Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Dalinės išvestinės
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradientas
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Išvestinė pagal kryptį
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Liečiamoji plokštuma
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Grandinės taisyklė
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Antros eilės išvestinių testas
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dvilypis integralas
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Polinės koordinatės
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Metodas
Dalinei išvestinei kitą kintamąjį laikykite konstanta ir naudokite vieno kintamojo taisykles.
Gradiento uždaviniuose taške apskaičiuokite ∇f = (fx, fy); stačiausiam nuolydžiui naudokite |∇f|, o išvestinei pagal kryptį – ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u.
Ekstremumams kartu išspręskite fx = 0 ir fy = 0, tada kiekvieną tašką klasifikuokite pagal D = fxx·fyy − fxy².
Dvilypiam integralui nubraižykite sritį, pasirinkite tvarką (arba polines koordinates skrituliams), kad vidinės ribos būtų ribojančios kreivės, ir integruokite pirmiausia vidų.
Diferencialinės lygtys
Eksponentinis augimas / mažėjimas
dy/dt = ky → y = y0ekt
Pusėjimo trukmė
k = ln 2 / t½
Niutono aušimo dėsnis
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integruojantysis daugiklis
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Maišymo talpa
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Uždaviniai
1.IntegralaiVidutinis
Sritis po y = 3x nuo x = 0 iki x = 4 sukama apie x ašį. Raskite kūno (kūgio) tūrį V.
y = 3x0 ≤ x ≤ 4
V =
2.IntegralaiSunkus
Sritis tarp tiesės y = 5x ir parabolės y = 2x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.
f(x) = cos x taške x = 0,5 aproksimuojama n laipsnio Maklorino polinomu. Naudodami Lagranžo įvertį M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! su M = 1, raskite mažiausią laipsnį n, garantuojantį paklaidą, mažesnę nei 0,0001.
Naudodami polines koordinates apskaičiuokite I = ∬R e−(x² + y²) dA, kur R yra viršutinis skritulio x² + y² ≤ 4 pusskritulis (y ≥ 0).
f = e−(x² + y²)0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π
I =
7.Diferencialinės lygtysVidutinis
4 °C gaiviojo gėrimo skardinė išimama iš šaldytuvo į 25 °C kambarį. Po 19 min temperatūra yra 18 °C. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Raskite konstantą k min⁻¹.
T0 = 4 °CTa = 25 °CT(19) = 18 °C
k = min⁻¹
8.Diferencialinės lygtysSunkus
Išspręskite y′ + y = 3e−2t su y(0) = 2. Raskite y(1).
y′ + y = 3e−2ty(0) = 2
y(1) =
3Tirpalai
1.Integralai
Atsakymas: V = 603,2
Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.
Skritulių metodas
V = π∫₀4 9x² dx
Integruokite
V = π·9·4³/3 = 603,2
Atsakymas
V = 603,2
Patikra: kūgio, kurio spindulys 12 ir aukštis 4, tūris (1/3)πr²h = 603,2.
2.Integralai
Atsakymas: V = 163,6
Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.
Susikirtimo taškai
5x = 2x² → x = 0, x = 2,5
Žiedų metodas
V = π∫₀2,5 ((5x)² − (2x²)²) dx
Integruokite
V = π(25·2,5³/3 − 4·2,5⁵/5) = π·52,08 = 163,6
Atsakymas
V = 163,6
3.Sekos ir eilutės
Atsakymas: L = 0,4
Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |ak+1/ak|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |ak|1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σck(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |ck/ck+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.
Gretimų narių santykis
|ak+1/ak| = ((k + 1)/k)³·2/5 → 2/5
Išvada
L = 0,4 < 1
Atsakymas
L = 0,4
L < 1, todėl eilutė konverguoja.
4.Sekos ir eilutės
Atsakymas: n = 5
Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.
Įverčiai didėjant n
n = 4: 0,0002604 ≥ 0,0001
n = 5: 2,17 × 10⁻⁵ < 0,0001
Mažiausias laipsnis
n = 5
Atsakymas
n = 5
5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Atsakymas: c = 90
Gradientas: ∇f = (fx, fy) nukreiptas stačiausio kilimo kryptimi, o |∇f| yra didžiausias kitimo greitis. Išvestinė kryptimi v yra Duf = ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u = v/|v|. Liečiamoji plokštuma taške (a, b) yra z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ji duoda tiesinę f aproksimaciją šalia to taško. Sudėtinės funkcijos taisyklė: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Reikšmė ir nuolydžiai taške
f(2, −1) = −35
fx = 6x²y − 9x² − 2y → fx(2, −1) = −58
fy = 2x³ − 3y² − 2x → fy(2, −1) = 9
Liečiamoji plokštuma
z = −35 − 58(x − 2) + 9(y + 1)
z = −58x + 9y + 90
Konstantos narys
c = 90
Atsakymas
c = 90
6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Atsakymas: I = 1,542
Kritiniai taškai ir dvilypiai integralai: kritiniame taške fx = fy = 0. Antros eilės išvestinių testas su D = fxxfyy − fxy²: D > 0 ir fxx > 0 yra lokalusis minimumas, D > 0 ir fxx < 0 – lokalusis maksimumas, D < 0 – balno taškas, o D = 0 nieko nenusprendžia. Dvilypiam integralui bendrojoje srityje vidinėmis ribomis imkite sritį ribojančias kreives; skritulių ir išpjovų atveju naudokite polines koordinates, x = r cos θ, y = r sin θ ir dA = r dr dθ (nepamirškite daugiklio r).
Polinė forma
I = ∫0π ∫02 e−r²·r dr dθ
Integruokite
∫ e−r²·r dr = [−e−r²/2]
I = 1,542
Atsakymas
I = 1,542
7.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: k = 0,05782 min⁻¹
Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.
Temperatūrų skirtumų santykis
e−19k = -7/-21
Išspręskite k atžvilgiu
k = ln(-21/-7)/19 = 0,05782 min⁻¹
Atsakymas
k = 0,05782 min⁻¹
8.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: y(1) = 1,433
Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.