Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Dalinės išvestinės
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradientas
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Išvestinė pagal kryptį
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Liečiamoji plokštuma
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Grandinės taisyklė
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Antros eilės išvestinių testas
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dvilypis integralas
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Polinės koordinatės
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Metodas
Dalinei išvestinei kitą kintamąjį laikykite konstanta ir naudokite vieno kintamojo taisykles.
Gradiento uždaviniuose taške apskaičiuokite ∇f = (fx, fy); stačiausiam nuolydžiui naudokite |∇f|, o išvestinei pagal kryptį – ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u.
Ekstremumams kartu išspręskite fx = 0 ir fy = 0, tada kiekvieną tašką klasifikuokite pagal D = fxx·fyy − fxy².
Dvilypiam integralui nubraižykite sritį, pasirinkite tvarką (arba polines koordinates skrituliams), kad vidinės ribos būtų ribojančios kreivės, ir integruokite pirmiausia vidų.
Diferencialinės lygtys
Eksponentinis augimas / mažėjimas
dy/dt = ky → y = y0ekt
Pusėjimo trukmė
k = ln 2 / t½
Niutono aušimo dėsnis
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integruojantysis daugiklis
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Maišymo talpa
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Uždaviniai
1.IntegralaiVidutinis
Apskaičiuokite I = ∫₁2,5 x·ln x dx.
∫₁2,5 x ln x dx
I =
2.IntegralaiSunkus
Raskite srities, apribotos y = 2x2 ir y = 2x, plotą A.
Naudodami polines koordinates apskaičiuokite I = ∬R y dA, kur R yra viršutinis skritulio x² + y² ≤ 2,25 pusskritulis (y ≥ 0).
f = y0 ≤ r ≤ 1,50 ≤ θ ≤ π
I =
7.Diferencialinės lygtysVidutinis
Išspręskite y″ + 5y′ + 6y = 0, kai y(0) = 3 ir y′(0) = 0. Raskite y(1).
y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(1) =
8.Diferencialinės lygtysSunkus
Sistema tenkina y″ + 2y′ + 10y = 50, kai t ≥ 0, pradedant iš rimties: y(0) = 0, y′(0) = 0. Raskite y(0,75); kampai radianais.
y″ + 2y′ + 10y = 50y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
3Tirpalai
1.Integralai
Atsakymas: I = 1,551
Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.
Pasirinkite u ir dv
u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2
Pirmykštė funkcija
∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4
Ribos
(3,125·ln 2,5 − 1,5625) − (0 − 0,25) = 1,551
Atsakymas
I = 1,551
2.Integralai
Atsakymas: A = 0,3333
Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.
Susikirtimo taškai
2x2 = 2x → x = 0, x = 1
Integruokite viršutinę minus apatinę
A = [x2 − 0,6667x3]01 = 0,3333
Atsakymas
A = 0,3333
3.Sekos ir eilutės
Atsakymas: L = 0,5
Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |ak+1/ak|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |ak|1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σck(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |ck/ck+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.
Gretimų narių santykis
|ak+1/ak| = 2·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 2/4
Išvada
L = 0,5 < 1
Atsakymas
L = 0,5
L < 1, todėl eilutė konverguoja.
4.Sekos ir eilutės
Atsakymas: P₅(−1) = −0,9333
Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.
Maklorino polinomas
P₅(x) = 2x − 1,333x³ + 0,2667x⁵
Įstatykite
P₅(−1) = −2 + 1,333333 − 0,266667 = −0,9333
Atsakymas
P₅(−1) = −0,9333
Tiksli reikšmė yra f(−1) = −0,909297; paklaida 0,0240359 mažėja, kai imama daugiau narių arba taškas arčiau 0.
5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Atsakymas: |∇f| = 13,88
Gradientas: ∇f = (fx, fy) nukreiptas stačiausio kilimo kryptimi, o |∇f| yra didžiausias kitimo greitis. Išvestinė kryptimi v yra Duf = ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u = v/|v|. Liečiamoji plokštuma taške (a, b) yra z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ji duoda tiesinę f aproksimaciją šalia to taško. Sudėtinės funkcijos taisyklė: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Dalinės išvestinės
fx = 15 cos(3x − y) → fx(0,5, 2) = 13,16
fy = −5 cos(3x − y) → fy(0,5, 2) = −4,388
Gradiento ilgis
|∇f| = √(13,16² + (−4,388)²) = 13,88
Atsakymas
|∇f| = 13,88
6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Atsakymas: I = 2,25
Kritiniai taškai ir dvilypiai integralai: kritiniame taške fx = fy = 0. Antros eilės išvestinių testas su D = fxxfyy − fxy²: D > 0 ir fxx > 0 yra lokalusis minimumas, D > 0 ir fxx < 0 – lokalusis maksimumas, D < 0 – balno taškas, o D = 0 nieko nenusprendžia. Dvilypiam integralui bendrojoje srityje vidinėmis ribomis imkite sritį ribojančias kreives; skritulių ir išpjovų atveju naudokite polines koordinates, x = r cos θ, y = r sin θ ir dA = r dr dθ (nepamirškite daugiklio r).
Polinė forma
I = ∫0π ∫01,5 r sin θ·r dr dθ
Integruokite
∫ r²dr·∫ sin θ dθ
I = 2,25
Atsakymas
I = 2,25
7.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: y(1) = 0,9193
Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = ert: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·er₁t + B·er₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·ert (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.
Charakteristinės šaknys
(r + 2)(r + 3) = 0 → r = −2, −3
Konstantos pagal pradines vertes
A + B = 3, −2A − 3B = 0
A = 9, B = −6
Apskaičiuokite
y(1) = 9·e−2 + (−6)·e−3 = 0,9193
Atsakymas
y(1) = 0,9193
8.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: y(0.75) = 5,871
Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = ert: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·er₁t + B·er₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·ert (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.