Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Dalinės išvestinės
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradientas
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Išvestinė pagal kryptį
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Liečiamoji plokštuma
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Grandinės taisyklė
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Antros eilės išvestinių testas
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dvilypis integralas
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Polinės koordinatės
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Metodas
Dalinei išvestinei kitą kintamąjį laikykite konstanta ir naudokite vieno kintamojo taisykles.
Gradiento uždaviniuose taške apskaičiuokite ∇f = (fx, fy); stačiausiam nuolydžiui naudokite |∇f|, o išvestinei pagal kryptį – ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u.
Ekstremumams kartu išspręskite fx = 0 ir fy = 0, tada kiekvieną tašką klasifikuokite pagal D = fxx·fyy − fxy².
Dvilypiam integralui nubraižykite sritį, pasirinkite tvarką (arba polines koordinates skrituliams), kad vidinės ribos būtų ribojančios kreivės, ir integruokite pirmiausia vidų.
Diferencialinės lygtys
Eksponentinis augimas / mažėjimas
dy/dt = ky → y = y0ekt
Pusėjimo trukmė
k = ln 2 / t½
Niutono aušimo dėsnis
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integruojantysis daugiklis
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Maišymo talpa
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Uždaviniai
1.IntegralaiVidutinis
Apskaičiuokite I = ∫02 ex dx.
f(x) = ex[0, 2]
I =
2.IntegralaiSunkus
Raskite srities, apribotos y = 0,5x2 ir y = x, plotą A.
y = 0,5x2y = x
A =
3.Sekos ir eilutėsVidutinis
Lygiai viena iš keturių eilučių diverguoja. Spustelėkite ją.
Integralo I = ∫00,8 ∫x0,8 ey² dy dx šia tvarka apskaičiuoti negalima. Pakeiskite integravimo tvarką ir apskaičiuokite jį.
f = ey²0 ≤ x ≤ y ≤ 0,8
I =
7.Diferencialinės lygtysVidutinis
6 °C gaiviojo gėrimo skardinė išimama iš šaldytuvo į 25 °C kambarį. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kai k = 0,05 min⁻¹, raskite temperatūrą T po 5 min.
T0 = 6 °CTa = 25 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 5 min
T = °C
8.Diferencialinės lygtysSunkus
Talpoje yra 200 L vandens, kuriame ištirpinta 10 kg druskos. Sūrymas, kurio litre yra 0,2 kg druskos, įteka 10 L/min greičiu, o gerai išmaišytas tirpalas tokiu pat greičiu išteka. Po kiek minučių t talpoje bus 22 kg druskos?
V = 200 Lm0 = 10 kgc = 0,2 kg/Lr = 10 L/min
t = min
3Tirpalai
1.Integralai
Atsakymas: I = 6,389
Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.
Pirmykštė funkcija
F(x) = ex/1
Įstatykite rėžius
I = (e2 − 1)/1 = (7,389 − 1)/1 = 6,389
Atsakymas
I = 6,389
2.Integralai
Atsakymas: A = 0,6667
Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.
Susikirtimo taškai
0,5x2 = x → x = 0, x = 2
Integruokite viršutinę minus apatinę
A = [0,5x2 − 0,1667x3]02 = 0,6667
Atsakymas
A = 0,6667
3.Sekos ir eilutės
Atsakymas: D: Σ k/(k + 7)
Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |ak+1/ak|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |ak|1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σck(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |ck/ck+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.
B: Σ 1/(k² + 3) → Mažesnė už 1/k², konverguojančią p eilutę: konverguoja pagal palyginimo kriterijų.
C: Σ 1/k³ → p eilutė, kai p = 3 > 1: konverguoja.
D: Σ k/(k + 7) → Nariai artėja prie 1, o ne prie 0: diverguoja pagal būtinąją sąlygą.
Atsakymas
D: Σ k/(k + 7)
Atsakymas
D: Σ k/(k + 7)
4.Sekos ir eilutės
Atsakymas: P₄(−1.5) = 0,08594
Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.
Maklorino polinomas
P₄(x) = 1 − 0,5x² + 0,04167x⁴
Įstatykite
P₄(−1,5) = 1 − 1,125 + 0,210938 = 0,08594
Atsakymas
P₄(−1,5) = 0,08594
Tiksli reikšmė yra f(−1,5) = 0,0707372; paklaida −0,0152003 mažėja, kai imama daugiau narių arba taškas arčiau 0.
5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Atsakymas: |∇f| = 228,1
Gradientas: ∇f = (fx, fy) nukreiptas stačiausio kilimo kryptimi, o |∇f| yra didžiausias kitimo greitis. Išvestinė kryptimi v yra Duf = ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u = v/|v|. Liečiamoji plokštuma taške (a, b) yra z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ji duoda tiesinę f aproksimaciją šalia to taško. Sudėtinės funkcijos taisyklė: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Dalinės išvestinės
fx = 6xy² − 8x − 2y → fx(3, 3) = 132
fy = 6x²y + 10y − 2x → fy(3, 3) = 186
Gradiento ilgis
|∇f| = √(132² + 186²) = 228,1
Atsakymas
|∇f| = 228,1
6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Atsakymas: I = 0,4482
Kritiniai taškai ir dvilypiai integralai: kritiniame taške fx = fy = 0. Antros eilės išvestinių testas su D = fxxfyy − fxy²: D > 0 ir fxx > 0 yra lokalusis minimumas, D > 0 ir fxx < 0 – lokalusis maksimumas, D < 0 – balno taškas, o D = 0 nieko nenusprendžia. Dvilypiam integralui bendrojoje srityje vidinėmis ribomis imkite sritį ribojančias kreives; skritulių ir išpjovų atveju naudokite polines koordinates, x = r cos θ, y = r sin θ ir dA = r dr dθ (nepamirškite daugiklio r).
Sritis
0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 0,8
Pakeista tvarka
I = ∫00,8 ∫0y ey² dx dy = ∫00,8 y·ey² dy
Keitinys u = y²
I = [ey²/2]00,8 = 0,4482
Atsakymas
I = 0,4482
7.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: T = 10,2 °C
Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.
Aušimo dėsnio sprendinys
T(t) = 25 + (−19)·e−0,05t
Įstatykite t
T(5) = 25 + (−19)·0,7788 = 10,2 °C
Atsakymas
T = 10,2 °C
8.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: t = 10,22 min
Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.