Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Dalinės išvestinės
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradientas
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Išvestinė pagal kryptį
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Liečiamoji plokštuma
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Grandinės taisyklė
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Antros eilės išvestinių testas
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dvilypis integralas
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Polinės koordinatės
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Metodas
Dalinei išvestinei kitą kintamąjį laikykite konstanta ir naudokite vieno kintamojo taisykles.
Gradiento uždaviniuose taške apskaičiuokite ∇f = (fx, fy); stačiausiam nuolydžiui naudokite |∇f|, o išvestinei pagal kryptį – ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u.
Ekstremumams kartu išspręskite fx = 0 ir fy = 0, tada kiekvieną tašką klasifikuokite pagal D = fxx·fyy − fxy².
Dvilypiam integralui nubraižykite sritį, pasirinkite tvarką (arba polines koordinates skrituliams), kad vidinės ribos būtų ribojančios kreivės, ir integruokite pirmiausia vidų.
Diferencialinės lygtys
Eksponentinis augimas / mažėjimas
dy/dt = ky → y = y0ekt
Pusėjimo trukmė
k = ln 2 / t½
Niutono aušimo dėsnis
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integruojantysis daugiklis
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Maišymo talpa
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Uždaviniai
1.IntegralaiVidutinis
Apskaičiuokite I = ∫01 2x·(x² + 1)2 dx.
f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 1]
I =
2.IntegralaiSunkus
Raskite srities, apribotos y = x2 ir y = 2x, plotą A.
y = x2y = 2x
A =
3.Sekos ir eilutėsVidutinis
Lygiai viena iš keturių eilučių konverguoja. Spustelėkite ją.
f(x) = eˣ taške x = 0,5 aproksimuojama n laipsnio Maklorino polinomu. Naudodami Lagranžo įvertį M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! su M = 2, raskite mažiausią laipsnį n, garantuojantį paklaidą, mažesnę nei 1 × 10⁻⁵.
Apskaičiuokite I = ∬R x dA, kur R yra sritis tarp parabolės y = x² ir tiesės y = 2x.
y = x²y = 2xf = x
I =
7.Diferencialinės lygtysVidutinis
400 °C kalta plieno detalė paliekama aušti 24 °C dirbtuvėje. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kai k = 0,05 min⁻¹, raskite temperatūrą T po 50 min.
T0 = 400 °CTa = 24 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 50 min
T = °C
8.Diferencialinės lygtysSunkus
Sistema tenkina y″ + 2y′ + 17y = 17, kai t ≥ 0, pradedant iš rimties: y(0) = 0, y′(0) = 0. Raskite y(1); kampai radianais.
y″ + 2y′ + 17y = 17y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
3Tirpalai
1.Integralai
Atsakymas: I = 2,333
Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.
Keitinys
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u2 du
Integruokite ir įstatykite rėžius
I = [u3/3]12 = (8 − 1)/3 = 2,333
Atsakymas
I = 2,333
2.Integralai
Atsakymas: A = 1,333
Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.
Susikirtimo taškai
x2 = 2x → x = 0, x = 2
Integruokite viršutinę minus apatinę
A = [x2 − 0,3333x3]02 = 1,333
Atsakymas
A = 1,333
3.Sekos ir eilutės
Atsakymas: B: Σ 1/(k² + 7)
Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |ak+1/ak|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |ak|1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σck(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |ck/ck+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.
Patikrinkite kiekvieną eilutę
A: Σ (5k + 1)/(k + 2) → Nariai artėja prie 5, o ne prie 0: diverguoja pagal būtinąją sąlygą.
B: Σ 1/(k² + 7) → Mažesnė už 1/k², konverguojančią p eilutę: konverguoja pagal palyginimo kriterijų.
C: Σ 1/(4k + 1) → Dideliems k elgiasi kaip 1/(4k); palyginus su harmonine eilute, diverguoja.
D: Σ (3/2)ᵏ → Geometrinė, kai r = 3/2 > 1: nariai auga, todėl diverguoja.
Atsakymas
B: Σ 1/(k² + 7)
Atsakymas
B: Σ 1/(k² + 7)
4.Sekos ir eilutės
Atsakymas: n = 6
Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.
Įverčiai didėjant n
n = 5: 4,34 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 6: 3,1 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵
Mažiausias laipsnis
n = 6
Atsakymas
n = 6
5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Atsakymas: c = 916
Gradientas: ∇f = (fx, fy) nukreiptas stačiausio kilimo kryptimi, o |∇f| yra didžiausias kitimo greitis. Išvestinė kryptimi v yra Duf = ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u = v/|v|. Liečiamoji plokštuma taške (a, b) yra z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ji duoda tiesinę f aproksimaciją šalia to taško. Sudėtinės funkcijos taisyklė: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Reikšmė ir nuolydžiai taške
f(2, 3) = −179
fx = −12x²y² − 3x² − 3y → fx(2, 3) = −453
fy = −8x³y + 15y² − 3x → fy(2, 3) = −63
Liečiamoji plokštuma
z = −179 − 453(x − 2) − 63(y − 3)
z = −453x − 63y + 916
Konstantos narys
c = 916
Atsakymas
c = 916
6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Atsakymas: I = 1,333
Kritiniai taškai ir dvilypiai integralai: kritiniame taške fx = fy = 0. Antros eilės išvestinių testas su D = fxxfyy − fxy²: D > 0 ir fxx > 0 yra lokalusis minimumas, D > 0 ir fxx < 0 – lokalusis maksimumas, D < 0 – balno taškas, o D = 0 nieko nenusprendžia. Dvilypiam integralui bendrojoje srityje vidinėmis ribomis imkite sritį ribojančias kreives; skritulių ir išpjovų atveju naudokite polines koordinates, x = r cos θ, y = r sin θ ir dA = r dr dθ (nepamirškite daugiklio r).
Susikirtimo taškai
x² = 2x → x = 0, x = 2
Vidinis integralas
∫x²2x x dy = x(2x − x²) = 2x² − x³
Išorinis integralas
I = ∫02 (2x² − x³) dx = 1,333
Atsakymas
I = 1,333
7.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: T = 54,86 °C
Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.
Aušimo dėsnio sprendinys
T(t) = 24 + 376·e−0,05t
Įstatykite t
T(50) = 24 + 376·0,08208 = 54,86 °C
Atsakymas
T = 54,86 °C
8.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: y(1) = 1,31
Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = ert: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·er₁t + B·er₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·ert (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.