Matematinė analizė 2: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Sekos ir eilutės

Aritmetinė seka: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrinė seka: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Begalinė geometrinė eilutė: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p eilutė: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergavimo spindulys: R = lim |c_k/c_k+1|
Teiloro polinomas: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maklorino eilutė: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagranžo paklaidos įvertis: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodas

Nustatykite tipą: aritmetinė (pastovus skirtumas), geometrinė (pastovus daugiklis), standartinė eilutė, laipsninė eilutė arba Teiloro polinomas.
Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Dalinės išvestinės: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradientas: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Išvestinė pagal kryptį: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Liečiamoji plokštuma: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Grandinės taisyklė: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Antros eilės išvestinių testas: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dvilypis integralas: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Polinės koordinatės: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metodas

Dalinei išvestinei kitą kintamąjį laikykite konstanta ir naudokite vieno kintamojo taisykles.
Gradiento uždaviniuose taške apskaičiuokite ∇f = (f_x, f_y); stačiausiam nuolydžiui naudokite |∇f|, o išvestinei pagal kryptį – ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u.
Ekstremumams kartu išspręskite f_x = 0 ir f_y = 0, tada kiekvieną tašką klasifikuokite pagal D = f_xx·f_yy − f_xy².
Dvilypiam integralui nubraižykite sritį, pasirinkite tvarką (arba polines koordinates skrituliams), kad vidinės ribos būtų ribojančios kreivės, ir integruokite pirmiausia vidų.

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Uždaviniai

1.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀² e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 2]

I =

2.IntegralaiSunkus

Raskite srities tarp parabolės y = 9 − x² ir x ašies plotą A.

y = 9 − x²

A =

3.Sekos ir eilutėsVidutinis

Raskite sumą S = Σ_k=1^∞ 1/(k(k + 1)).

a_k = 1/(k(k + 1))

S =

4.Sekos ir eilutėsSunkus

Raskite koeficientą c₃ prie (x − 5)³ funkcijos f(x) = 1/x Teiloro eilutėje taško a = 5 aplinkoje.

f(x) = 1/xa = 5k = 3

c₃ =

5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasVidutinis

Kai f(x, y) = −2x²y² − 4x² − 2y³ − 2xy, raskite stačiausio kilimo kryptį taške (3, −1) kaip kampą θ nuo teigiamos x ašies, laipsniais tarp −180° ir 180°.

f(x, y) = −2x²y² − 4x² − 2y³ − 2xyP = (3, −1)

θ = °

6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasSunkus

Apskaičiuokite I = ∬_T (2x + 2y) dA trikampyje T, ribojamame y = 0, x = 2 ir y = 0,5x.

f = 2x + 2y0 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ 0,5x

I =

7.Diferencialinės lygtysVidutinis

480 °C kalta plieno detalė paliekama aušti 30 °C dirbtuvėje. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kai k = 0,04 min⁻¹, raskite temperatūrą T po 17 min.

T₀ = 480 °CT_a = 30 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 17 min

T = °C

8.Diferencialinės lygtysSunkus

Išspręskite y′ + 3y = 4e^−2t su y(0) = 1. Raskite y(0,5).

y′ + 3y = 4e^−2ty(0) = 1

y(0.5) =

3Tirpalai

1.Integralai

Atsakymas: I = 26,8

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = e^2x/2

Įstatykite rėžius

I = (e⁴ − 1)/2 = (54,6 − 1)/2 = 26,8

Atsakymas

I = 26,8

2.Integralai

Atsakymas: A = 36

Nuliai

9 − x² = 0 → x = ±3

Integruokite

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Atsakymas

A = 36

3.Sekos ir eilutės

Atsakymas: S = 1

Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σc_k(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |c_k/c_k+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.

Paprastosios trupmenos

1/(k(k + 1)) = 1·(1/k − 1/(k + 1))

Atšaukti

S = 1·1 = 1

Atsakymas

S = 1

4.Sekos ir eilutės

Atsakymas: c₃ = −0,0016

Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.

Išvestinė f⁽³⁾

f⁽³⁾(x) = −6/x⁴

Koeficientas

c₃ = −6/(5⁴·6) = −0,0016

c₃ = −0,0016

Atsakymas

c₃ = −0,0016

5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Atsakymas: θ = 144,8 °

Gradientas: ∇f = (f_x, f_y) nukreiptas stačiausio kilimo kryptimi, o |∇f| yra didžiausias kitimo greitis. Išvestinė kryptimi v yra D_uf = ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u = v/|v|. Liečiamoji plokštuma taške (a, b) yra z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); ji duoda tiesinę f aproksimaciją šalia to taško. Sudėtinės funkcijos taisyklė: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Dalinės išvestinės

f_x = −4xy² − 8x − 2y → f_x(3, −1) = −34

f_y = −4x²y − 6y² − 2x → f_y(3, −1) = 24

Kryptis

θ = atan2(24, −34) = 144,8°

Atsakymas

θ = 144,8°

6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Atsakymas: I = 3,333

Kritiniai taškai ir dvilypiai integralai: kritiniame taške f_x = f_y = 0. Antros eilės išvestinių testas su D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 ir f_xx > 0 yra lokalusis minimumas, D > 0 ir f_xx < 0 – lokalusis maksimumas, D < 0 – balno taškas, o D = 0 nieko nenusprendžia. Dvilypiam integralui bendrojoje srityje vidinėmis ribomis imkite sritį ribojančias kreives; skritulių ir išpjovų atveju naudokite polines koordinates, x = r cos θ, y = r sin θ ir dA = r dr dθ (nepamirškite daugiklio r).

Ribos

0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 0,5x

Vidinis integralas

∫₀^0,5x (2x + 2y) dy = 2x·0,5x + 2·(0,5x)²/2 = 1,25x²

Išorinis integralas

I = 1,25·2³/3 = 3,333

Atsakymas

I = 3,333

7.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: T = 258 °C

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Aušimo dėsnio sprendinys

T(t) = 30 + 450·e^−0,04t

Įstatykite t

T(17) = 30 + 450·0,5066 = 258 °C

Atsakymas

T = 258 °C

8.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(0.5) = 0,8021

Integruojantysis daugiklis

μ = e^3t

(e^3ty)′ = 4e^t

Bendrasis sprendinys

y = 4/1·e^−2t + C·e^−3t = 4·e^−2t + C·e^−3t

Pradinė sąlyga

1 = 4 + C → C = −3

Apskaičiuokite

y(0,5) = 4·0,3679 + (−3)·0,2231 = 0,8021

Atsakymas

y(0,5) = 0,8021

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2