naudodami polines koordinates apskaičiuokite I = ∬R x dA, kur R yra skritulio x² + y² ≤ 4 ketvirtis pirmajame ketvirtyje.
f = x0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π/2
I =
7.Diferencialinės lygtysVidutinis
300 °C kalta plieno detalė paliekama aušti 21 °C dirbtuvėje. Po 49 min temperatūra yra 192 °C. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kiek laiko nuo pradžios, t, reikia, kad temperatūra pasiektų 107 °C?
T0 = 300 °CTa = 21 °CT(49) = 192 °CT = 107 °C
t = min
8.Diferencialinės lygtysSunkus
Išspręskite Koši uždavinį y′ + 3y/x = 1, kai x > 0, su y(1) = 4. Raskite y(2).
y′ + 3y/x = 1y(1) = 4
y(2) =
3Tirpalai
1.Integralai
Atsakymas: I = 7,34
Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.
Pasirinkite u ir dv
u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2
Pirmykštė funkcija
∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4
Ribos
(8·ln 4 − 4) − (0 − 0,25) = 7,34
Atsakymas
I = 7,34
2.Integralai
Atsakymas: A = 36
Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.
Nuliai
9 − x² = 0 → x = ±3
Integruokite
A = [9x − x³/3]−33 = 18 − (−18) = 36
Atsakymas
A = 36
3.Sekos ir eilutės
Atsakymas: R = 0,5
Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |ak+1/ak|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |ak|1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σck(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |ck/ck+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.
Koeficientai
ck/ck+1 = (1/2)·((k + 1)/k)² → 0,5
Spindulys
R = 0,5
Atsakymas
R = 0,5
D’Alambero kriterijus nieko nesako apie du galinius taškus; juos reikia tikrinti atskirai.
4.Sekos ir eilutės
Atsakymas: |R₄| = 2,025 × 10⁻⁵
Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.
Gradientas: ∇f = (fx, fy) nukreiptas stačiausio kilimo kryptimi, o |∇f| yra didžiausias kitimo greitis. Išvestinė kryptimi v yra Duf = ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u = v/|v|. Liečiamoji plokštuma taške (a, b) yra z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ji duoda tiesinę f aproksimaciją šalia to taško. Sudėtinės funkcijos taisyklė: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Gradientas taške
fx = y²exy → fx(0,5, 0,5) = 0,321
fy = exy(1 + xy) → fy(0,5, 0,5) = 1,605
Vienetinis vektorius
|v| = √(3² + (−4)²) = 5
u = (0,6, −0,8)
Skaliarinė sandauga
Duf = 0,321·0,6 + 1,605·(−0,8) = −1,091
Atsakymas
Duf = −1,091
6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Atsakymas: I = 2,667
Kritiniai taškai ir dvilypiai integralai: kritiniame taške fx = fy = 0. Antros eilės išvestinių testas su D = fxxfyy − fxy²: D > 0 ir fxx > 0 yra lokalusis minimumas, D > 0 ir fxx < 0 – lokalusis maksimumas, D < 0 – balno taškas, o D = 0 nieko nenusprendžia. Dvilypiam integralui bendrojoje srityje vidinėmis ribomis imkite sritį ribojančias kreives; skritulių ir išpjovų atveju naudokite polines koordinates, x = r cos θ, y = r sin θ ir dA = r dr dθ (nepamirškite daugiklio r).
Polinė forma
I = ∫0π/2 ∫02 r cos θ·r dr dθ
Integruokite
∫ r²dr·∫ cos θ dθ
I = 2,667
Atsakymas
I = 2,667
7.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: t = 117,8 min
Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.
Aušimo konstanta
k = ln(279/171)/49 = 0,009991 min⁻¹
Laikas iki tikslinės temperatūros
t = ln(279/86)/0,009991 = 117,8 min
Atsakymas
t = 117,8 min
8.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: y(2) = 0,9688
Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.