Matematinė analizė 2: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Sekos ir eilutės

Aritmetinė seka: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrinė seka: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Begalinė geometrinė eilutė: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p eilutė: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergavimo spindulys: R = lim |c_k/c_k+1|
Teiloro polinomas: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maklorino eilutė: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagranžo paklaidos įvertis: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodas

Nustatykite tipą: aritmetinė (pastovus skirtumas), geometrinė (pastovus daugiklis), standartinė eilutė, laipsninė eilutė arba Teiloro polinomas.
Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Dalinės išvestinės: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradientas: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Išvestinė pagal kryptį: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Liečiamoji plokštuma: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Grandinės taisyklė: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Antros eilės išvestinių testas: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dvilypis integralas: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Polinės koordinatės: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metodas

Dalinei išvestinei kitą kintamąjį laikykite konstanta ir naudokite vieno kintamojo taisykles.
Gradiento uždaviniuose taške apskaičiuokite ∇f = (f_x, f_y); stačiausiam nuolydžiui naudokite |∇f|, o išvestinei pagal kryptį – ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u.
Ekstremumams kartu išspręskite f_x = 0 ir f_y = 0, tada kiekvieną tašką klasifikuokite pagal D = f_xx·f_yy − f_xy².
Dvilypiam integralui nubraižykite sritį, pasirinkite tvarką (arba polines koordinates skrituliams), kad vidinės ribos būtų ribojančios kreivės, ir integruokite pirmiausia vidų.

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Uždaviniai

1.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀³ e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 3]

I =

2.IntegralaiSunkus

Sritis tarp tiesės y = 4x ir parabolės y = 3x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.

y = 4xy = 3x²

V =

3.Sekos ir eilutėsVidutinis

Raskite sumą S = Σ_k=1^∞ 3/(k(k + 3)).

a_k = 3/(k(k + 3))

S =

4.Sekos ir eilutėsSunkus

f(x) = ln(1 + x) aproksimuojama 3 laipsnio Maklorino polinomu taške x = 0,1. Naudodami Lagranžo paklaidos įvertį M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! su M = 3! = 6, raskite didžiausią galimą paklaidą |R₃|.

f(x) = ln(1 + x)n = 3x = 0,1M = 6

|R₃| =

5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasVidutinis

z = −2x²y² + 4y³ + 2xy, kai x = t − 2 ir y = t² − 1. Sudėtinės funkcijos taisykle raskite dz/dt, kai t = −1.

z = −2x²y² + 4y³ + 2xyx = t − 2y = t² − 1t = −1

dz/dt =

6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimasSunkus

Naudodami polines koordinates apskaičiuokite I = ∬_R (x² + y²) dA, kur R yra skritulio x² + y² ≤ 2,25 ketvirtis pirmajame ketvirtyje.

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 1,50 ≤ θ ≤ π/2

I =

7.Diferencialinės lygtysVidutinis

90 °C kavos puodelis paliekamas 22 °C kambaryje. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kai k = 0,08 min⁻¹, raskite temperatūrą T po 25 min.

T₀ = 90 °CT_a = 22 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 25 min

T = °C

8.Diferencialinės lygtysSunkus

Išspręskite Koši uždavinį y′ + 3y/x = 6x, kai x > 0, su y(1) = 2. Raskite y(2).

y′ + 3y/x = 6xy(1) = 2

y(2) =

3Tirpalai

1.Integralai

Atsakymas: I = 0,9502

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = e^−x/(−1)

Įstatykite rėžius

I = (e⁻³ − 1)/(−1) = (0,04979 − 1)/(−1) = 0,9502

Atsakymas

I = 0,9502

2.Integralai

Atsakymas: V = 15,89

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Susikirtimo taškai

4x = 3x² → x = 0, x = 1,333

Žiedų metodas

V = π∫₀^1,333 ((4x)² − (3x²)²) dx

Integruokite

V = π(16·1,333³/3 − 9·1,333⁵/5) = π·5,057 = 15,89

Atsakymas

V = 15,89

3.Sekos ir eilutės

Atsakymas: S = 1,833

Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σc_k(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |c_k/c_k+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.

Paprastosios trupmenos

3/(k(k + 3)) = (3/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Atšaukti

S = (3/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 1,833

Atsakymas

S = 1,833

4.Sekos ir eilutės

Atsakymas: |R₃| = 2,5 × 10⁻⁵

Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.

Išvestinės įvertis

M = 3! = 6

Lagranžo įvertis

|R₃| ≤ 6·0,1⁴/4! = 2,5 × 10⁻⁵

Atsakymas

|R₃| = 2,5 × 10⁻⁵

Tikroji paklaida mažesnė: |f(0,1) − P₃(0,1)| = 2,315 × 10⁻⁵.

5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Atsakymas: dz/dt = 12

Gradientas: ∇f = (f_x, f_y) nukreiptas stačiausio kilimo kryptimi, o |∇f| yra didžiausias kitimo greitis. Išvestinė kryptimi v yra D_uf = ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u = v/|v|. Liečiamoji plokštuma taške (a, b) yra z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); ji duoda tiesinę f aproksimaciją šalia to taško. Sudėtinės funkcijos taisyklė: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Taškas ir greičiai

x(−1) = −3, y(−1) = 0

dx/dt = 1, dy/dt = 2t = −2

Dalinės išvestinės

f_x = −4xy² + 2y = 0

f_y = −4x²y + 12y² + 2x = −6

Grandinės taisyklė

dz/dt = 0·1 + (−6)·(−2) = 12

Atsakymas

dz/dt = 12

6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas

Atsakymas: I = 1,988

Kritiniai taškai ir dvilypiai integralai: kritiniame taške f_x = f_y = 0. Antros eilės išvestinių testas su D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 ir f_xx > 0 yra lokalusis minimumas, D > 0 ir f_xx < 0 – lokalusis maksimumas, D < 0 – balno taškas, o D = 0 nieko nenusprendžia. Dvilypiam integralui bendrojoje srityje vidinėmis ribomis imkite sritį ribojančias kreives; skritulių ir išpjovų atveju naudokite polines koordinates, x = r cos θ, y = r sin θ ir dA = r dr dθ (nepamirškite daugiklio r).

Polinė forma

I = ∫₀^π/2 ∫₀^1,5 r²·r dr dθ

Integruokite

∫ r²·r dr = [r⁴/4]

I = 1,988

Atsakymas

I = 1,988

7.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: T = 31,2 °C

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Aušimo dėsnio sprendinys

T(t) = 22 + 68·e^−0,08t

Įstatykite t

T(25) = 22 + 68·0,1353 = 31,2 °C

Atsakymas

T = 31,2 °C

8.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(2) = 4,9

Integruojantysis daugiklis

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Integruokite

(x³y)′ = 6x⁴ → x³y = 6x⁵/5 + C

Pradinė sąlyga

2 = 6/5 + C → C = 0,8

Apskaičiuokite

y(2) = (6·2⁵/5 + 0,8)/2³ = 4,9

Atsakymas

y(2) = 4,9

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2