Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Dalinės išvestinės
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradientas
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Išvestinė pagal kryptį
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Liečiamoji plokštuma
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Grandinės taisyklė
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Antros eilės išvestinių testas
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dvilypis integralas
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Polinės koordinatės
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Metodas
Dalinei išvestinei kitą kintamąjį laikykite konstanta ir naudokite vieno kintamojo taisykles.
Gradiento uždaviniuose taške apskaičiuokite ∇f = (fx, fy); stačiausiam nuolydžiui naudokite |∇f|, o išvestinei pagal kryptį – ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u.
Ekstremumams kartu išspręskite fx = 0 ir fy = 0, tada kiekvieną tašką klasifikuokite pagal D = fxx·fyy − fxy².
Dvilypiam integralui nubraižykite sritį, pasirinkite tvarką (arba polines koordinates skrituliams), kad vidinės ribos būtų ribojančios kreivės, ir integruokite pirmiausia vidų.
Diferencialinės lygtys
Eksponentinis augimas / mažėjimas
dy/dt = ky → y = y0ekt
Pusėjimo trukmė
k = ln 2 / t½
Niutono aušimo dėsnis
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integruojantysis daugiklis
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Maišymo talpa
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Uždaviniai
1.IntegralaiVidutinis
Sritis po y = 0,5x nuo x = 0 iki x = 4 sukama apie x ašį. Raskite kūno (kūgio) tūrį V.
y = 0,5x0 ≤ x ≤ 4
V =
2.IntegralaiSunkus
Raskite srities, apribotos y = 0,5x2 ir y = 2x, plotą A.
y = 0,5x2y = 2x
A =
3.Sekos ir eilutėsVidutinis
Lygiai viena iš keturių eilučių diverguoja. Spustelėkite ją.
A: Σ 1/√kB: Σ (3/5)ᵏC: Σ 1/(2ᵏ + k)D: Σ 1/k³
1A: Σ 1/√k
2B: Σ (3/5)ᵏ
3C: Σ 1/(2ᵏ + k)
4D: Σ 1/k³
4.Sekos ir eilutėsSunkus
Raskite koeficientą c₄ prie (x − 3)⁴ funkcijos f(x) = ln x Teiloro eilutėje taško a = 3 aplinkoje.
Apskaičiuokite I = ∬T (2x + 3y) dA trikampyje T, ribojamame y = 0, x = 1 ir y = 2x.
f = 2x + 3y0 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ 2x
I =
7.Diferencialinės lygtysVidutinis
81 °C kavos puodelis paliekamas 22 °C kambaryje. Po 8 min temperatūra yra 68 °C. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Raskite konstantą k min⁻¹.
T0 = 81 °CTa = 22 °CT(8) = 68 °C
k = min⁻¹
8.Diferencialinės lygtysSunkus
Išspręskite Koši uždavinį y′ + 2y/x = 1, kai x > 0, su y(1) = −1. Raskite y(3).
y′ + 2y/x = 1y(1) = −1
y(3) =
3Tirpalai
1.Integralai
Atsakymas: V = 16,76
Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.
Skritulių metodas
V = π∫₀4 0,25x² dx
Integruokite
V = π·0,25·4³/3 = 16,76
Atsakymas
V = 16,76
Patikra: kūgio, kurio spindulys 2 ir aukštis 4, tūris (1/3)πr²h = 16,76.
2.Integralai
Atsakymas: A = 5,333
Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.
Susikirtimo taškai
0,5x2 = 2x → x = 0, x = 4
Integruokite viršutinę minus apatinę
A = [x2 − 0,1667x3]04 = 5,333
Atsakymas
A = 5,333
3.Sekos ir eilutės
Atsakymas: A: Σ 1/√k
Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |ak+1/ak|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |ak|1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σck(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |ck/ck+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.
Patikrinkite kiekvieną eilutę
A: Σ 1/√k → p eilutė, kai p = 1/2 ≤ 1: diverguoja.
B: Σ (3/5)ᵏ → Geometrinė, kai r = 3/5, |r| < 1: konverguoja.
C: Σ 1/(2ᵏ + k) → Mažesnė už (1/2)ᵏ, konverguojančią geometrinę eilutę: konverguoja pagal palyginimo kriterijų.
D: Σ 1/k³ → p eilutė, kai p = 3 > 1: konverguoja.
Atsakymas
A: Σ 1/√k
Atsakymas
A: Σ 1/√k
4.Sekos ir eilutės
Atsakymas: c₄ = −0,003086
Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.
Išvestinė f⁽⁴⁾
f⁽⁴⁾(x) = −6/x⁴
Koeficientas
c₄ = f⁽⁴⁾(3)/4! = −6/(3⁴·24) = −0,003086
c₄ = −0,003086
Atsakymas
c₄ = −0,003086
5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Atsakymas: Duf = −10,44
Gradientas: ∇f = (fx, fy) nukreiptas stačiausio kilimo kryptimi, o |∇f| yra didžiausias kitimo greitis. Išvestinė kryptimi v yra Duf = ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u = v/|v|. Liečiamoji plokštuma taške (a, b) yra z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ji duoda tiesinę f aproksimaciją šalia to taško. Sudėtinės funkcijos taisyklė: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Gradientas taške
fx = −4y² − 3x² + 2y → fx(−1, 2) = −15
fy = −8xy − 10y + 2x → fy(−1, 2) = −6
Vienetinis vektorius
|v| = √(1² + 3²) = 3,162
u = (0,3162, 0,9487)
Skaliarinė sandauga
Duf = (−15)·0,3162 + (−6)·0,9487 = −10,44
Atsakymas
Duf = −10,44
6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Atsakymas: I = 3,333
Kritiniai taškai ir dvilypiai integralai: kritiniame taške fx = fy = 0. Antros eilės išvestinių testas su D = fxxfyy − fxy²: D > 0 ir fxx > 0 yra lokalusis minimumas, D > 0 ir fxx < 0 – lokalusis maksimumas, D < 0 – balno taškas, o D = 0 nieko nenusprendžia. Dvilypiam integralui bendrojoje srityje vidinėmis ribomis imkite sritį ribojančias kreives; skritulių ir išpjovų atveju naudokite polines koordinates, x = r cos θ, y = r sin θ ir dA = r dr dθ (nepamirškite daugiklio r).
Ribos
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2x
Vidinis integralas
∫02x (2x + 3y) dy = 2x·2x + 3·(2x)²/2 = 10x²
Išorinis integralas
I = 10·1³/3 = 3,333
Atsakymas
I = 3,333
7.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: k = 0,03111 min⁻¹
Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.
Temperatūrų skirtumų santykis
e−8k = 46/59
Išspręskite k atžvilgiu
k = ln(59/46)/8 = 0,03111 min⁻¹
Atsakymas
k = 0,03111 min⁻¹
8.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: y(3) = 0,8519
Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.